【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:第八章 解析几何 Word版含答案

第八章 解析几何

第一节 对应学生用书P115

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知 1. 在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 确定直线位置的几何要素(定点、 斜率、 倾斜角). 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (二)小题查验 1.判断正误 (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) )

(2)过点 M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45° ( (3)倾斜角越大,斜率越大( 答案:(1)× (2)× (3)× )

2.(人教 A 版教材习题改编)若过两点 A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为 12,则 m= ________. 答案:-2 3.直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是________. 解析:设直线的倾斜角为 θ,依题意知, k=- 3 cos α; 3

∵cos α∈[-1,1],∴k∈?-

?

3 3? , , 3 3?

即 tan θ∈?-

?

3 3? . , 3 3?

π? ?5π ? 又 θ∈[0,π),∴θ∈? ?0,6?∪? 6 ,π?. π? ?5π ? 答案:? ?0,6?∪? 6 ,π? 基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了 解斜截式与一次函数的关系.

-1-

(二)小题查验 1.判断正误 (1)经过点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示( )

(2)经过任意两个不同的点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x- x1)(y2-y1)表示( ) ) )

(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离(

x y (4)若直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 m,n,则方程可记为 + =1( m n 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(人教 A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则 BC 边上中线所在的直线方程为____________. 答案:x+13y+5=0 3.过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为__________________. 4 解析:①若直线过原点,则 k=- , 3 4 所以 y=- x,即 4x+3y=0. 3 ②若直线不过原点, x y 设直线方程为 + =1,即 x+y=a. a a 则 a=3+(-4)=-1, 所以直线的方程为 x+y+1=0. 答案:4x+3y=0 或 x+y+1=0

对应学生用书P115

考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.直线的倾斜角 (1)定义:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角. (2)范围:[0,π). 2.直线的斜率 π (1)定义:当直线 l 的倾斜角 α≠ 时,其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条直线的斜率,斜 2 率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan α.
-2-

(2)范围:全体实数 R. (3)斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 kP1P2= [提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角,但只有与 x 轴不垂直的直线才有斜率. (2)α=0 时 k=0;α 是锐角时 k>0;α 是钝角时 k<0. (3)已知倾斜角 θ 的范围,求斜率 k 的范围时注意下列图象的应用: π? ?π ? 当 k=tan α,α∈? ?0,2?∪?2,π?时的图象如图: y2-y1 . x2-x1

[题组练透] 3π 1.若经过两点 A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 ,则 y 等于( 4 A.-1 C .0 B.-3 D.2 )

-3-2y-1 3π 解析:选 B 由 k= =tan =-1. 4 2-4 得-4-2y=2,∴y=-3. 1? ?1 ? 2.(2015· 常州模拟)若 ab<0,则过点 P? ?0,-b?与 Q?a,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值范 围是________. 1 - -0 b a 解析:kPQ= = <0,又倾斜角的取值范围为[0,π),故直线 PQ 的倾斜角的取值范 1 b 0- a π ? 围为? ?2,π?. π ? 答案:? ?2,π? 3.(2015· 沈阳联考)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x +my+m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是________. 解析:如图所示,直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1),当 m≠0 时, 3 1 kQA= ,kPA=-2,kl=- . 2 m

-3-

1 1 3 ∴- ≤-2 或- ≥ . m m 2 1 2 解得 0<m≤ 或- ≤m<0; 2 3 当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点. 2 1 ∴实数 m 的取值范围为- ≤m≤ . 3 2 2 1? 答案:? ?-3,2? [类题通法] 1.求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出斜率 k=tan α 的取值范围; (2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角 α 的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在. 考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.点斜式 过点(x0,y0),斜率为 k 的直线方程为 y-y0=k(x-x0). 局限性:不含垂直于 x 轴的直线. 2.斜截式 斜率为 k,纵截距为 b 的直线方程为 y=kx+b. 局限性:不含垂直于 x 轴的直线. 3.两点式 y-y1 x-x1 过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)的直线方程为 = . y2-y1 x2-x1 局限性:不含垂直于坐标轴的直线. 4.截距式 x y 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b(a≠0,b≠0)的直线方程为 + =1. a b 局限性:不含垂直于坐标轴和过原点的直线. 5.一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0). [提醒] 当直线与 x 轴不垂直时,设直线的斜率为 k,则方程为 y=kx+b;当不确定直线 的斜率是否存在时,可设直线的方程为 ky+x+b=0. [典题例析] 已知△ABC 的三个顶点分别为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:

