高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2课件新人教A版选修2_3

第2课时 组合的综合应用 类型一 “含”与“不含”的组合问题 【典例1】(1)(2017·济宁高二检测)从5名男医生、4 名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中 男、女医生都有,则不同的组队方案共有 A.70种 B.80种 C.100种 ( ) D.140种 (2)在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校 要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少 种不同的选法? ①任意选5人; ②甲、乙、丙三人必须参加; ③甲、乙、丙三人不能参加; ④甲、乙、丙三人只能有1人参加. 【解题指南】(1)方法一:采用直接法,以男生为标准分 类. 方法二:间接法:先不考虑限制条件,再减去不符合题意 的. (2)本题是组合应用题中典型的选代表问题,通过一些 明确的条件对结果进行限制.解题时注意限制条件. 【解析】(1)选A.方法一:一男两女,有 两男一女,有 2 C1 C 5 4 =30种, CC 方法二:任意选取3人,共 有 3 5 2 1 5 4 =40种,共计70种. =84种,其中都是男医生共 =4种,所以符合条件 C3 9 =10种,都是女医生共有 C 84-10-4=70种. 的有 C 3 4 (2)① C5 =792种不同的选法; 12 ②甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人, 共有 =36种不同的选法; 2 C9 ③甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人, 共有 =126种不同的选法; C 5 9 ④甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、 乙、丙中选1人,有 C 1 3 种选法,再从另外的9人中选4人 有 4 C9 种选法.共有 4 C1 C 3 9 =378种不同的选法. 【延伸探究】 1.若本例(2)条件不变,那么“甲、乙、丙三人至少1 人参加”有多少种? 【解析】(直接法)可分为三类: 第一类:甲、乙、丙中有1人参加,共有 =378种; 4 第二类:甲、乙、丙中有2人参加,共有 C1 =252种; 3 C9 2 3 C3 C9 第三类:甲、乙、丙中有3人参加,共有 共有 4 2 3 3 2 C1 C ? C C ? C 3 9 3 9 3C9 (间接法)12人中任意选5人共有 CC 3 2 3 9 =36种; =666种不同的选法. 种,甲、乙、丙三 5 C12 人不能参加的有 所以,共有 种, C5 9=666种不同的选法. 5 5 C12 -C9 2.若本例(2)条件不变,那么“甲、乙、丙三人至多2 人参加”有多少种? 【解析】(直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分 为三类: 第一类:甲、乙、丙都不参加,共有 5 第二类:甲、乙、丙中有1人参加,共有 C9 种; 种; 4 C1 C 3 9 第三类:甲、乙、丙中有2人参加,共有 共有 1 4 2 3 C5 ? C C ? C 9 3 9 3 C9 (间接法)12人中任意选5人共有 CC 2 3 3 9 种; =756种不同的选法. 种,甲、乙、丙 5 C12 三人全参加的有 所以,共有 种, 2 C9 =756种不同的选法. 5 2 C12 -C9 【方法总结】组合应用题的求解策略 (1)“含”或“不含”某些元素的组合问题: “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩余元素中去取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的问题: 首先要理解“至少”与“至多”的含义,防止重复与漏 解,其次选取某条件为主线进行分类求解,当用直接法 分类较多时,可用间接法处理. 【补偿训练】100件产品中有3件次品,任意抽取5件进 行产品检验. (1)抽出的5件都是正品的抽法有多少种? (2)抽出的5件恰有2件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的5件最多有2件是次品的抽法有多少种? 【解析】(1)正品数量为100-3=97件,故共有 法. C 5 97 种抽 (2)“恰有”即是“有且只有”的意思,结合分步乘法 计数原理.分两步完成:第一步,从3件次品中抽2件有 种抽法;第二步,从97件正品中抽3件有 2 C3 抽法 ,由分步乘法计数原理知共有 种 种抽法 . C3 97 2 3 C3 C97 (3)“最多有2件”包括三类情况: 第一类,恰有2件次品有 第二类,恰有1件次品有 CC 2 3 3 97 种抽法; 种抽法; 第三类,没有次品有 CC 种抽法. 种抽法. 2 3 4 5 C3 C97 ? C1 C ? C 3 97 97 1 4 3 97 5 C 由分类加法计数原理,97 共有 类型二 几何中的组合问题 【典例2】如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B 的六个点C1,C2,C3,C4,C5,C6,AB上有异于A,B的四个点 D1,D2,D3,D4. 问:(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少 个?其中含C1点的有多少个? (2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个为顶点,可作出 多少个四边形? 【解题指南】(1)分三类,一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中 取三个点; 另一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中取一个点,从D1,D2,D3, D4中取两个点; 再一类是从C1,C2,C3,C4,C5,C6中取两个点,从D1,D2,D3, D4中取一个点. (2)构成一个四边形,需要四个点,且任意三点不共线. 【解析】(1)可分三种情况处理: ①从C1,C2,…,C6,这六个点中任取三个可构成一个三角 形. ②从C1,C2,…,C6中任取一个点,D1,D2,D3,D4中任取两点 可构成一个三角形. ③从C1,C2,…,C6中任取两个点,D1,D2,D3,D4中任取一 个点可构成一个三角形. 故可作 =116个三角形

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