福建省厦门六中11-12学年高一上学期期中试题数学


厦门六中 2011-2012 学年上学期高一期中考试

数 学 试 卷
满分 150 分 考试时间 120 分钟 2011.10.20

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的 )
1. 设集合 M ? m ? Z m ? ?3或m ? 2 , N ? n ? Z ?1 ? n ? 3 , 则 (CZ M ) ? N ? ( A. {0,1} B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2} ( )

?

?

?

?

)

2.下列各图形不是函数的图象的是

A. 3.函数 y ?

B.

C.

D. ( )

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为
2

A. [? 2, ? 1) ? (1, 2 ] C. ? ?2, ?1? ? ?1,2?

B. (? 2, ?1) ? (1, 2) D. (?2, ?1) ? (1, 2)

4 .根据表格中的数据,可以断定方程 ex ? ( x ? 2) ? 0 ( e ? 2.7 ) 的一个根所在的区间是 ( )

x
ex
x?2

-1 0.37 1

0 1 2 B.(0,1)

1 2.72 3 C.(1,2)

2 7.39 4

3 20.09 5 D.(2,3) )

A.(-1,0)
2

5.函数 f ( x) ? x ? (3a ? 1) x ? 2a 在 (??, 4) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? ?3 B. a ? 3 C. a ? 5 D. a ? ?3

第 1 页 共 1 页

6.某林区的的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y ? f ( x) 的图象大致为 ( )

7.函数 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x > 0 时 f ( x) ? ? x ? 1 ,则当 x < 0 时, f ( x ) 的 表达式为 A. f ( x) ? ? x ? 1 B. f ( x ) ? ? x ? 1 C. f ( x) ? x ? 1 ( )

D. f ( x ) ? x ? 1 ( )

8.下列各式错误的是 A. 3
0.8

? 30.7
?0.1

B. log0..5 0.4 ? log0..5 0.6 D. log2
x ?x

C. 0.75

? 0.750.1

3 ? log3 2

9 .若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a

(a ? 0, a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则
( )

g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是

10.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同 族函数 ” ,例如函数 y ? x 2 , x ? ?1,2? 与函数 y ? x 2 , x ? ?? 2,?1? 即为 “ 同族函 数 ” .请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造 “ 同族函数 ” 的是 ( ) 第 2 页 共 4页

A. y ? x

B. y ? x ? 3

C. y ? 2 x

D. y ? log 1 x
2

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分。把答案填在第Ⅱ 卷的相应题目的横线上。)
11.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 2, 2 ,则 f (9) ? 12.计算: (2 ) 2 ? (?2009) ? (
0

?

?

.

1 4

1

27 ? 2 3 ) 3 ? ( )?2 = 8 2
1 3



13. 设 f ( x) ? ?

? 2 x ? 1????x ? 0 ?log3 ? 1???x ? 0
x

则 f ( f ( )) ? __________.

14.. 函数 f (x)在(-1,1)上是奇函数,且在(-1,1)上是减函数,若 f (1-m)+f (-m)<0,则 m 的取值范围是 15.若函数 f ( x) ? ln( x2 ? ax ? 1) 有最小值,则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题:(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答时要求写出必要的文字 说明或推演步骤。)
16.(本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | 4 ? x ? 8}, B ? {x | 2 ? x ? 10}, C ? {x | x ? a}. (1)求 A ? B; (2)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ?

(C R A) ? B;

?log2 x, x ? [1,4]

2 ?( x ? 5) ? 1, x ? (4,7] (1)在给定的直角坐标系内画出 f ( x) 的图象; (2)写出 f ( x) 的单调递增区间(不需要证明); (3)写出 f ( x) 的最大值和最小值(不需要证明).

18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3)(0 < a < 1) (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)求函数 f ( x ) 的零点; (3)若函数 f ( x ) 的最小值为-4,求 a 的值。

第 3 页 共 4 页

a· 2x ? a ? 2 ( x ? R), 若 f(x)满足 f(-x)=-f(x). 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 2x ?1
(1) 求实数 a 的值;

20.(本小题满分 14 分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以 达到节约用水的目的.某市用水收费标准是:水费 ? 基本费 ? 超额费 ? 定额损耗费,且有 如下三条规定:① 若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时,只付基本费 9 元和每户每 月定额损耗费 a 元;② 若每月用水量超过 m 立方米时,除了付基本费和定额损耗费外, 超过部分每立方米付 n 元的超额费;③ 每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元. (1) 求每户每月水费 y (元)与月用水量 x (立方米)的函数关系; (2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 一 二 三 用水量 (立方米) 4 5 2.5 水费(元) 17 23 11

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m,n,a 的值. 21 . ( 本 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 对 一 切 实 数 x, y 都 有

f( x ?

) y?

f (

x ) y ? ( x ? 2? y 1成立,且 ) f (1) ? 0 .

(1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式; ( 3 )已知 a ? R ,设 P :当 0 ? x ?

1 时,不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立; Q :当 2

x ?[?2, 2]时, g ( x) ? f ( x) ? ax 是单调函数。如果满足 P 成立的 a 的集合记为 A ,满
足 Q 成立的 a 的集合记为 B ,求 A ∩ CR B ( R 为全集)。 第 4 页 共 4 页

厦门六中 2011-2012 学年上学期高一期中考试数学试卷
参考答案和评分标准 一、选择题(本大题共 50 分,每小题 5 分) BBACA DBCAB 二、填空题:11 3 12 1/2 13 0 14 (0,1/2) 15 ? ?2, 2 ?