-4-

(1)BC 边所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程. y-1 x-2 解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式得 BC 的方程为 = , 3-1 -2-2 即 x+2y-4=0. (2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x,y), 2-2 1+3 则 x= =0,y= =2. 2 2 x y BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1, -3 2 即 2x-3y+6=0. 1 (3)由(1)知,直线 BC 的斜率 k1=- , 2 则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2. 由(2)知,点 D 的坐标为(0,2). 由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0), 即 2x-y+2=0. [类题通法] 1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用. [演练冲关] 求直线过点(5,10)且到原点的距离为 5 的直线方程. 解:当斜率不存在时,所求直线方程为 x-5=0,适合题意; 当斜率存在时,设斜率为 k, 则所求直线方程为 y-10=k(x-5), 即 kx-y+(10-5k)=0. 由点到直线的距离公式,得 |10-5k| 3 =5,解得 k= . 2 4 k +1

故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0. 考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明) [多角探明]

-5-

直线方程的综合应用是常考内容之一,它与函数、导数、不等式相结合,命题多为客观 题,归纳起来常见的命题角度有: (1)与基本不等式相结合的最值问题; (2)与导数几何意义相结合的问题. 角度一:与基本不等式相结合的最值问题 1.已知直线 l 过点 M(1,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标原 点.求: (1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线 l 的方程; (2)当|MA|2+|MB|2 取得最小值时,直线 l 的方程. 解:(1)设 A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0). x y 1 1 设直线 l 的方程为 + =1,则 + =1, a b a b 1 1? a b 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)? ?a+b? =2+b+a≥2+2 ab · =4, ba

当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. (2)设直线 l 的斜率为 k,则 k<0, 直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 1 ? 则 A? ?1-k,0?,B(0,1-k), 1?2 2 2 2 所以|MA|2+|MB|2=? ?1-1+k? +1 +1 +(1-1+k) 1 =2+k2+ 2≥2+2 k 1 k2·2=4, k

1 当且仅当 k2= 2,即 k=-1 时,|MA|2+|MB|2 取得最小值 4,此时直线 l 的方程为 x+y-2 k =0. 角度二:与导数几何意义相结合的问题 1 2.已知曲线 y= x ,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面 e +1 积为________. -ex -1 1 解析:y′= x ,因为 ex>0,所以 ex+ x≥2 2= 1 e ?e +1? x e + x+2 e 1 1 ex·x=2(当且仅当 ex= x, e e

-1 1 1 即 x=0 时取等号),所以 ex+ x+2≥4,故 y′= ≥- (当且仅当 x=0 时取等号).所 e 1 4 ex+ x+2 e 1? 1 以当 x=0 时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为? ?0,2?,切线的方程为 y-2=

-6-

1 1 - (x-0),即 x+4y-2=0.该切线在 x 轴上的截距为 2,在 y 轴上的截距为 ,所以该切线与 4 2 1 1 1 两坐标轴所围成的三角形的面积 S= ×2× = . 2 2 2 1 答案: 2 [类题通法] 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够 看出“动中有定”. 2.求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利 用基本不等式求解最值.
对应A本课时跟踪检测?四十五?

一、选择题 1.直线 l:xsin 30° +ycos 150° +1=0 的斜率是( A. 3 3 B. 3 D.- 3 3 )

C.- 3

sin 30° 3 解析:选 A 设直线 l 的斜率为 k,则 k=- = . cos 150° 3 2.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3),点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为( ) B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)

解析:选 D 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB =-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为:y-3=-3(x-1). 3.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 )

解析:选 D 由题意可知 a≠0.当 x=0 时,y=a+2. a+2 当 y=0 时,x= . a ∴ a+2 =a+2, a

解得 a=-2 或 a=1.

-7-

x y x y 4.两条直线 l1: - =1 和 l2: - =1 在同一直角坐标系中的图象可以是( a b b a

)

解析:选 A 取特殊值法或排除法,可知 A 正确. π 5.(2015· 哈尔滨模拟)函数 y=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= ,则直线 l:ax-by+c 4 =0 的倾斜角为( A.45° C.120° ) B.60° D.135°

π? π 解析:选 D 由函数 y=f(x)=asin x-bcos x 的一条对称轴为 x= 知,f(0)=f? ?2?,即-b 4 =a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾斜角为 135° . 6.(2014· 安徽高考)过点 P(- 3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,则直线 l 的倾斜 角的取值范围是( π? A.? ?0,6? π? C.? ?0,6? ) π? B.? ?0,3? π? D.? ?0,3?

