2019年高三一轮总复习理科数学课件:2-2函数的单调性与最值 (数理化网)_图文

2019高三一轮总复习
数 学(理)
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必修部分
第二章 函数、导数及其应用
第二节 函数的单调性与最值

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1



考情分析 1



3 考点疑难突破



基础自主梳理 2



4 课时跟踪检测

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2

1

考情分析

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3

考点分布 考纲要求 考点频率 命题趋势

理解函数

以基本初等函数

的单调

为载体,与导数结

函数的单

性、最大

合,考查函数单调

调性与最

5 年 14 考

值、最小

性的判断、函数单



值及其几

调区间及函数最

何意义.

值的求法.

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4

2

基础自主梳理

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5

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

「基础知识填一填」

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6

图象描 述 自左向右看图象 是__上__升__的___

自左向右看图象 是__下__降__的__

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7

(2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是 增函数 或 减函数 ,那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性, 区间D 叫做函数 y=f(x)的单调区间.

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8

2.函数的最值

前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足

(1)对于任意的 x∈I, (3)对于任意的 x∈I,都有

都有 f(x)≤M 条件

; ____f(_x_)≥_M____;

(2)存在 x0∈I,使得 (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=

f(x0)=M.

M.

结论

M 为最大值

M 为最小值

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9

「应用提示研一研」 1.辩明两个易误点 (1)区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函 数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应 分别写出,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接.例如函数 f(x)=1x在区间(- 1,0)上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不是减函数.

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2.函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). 3.“对勾函数”y=x+ax(a>0)的增区间为(-∞,- a ]和[ a,+∞);减区间 为[- a,0)和(0, a ],且对勾函数为奇函数.

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11

4.设任意 x1,x2∈[a,b],且 x1<x2,那么 (1)f?xx1?1- -fx?2x2?>0?f(x)在[a,b]上是增函数;f?xx1?1- -fx?2x2?<0?f(x)在[a,b]上是减函 数. (2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x) 在[a,b]上是减函数.

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「基础小题练一练」

1.下列函数 f(x)满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)” 的是( )

A.f(x)=ex

B.f(x)=1x

C.f(x)=(x-3)2

D.f(x)=ln(x+3)

解析:由条件易知 f(x)在(0,+∞)上单调递减,只有 B 满足,故选 B. 答案:B

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2.若函数 f(x)=(m-1)x+b 在 R 上是增函数,则 f(m)与 f(1)的大小关系是( )

A.f(m)>f(1)

B.f(m)<f(1)

C.f(m)≥f(1)

D.f(m)≤f(1)

解析:因为 f(x)=(m-1)x+b 在 R 上是增函数,

所以 m-1>0,

所以 m>1,

所以 f(m)>f(1).

故选 A.

答案:A

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3.给出下列命题: ①函数 f(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪(0,+∞). ②若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(-1)<f(3),则函数 f(x)在 R 上为增函数; ③函数 y=|x|是 R 上的增函数; ④函数 y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞); ⑤对于函数 f(x),x∈D,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数 f(x)在 D 上是增函数. ⑥闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点处取到.

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其中正确的是( ) A.①② C.④⑤

B.③④ D.⑤⑥

解析:①错误,函数的单调递增区间应为(-∞,0]和(0,+∞); ②错误,对 R 上的特殊的值-1<3,有 f(-1)<f(3),f(x)在 R 上不一定为增函数; ③错误,函数 y=|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数; ④错误,[1,+∞)是单调递增区间的子集;

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⑤正确,若 x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则 x1>x2 时,f(x1)>f(x2);x1 <x2 时,f(x1)<f(x2);
⑥正确,若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最值 在端点处取到.
答案:D

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4.函数 f(x)=x-1 2 在[4,6]上的最大、小值分别为________. 解析:函数 f(x)=x-1 2 在[4,6]上是减函数, 故 f(x)max=f(4)=12,f(x)min=f(6)=14. 答案:21、41

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3

考点疑难突破

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函数单调性与单调区间 [典 例 导 引]

(1)函数 f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( )

A.????32,+∞????

B.????1,32????和[2,+∞)

C.(-∞,1)和????32,2????

D.????-∞,32????和[2,+∞)

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(2)函数 f(x)=log2(x2-4),则使函数 f(x)单调递减的区间是( )

A.(-3,1)

B.(3,6)

C.(-4,-3)

D.(-2,1)

【解析】 (1)y=|x2-3x+2|=

??x2-3x+2,x≤1或x≥2, ???-?x2-3x+2?,1<x<2.

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21

如图所示,函数的单调递增区间是????1,32????和[2,+∞);单调递减区间是(-∞,1]

和????32,2????.故选 B. (2)令 u=x2-4>0,

则 x>2 或 x<-2.

又 u=x2-4 在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减,且 t=log2u 在 (0,+∞)上是增函数.故 f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间是(-∞,-2),所给选项

中只有(-4,-3)满足.故选 C.

【答案】 (1)B (2)C

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求函数单调区间的常见方法 (1)利用已知函数的单调性,转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区 间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的 直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数确定函数的单调区间. (5)复合函数法:如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先 判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.