三、解答题:
16. ( 满分 12 分) 解:(1) A ? B ? x 2 ? x ? 10 ……………3 分

?

?

CR A ? ?x x ? 4 或 x ? 8

?

………………………6 分

?CR A? ? B ? ?x 2 ? x ? 4 或 8 ? x ? 10 ?…………………9 分
(2)若 A ? C ? ? ,由数轴知 a ? ?4,??? ……………….12 分 17. ( 满分 12 分) (1) 作图. (2) 单调递增区间 [1, 4] , [5, 7] (3) 最大值是 5;最小值是 0 18. ( 满分 12 分) 解:(1)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x > 0 ,解之 ?x ? 3 > 0

得: ?3 < x < 1 , 所以函数的定义域为:(-3,1)…………………………………………4 分 (2)函数可化为 f ( x) ? loga (1 ? x)( x ? 3) ? loga (? x2 ? 2x ? 3) 由 f ( x) ? 0 ,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,
2

即 x ? 2 x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ? 3 …………………………………………6 分
2

∵-1 ? 3 ? (?3,1) ,∴ f ( x) 的零点是 ?1 ? 3 …………………………8 分
2 2 (3)函数可化为: f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3) ? log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ?

∵ ?3 < x < 1

∴0 < -(x ? 1)2 ? 4 ? 4 …………………………………………9 分

2 ∵ 0 < a < 1 ,∴ log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? log a 4 ,即 f ( x)min ? log a 4 …………10 分

由 loga 4 ? ?4 ,得 a 19. (本小题满分 12 分)

?4

? 4 ,∴ a ? 4

?

1 4

?

2 …………………………………12 分 2

解:(1)函数 f(x)的定义域为 R,又 f(x)满足 f(-x)= -f(x), 所以 f(-0)= -f(0),即 f(0)=0.所以 此时, f ? x ? ? (2)设 x1 ? x2,

2a ? 2 ? 0 ,解得 a=1, 2

………………3 分

2x ?1 ,经检验 f ( x ) 满足题意,故 a=1 2x ? 1

………………4 分

2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 ? 2 ? ? 2 ? 则 f(x1)-f(x2)= x ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ?? 2 1 ? 1 2 x2 ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? ? 2 x2 ? 1 ? ? 2 x1 ? 1?? 2 x2 ? 1?
因为 x1 ? x2,则 0 ? 2x1 ? 2x2,则 f(x1)-f(x2) ? 0,即 f(x1) ? f(x2). 所以 f(x)在定义域 R 上为增函数. (3) f ( x) ?
x

………………8 分 ………………11 分

2x ?1 2 ? 1? x , x 2 ?1 2 ?1
2 ? 2 即 f ( x) 的值域为 ? ?1,1? . 2 ?1
x

因为 2 ? 1 ? 1 ,所以 0 ? 20 。(本小题满分 14 分) (1)解:依题意得

………………12 分

0 ? x ? m, ? ?? ? ?9 ? a, y?? ? ? ?? ? ?9 ? n ? x ? m ? ? a, x ? m.
(2)解:∵ 0 ? a ? 5 ,∴ 9 ? 9 ? a ? 14 .

其中 0 ? a ? 5 .

-------------4 分

由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元,故用水量 4 立方米,5 立方米都大于 最低限量 m 立方米. 将? -------------6 分

? x ? 4 , ? x ? 5, 和? 分别代入 ???? ,得 ? y ? 17 ? y ? 23
-------------8 分 两 式 相 减 , 得 n ? 6 , 代 入

?17 ? 9 ? n ? 4 ? m ? ? a, ? ? ? ?23 ? 9 ? n ? 5 ? m ? ? a.

17 ? 9 ? n ? 4 ? m? ? a, 得 a ? 6m ? 16 .
又三月份用水量为 2.5 立方米, 若 m ? 2.5 ,将 ?

-------------11 分

? x ? 2.5, 代入 ???? ,得 a ? 6m ? 13 ,这与 a ? 6m ? 16 矛盾. ? y ? 11

∴ m ? 2.5 ,即该家庭三月份用水量 2.5 立方米没有超最低限量.-------------12 分 将 ?

? 1 6, ? x ? 2.5, ?a ? 6 m ?a ? 2 , ? ? 9a , 由 ? 代 入 ? ?? , 得 1 1 解 得 ? ? ? 9 a. ? y ? 11 ?1 1 ?m ? 3.
?a ? 2 ? 因此 ? m ? 3 …………………14 分 ?n ? 6 ?

-------------13 分

21.(本小题满分13分) 解:21. 解析:(1)令 x ? ?1, y ? 1 ,则由已知 f (0) ? f (1) ? ?1(?1 ? 2 ? 1) ∴ f (0) ? ?2 ( 2 ) 令 y ? 0 , 则 f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1) 5分 (3)不等式 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a
2 即 x ? x ?1 ? a 2 即 x ? x ? 2 ? 3 ? 2x ? a

2分 又 ∵ f ( 0)? ? 2∴ f ( x) ? x2 ? x ? 2

当0 ? x ?

1 3 1 2 3 2 时, ? x ? x ? 1 ? 1 , 又 ( x ? ) ? ? a 恒成立 2 4 2 4
9分

故 A ? {a | a ? 1}

g ( x) ? x2 ? x ? 2 ? ax ? x2 ? (1 ? a) x ? 2
又 g ( x) 在 [?2, 2] 上是单调函数,故有 ∴ B ? {a | a ? ?3, 或a ? 5} ∴ A ∩ CR B = {a |1 ? a ? 5} 13 分

a ?1 a ?1 ? ?2, 或 ?2 2 2
12 分


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