解析:选 D 法一:如图,过点 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A, 1 B.由题意知 OP=2,OA=1,则 sin α= ,所以 α=30° ,∠BPA=60° . 2 π 0, ?.选 D. 故直线 l 的倾斜角的取值范围是? ? 3? 法二:设过点 P 的直线方程为 y=k(x+ 3)-1,则由直线和圆有公 | 3k-1| 共点知 ≤1,解得 0≤k≤ 3. 1+k2 π? 故直线 l 的倾斜角的取值范围是? ?0,3?. 二、填空题 7.若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________.

-8-

-2 x y 解析: 根据 A(a,0), B(0,b)确定直线的方程为 + =1, 又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b a + -2 =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0. b 根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,当且 仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 答案:16 8. 设点 A(-1,0), B(1,0), 直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交, 则 b 的取值范围是________. 解析:b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,如图,当直线 y=-2x +b 过点 A(-1,0)和点 B(1,0)时,b 分别取得最小值和最大值. ∴b 的取值范围是[-2,2]. 答案:[-2,2] π π? ?2π ? 9 .若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 α∈? ?6,4?∪? 3 ,π?,则 k 的取值范围是 ________________. π π? ?2π ? 解析:∵k=tan α,α∈? ?6,4?∪? 3 ,π? ∴- 3≤k<0 或 3 ≤k≤1. 3 3 ? ? 3 ,1?

答案:[- 3,0)∪?

10.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1,则此直线的方 程为______________________________________. 解:设直线的斜率为 k(k≠0), 则直线方程为 y-2=k(x+2), 由 x=0 知 y=2k+2. -2k-2 由 y=0 知 x= . k -2k-2? 1 由 |2k+2|? 2 ? k ?=1. 1 得 k=- 或 k=-2. 2 故直线方程为 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0. 答案:x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 三、解答题 11.已知直线 l 过点 M(2,1),且与 x 轴,y 轴的正半轴分别相交于 A,B 两点,O 为坐标 原点,求当| MA |· | MB |取得最小值时,直线 l 的方程.

???? ????

-9-

解:设 A(a,0),B(0,b),则 a>0,b>0, x y 2 1 直线 l 的方程为 + =1,所以 + =1. a b a b

MB =-(a-2,-1)· 故| MA |· | MB |=- MA · (-2,b-1)=2(a-2)+b-1=2a+b-5=
2 1? 2b 2a (2a+b)? ?a+b?-5= a + b ≥4, 当且仅当 a=b=3 时取等号, 此时直线 l 的方程为 x+y-3=0. 12.如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好 1 落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2 解:由题意可得 kOA=tan 45° =1, kOB=tan(180° -30° )=- 3 , 3 3 x. 3

???? ????

???? ????

所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C?

?m- 3n m+n?, ? ? 2 , 2 ?

1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A,P,B 三点共线得 2 m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , ?m-0 n-0 ? ?m-1=- 3n-1, 解得 m= 3,所以 A( 3, 3). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 3+ 3 3 = , 2 3-1

- 10 -

第二节

两直线的位置关系

对应学生用书P117

基础盘查一 两直线平行与垂直 (一)循纲忆知 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. (二)小题查验 1.判断正误 (1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2( ) )

(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1(

(3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数), 若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0( 答案:(1)× (2)× (3)√ )

2 . ( 人 教 B 版 教 材 习 题 改 编 ) 过 点 (1,2) 与 直 线 2x + y - 10 = 0 垂 直 的 直 线 方 程 为 ____________. 答案:x-2y+3=0 基础盘查二 两直线的交点 (一)循纲忆知 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. (二)小题查验 1.判断正误 (1)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,当 k1≠k2 时,l1 与 l2 相交( )

(2)过 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0 的交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x +B2y+C2)=0(λ∈R)( 答案:(1)√ (2)× )

2.(人教 A 版教材习题改编)经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y+1=0 的交点,且平行于 直线 4x-3y-7=0 的直线方程为____________. 答案:4x-3y-6=0 基础盘查三 距离公式

