2015高考真题理科数学(新课标2卷)Word版

2015 高考真题

2015 年普通高等学校招生统一考试

理科数学
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选其它答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的. (1)已知集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} ,则 A B ? (A) {?1,0} (B) {0,1} (C) {?1, 0,1} (D) {0,1, 2} (2 ? a i)( a ? 2 i ) ? ? 4i (2)若 a 为实数,且 ,则 a ? (A) ?1 (B)0 (C)1 (D)2 (3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下 结论中不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900

2004 年

2005 年

2006 年

2007 年

2008 年

2009 年

2010 年

2011 年

2012 年 2013 年

(A)逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B)2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 (C)2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D)2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 (4)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21 ,则 a3 ? a5 ? a7 ? (A)21 (B)42 (C)63 (D)84

? 1 ? log (2 ? x), x ? 1, (5)设函数 f ( x) ? ? x ?1 2 则 f (?2) ? f (log2 12) ? x ? 1, ?2 ,

(A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6)一个正方体被截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截 去部分体积与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7
1

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1 1 (D) 6 5 (7)过三点 A(1,3) , B(4, 2) , C (1, ?7) 的圆交 y 轴于 M , N 两点,则 | MN |?
(C) (A) 2 6 (B)8 (C) 4 6 (D)10

开始 (8)右边程序图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的 “更相减损术” .执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输 输入 a,b 出的 a ? 是 否 a?b (A)0 是 否 输出 a a ?b (B)2 (C)4 a ?a ?b b?b?a 结束 (D)14 (9) 已知 A ,B 是球 O 的球面上两点,?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点. 若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 P (A) 36? (B) 64? (C) 144? (D) 256? D C (10)如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中 点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x ,将动点 P 到 A , x B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y ? f ( x) 的图象大致为

A

O

B

y

y

y

y

2

2

2

2

O

? 4

? 3? 2 4

?

x

O

? 4

? 3? 2 4

?

x

O

? 4

? 3? 2 4

?

x

O

? 4

? 3? 2 4

?

x

(A)
120? ,则 E 的离心率为

(B)

(C)

(D)

(11)已知 A , B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为

(A) 5

(B)2

(C) 3

(D) 2

(12)设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (A)(??, ?1) (0,1) (B)(?1,0) (1, ??) (C)(??, ?1) (?1,0) (D)(0,1) (1, ??)

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ?
? x ? y ? 1 ? 0, ? (14)若实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
2





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(15) (a ? x)(1 ? x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? (16)设 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , an?1 ? Sn Sn?1 ,则 Sn ? .



三.解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. △ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC , (17) (本小题满分 12 分) △ABD 面积是 △ ADC 面积的 2 倍.
2 sin ?B ; (Ⅱ)若 AD ? 1 , DC ? ,求 BD 和 AC 的长. 2 sin ?C (18) (本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调 查了 20 个用户得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89. B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79. (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评 分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ;

(Ⅰ)求

A 地区 4 5 6 7 8 9

B 地区

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C : “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” .假设两地区用户的评 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率. (19) (本小题满分 12 分)如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 16 , BC ? 10 , AA1 ? 8 , 点 E , F 分别在 A1 B1 , D1C1 上, A1 E ? D1F ? 4 .过点 E , F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线 围成一个正方形.
D1 A1

F

C1 B1

E

D

C
B
3

A

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(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成的角的正弦值. (20) (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 9x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐 标轴, l 与 C 有两个交点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m (Ⅱ) 若 l 过点 ( , m) , 延长线段 OM 与 C 交于点 P , 四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能, 3 求此时 l 的斜率;若不能,说明理由.
(21) (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ)证明: f ( x) 在 (??,0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ)若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e? 1 ,求 m 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写 清题号. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 A 如图, O 为等腰三角形 ABC 内一点, O 与 △ABC 的底边 BC 交 于 M , N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G ,且与 AB , AC 分别相 G 切于 E , F 两点. F E (Ⅰ)证明: EF ∥ BC ; (Ⅱ)若 AG 等于 O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 , 求四边形 EBCF 的面积. (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
O
B M
D

N

C

? x ? t cos ? , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ? ( t 为参数, t ? 0 ) ,其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极 ? y ? t sin ? ,

点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 2 cos? . (Ⅰ)求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ)若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 | AB | 的最大值. (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 a , b , c , d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (Ⅰ)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (Ⅱ) a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.
4


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