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[自 主 演 练]

1.函数 y=|x|(1-x)在区间 A 上是增函数,那么区间 A 是( )

A.(-∞,0)

B.????0,12????

C.[0,+∞)

D.????12,+∞????

解析:y=|x|(1-x)=?????x-?1x-?1x-?,x?x,≥x0<,0 =

??-x2+x,x≥0, ???x2-x,x<0

=???-????x-21????2+41,x≥0, ??????x-12????2-14,x<0.

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画出函数的草图,如图.

由图易知原函数在????0,12????上单调递增.故选 B. 答案:B

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2.函数 y= A.(1,+∞) C.????12,+∞????

的单调递增区间为( ) B.????-∞,34???? D.????34,+∞????

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解析:令 u=2x2-3x+1=2????x-34????2-18. 因为 u=2????x-34????2-18在????-∞,34????上单调递减,函数 y=????13????u 在 R 上单调递减.

所以 y= 答案:B

在????-∞,34????上单调递增.

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函数单调性的应用

[典 例 导 引]

(1)(2017 届哈尔滨联考)已知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x2

>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,设 a=f????-12????,b=f(2),c=f(e),则 a,b,

c 的大小关系为( )

A.c>a>b

B.c>b>a

C.a>c>b

D.b>a>c

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(2)已知函数 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f????????1x????????<f(1)的实数 x 的取值范围是(

)

A.(-1,1)

B.(0,1)

C.(-1,0)∪(0,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

(3)已知函数 f(x)=??????loag-ax2,?xx->11,,x≤1, 若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实

数 a 的取值范围为________.

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【解析】 (1)因 f(x)的图象关于直线 x=1 对称.由此可得 f????-21????=f????52????.由 x2>x1 >1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 恒成立,知 f(x)在(1,+∞)上单调递减.∵1<2<52< e,∴f(2)>f????52????>f(e),
∴b>a>c.

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30

(2)由 f(x)为 R 上的减函数且 f????????1x????????<f(1),

得???????1x????>1, ??x≠0,

即?????|xx≠|<01. ,

∴-1<x<0 或 0<x<1.故选 C.

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31

(3)要使函数 f(x)在 R 上单调递增,

则有???aa> -12, >0, ??f?1?≤0,

即???aa> >12, , ??a-2-1≤0,

解得 2<a≤3,

即实数 a 的取值范围是(2,3].

【答案】 (1)D (2)C (3)(2,3]

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32

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较大小

比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调

性解决.

(2)解不等式

在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使

其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.

(3)利用单调性求参数

视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知

单调区间比较求参数.

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33

[自 主 演 练]

1.设函数 f(x)=?????-logx22x+,4xx>,4.x≤4, 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,

则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,1]

B.[1,4]

C.[4,+∞)

D.(-∞,1]∪[4,+∞)

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34

解析:作出函数 f(x)的图象如图所示,由图象可知 f(x)在(a,a+1)上单调递增, 需满足 a≥4 或 a+1≤2,即 a≤1 或 a≥4,故选 D.

答案:D

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2.已知函数 f(x)=?????xln3, ?x+x≤1?0,,x>0, 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-1,2) D.(-2,1)

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解析:∵当 x=0 时,两个表达式对应的函数值都为零,∴函数的图象是一条连 续的曲线.∵当 x≤0 时,函数 f(x)=x3 为增函数,当 x>0 时,f(x)=ln(x+1)也是增 函数,∴函数 f(x)是定义在 R 上的增函数.因此,不等式 f(2-x2)>f(x)等价于 2-x2 >x,即 x2+x-2<0,解得-2<x<1.
答案:D

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求函数最值
[典 例 导 引] (1)函数 f(x)=????13????x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 【解析】 由于 y=????13????x 在 R 上单调递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所 以 f(x)在[-1,1]上单调递减,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1)=3. 【答案】 3

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(2)求函数 y= xx2+2+54的最小值.

【解】 y=x2+x24++41= x2+4+ x21+4,

令 t= x2+4,则 t≥2.

∴y=t+1t ,t∈[2,+∞).

∵y=t+1t 在[2,+∞)上为增函数.

∴t=2 时,ymin=52.

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求函数最值的 5 种常用方法

方法

步骤

单调性 先确定函数的单调性,再由单调性求最值 法

图象法 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出 最值

基本不

先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条

等式

件后用基本不等缘份式让你求看到出我在这最里 值 法

40

[自 主 演 练] 1.函数 f(x)=3x+2x,x∈[1,2]的值域为________.
? 2? 解析:解法一:f(x)=3???x+3x???, 易证 f(x)在???? 23,+∞????上是增函数. ∴f(x)在[1,2]上为增函数, 从而得值域为[5,7].

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41

解法二:f′(x)=3-x22,当 1≤x≤2 时,f′(x)>0, ∴f(x)在[1,2]上为增函数, 又 f(1)=5,f(2)=7. ∴f(x)=3x+2x,x∈[1,2]的值域为[5,7]. 答案:[5,7]

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2.求函数 y=x- 1-2x的最大值.
解:∵定义域为????-∞,12????, 而 y=x- 1-2x在????-∞,12????上为单调增函数. ∴当 x=12时,ymax=12.

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4

课时跟踪检测

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