- 11 -

(一)循纲忆知 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. (二)小题查验 1.判断正误 |kx0+b| (1)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 ( 1+k2 ) )

(2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离(

1 (3)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的 k 中点在直线 l 上( 答案:(1)× ) (2)√ (3)√

2. (北师大版教材习题改编)两平行直线 l1, l2 分别过 A(1,0), B(0,5), 若 l1 与 l2 的距离为 5, 则 l1 与 l2 的方程分别为 l1:________________,l2:________________. 答案:y=0 或 5x-12y-5=0 y=5 或 5x-12y+60=0

对应学生用书P117

考点一 两直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.判定两直线平行的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若 k1=k2,且 b1≠b2,则两直 线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且 B1C2-B2C1≠0. 2.判定两直线垂直的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在, 若存在, 可先化成斜截式, 若 k1· k2=-1, 则两直线垂直; 若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0,则两直线也垂直. (2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 3.求两条直线的交点

- 12 -

? ?A1x+B1y+C1=0, 对于直线 l1: A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 它们的交点可由? ?A2x+B2y+C2=0 ?

求解. [题组练透] 1.(2015· 北京海淀区期末)已知直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行,则实数 m 的取值为( 1 A.- 2 C .2 ) 1 B. 2 D.-2

m -1 解析:选 A 因为直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行,所以 = ≠0,解 1 2 1 得 m=- ,故选 A. 2 2.(2015· 浙江名校联考)已知直线 l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则“a =-1”是“l1⊥l2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 若 a=-1,则 l1:x-3y-2=0,l2:-3x-y-1=0,显然两条直线垂直; 若 l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0,∴a=-1 或 a=2,因此,“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不 必要条件,故选 A. 3.(2015· 浙江温州十校联考)过两直线 2x-y-5=0 和 x+y+2=0 的交点且与直线 3x+y -1=0 平行的直线方程为________________.
?2x-y-5=0, ? 解析: 联立? 得交点 P(1,-3). ?x+y+2=0, ?

设过点 P 且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程为 3x+y+m=0,则 3×1-3+m=0,解 得 m=0. 答案:3x+y=0 [类题通法] 1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键,对于斜率都存在且不重合的 两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条 直线的斜率是多少一定要特别注意. 2.两直线交点的求法 求两直线交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为 交点. 3.常见的三大直线系方程

- 13 -

(1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m=0(m∈R). (3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y +C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R),但不包括 l2. 考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. 2.点到直线的距离公式 |Ax0+By0+C| 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . A2+B2 3.两平行直线间的距离公式 两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为 d= |C1-C2| A2+B2 .

[提醒] 在解题过程中,易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须 是一般式,导致出现错解.特别是两平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中的 x, y 的系数要对应相等. [典题例析] 已知点 P(2,-1). (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程. (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明 理由. 解:(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2,而点 P 的坐标为(2,-1),显然,过 P(2,- 1)且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0. (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线,如图.

- 14 -

由 l⊥OP,得 klkOP=-1,所以 kl=-

1 =2. kOP

由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. |-5| 所以直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线,最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线,因此不存在过点 P 且到原点的 距离为 6 的直线. [类题通法] 解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离 求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在. [演练冲关] 已知 l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当 l1,l2 间的距离最大时, 则直线 l1 的方程是__________________________. 解析:当直线 AB 与 l1,l2 垂直时,l1,l2 间的距离最大.因为 A(1,1),B(0,-1),所以 kAB= -1-1 1 1 =2,所以两平行直线的斜率为 k=- ,所以直线 l1 的方程是 y-1=- (x-1), 2 2 0-1

即 x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 1.中心对称 (1) 点关于点对称:若点 M(x1 , y1) 与 N(x , y) 关于 P(a , b) 对称,则由中点坐标公式得
? ?x=2a-x1, ? 进而求解. ?y=2b-y1, ?

(2)直线关于点对称问题的主要解法:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们 关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2, 由点斜式得到所求的直线方程. 2.轴对称

- 15 -

(1)点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对称,则线段 P1P2 的中点在对 称轴 l 上,且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l, x +x y +y ? ?A? 1 2?+B? 1 2?+C=0, 2 2 ? ? ? ? 由方程组? ? ?A?y1-y2?=B?x1-x2?, 可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2,y2)(其中 A≠0,x1≠x2). 特别地,若直线 l:Ax+By+C=0 满足|A|= |B|,则 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)坐标关系为
?Ax1+By2+C=0, ? ? ? ?Ax2+By1+C=0.

(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行. [多角探明] 对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见 的命题角度有: (1)点关于点对称; (2)点关于线对称; (3)线关于线对称; (4)对称问题的应用. 角度一:点关于点的对称 1.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被点 P 平分,求直线 l 的方程. 解:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以由两点式得直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 角度二:点关于线对称 2.已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),求点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标. 解:设 A′(x,y),

- 16 -

y+2 2 ? ?x+1×3=-1, 再由已知得? x-1 y-2 ? ?2× 2 -3× 2 +1=0,

?x=-13, 解得? 4 ?y=13,

33

33 4 ? 故 A′? ?-13,13?.

角度三:线关于线对称 3.在[角度二]的条件下,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程. 解:在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则 a+2? b+0? 2×? -3×? ? ? ? 2 ? ? 2 ?+1=0, ?b-0 2 ? ?a-2×3=-1, 设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? 得 N(4,3). ? ?3x-2y-6=0,

6 30? 得 M′? ?13,13?.

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 角度四:对称问题的应用 4.已知光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. 解:作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点为 D′,则易得 A′(-2,-4),D′(1,6).由入射角等 于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. y-6 x-1 故 BC 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. -4-6 -2-1 [类题通法] 对称问题的解题策略 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求 对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是 两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分” 列出一个方程,联立求解.

- 17 -

对应B本课时跟踪检测?四十六?

一、选择题 1.与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 )

B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

解析:选 A 与直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x +4y+5=0. 2.已知平面内两点 A(1,2),B(3,1)到直线 l 的距离分别是 2, 5- 2,则满足条件的直 线 l 的条数为( A.1 C .3 ) B.2 D.4 5,所以

解析:选 C 由题知满足题意的直线 l 在线段 AB 两侧各有 1 条,又因为|AB|= 还有 1 条为过线段 AB 上的一点且与 AB 垂直的直线,故共 3 条.

3. (2015· 广元模拟)若直线 l1: x-2y+m=0(m>0)与直线 l2: x+ny-3=0 之间的距离是 5, 则 m+n=( A.0 C.-1 ) B.1 D.2

解析:选 A ∵直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与直线 l2:x+ny-3=0 之间的距离为 5, n=-2, ? ? ∴?|m+3| = 5, ? ? 5 ∴n=-2,m=2(负值舍去).∴m+n=0. 4.(2015· 济南模拟)“m=3”是“直线 l1:2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0 与直线 l2:(m -3)x+2y-5=0 垂直”的( A. 充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 A 由 l1⊥l2,得 2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0, ∴m=3 或 m=-2. ∴m=3 是 l1⊥l2 的充分不必要条件. 5.(2015· 云南统考)已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 上, 10? 且 AB 线段的中点为 P? ?0, a ?,则线段 AB 的长为( )

- 18 -

A.11 C .9

B.10 D.8

?x-2y=0, ? 解析:选 B 依题意,a=2,P(0,5),设 A(x,2x),B(-2y,y),故? 则 A(4,8), ?2x+y=10, ?

B(-4,2),∴|AB|= ?4+4?2+?8-2?2=10. |x| |y| 6.已知曲线 - =1 与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是( 2 3 A.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-4,4) D.(-3,3) )

|x| |y| 解析:选 A 曲线 - =1 的草图如图所示.由该曲线与直线 y=2x+m 有两个交点, 2 3 可得 m>4 或 m<-4.

二、填空题 7.(2015· 重庆检测)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0, 则直线 l1 与 l2 的距离为________. 1 解析:直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,即 3x+4y+ =0, 2

∴直线 l1 与 l2 的距离为 3 答案: 2

?1+7? ?2 ?
3 +4
2

2=2.

3

8.(2015· 河北秦皇岛检测)直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2 的方程为 ________________.
? ?y=2x+3, 解析:由? ?y=x+1, ?

解得直线 l1 与 l 的交点坐标为(-2,-1), ∴可设直线 l2 的方程为 y+1=k(x+2), 即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点(1,2), 由题设知点(1,2)到直线 l1,l2 的距离相等,

- 19 -

|k-2+2k-1| |2-2+3| 由点到直线的距离公式得 = , k2+1 22+1 1 解得 k= (k=2 舍去), 2 ∴直线 l2 的方程为 x-2y=0. 答案:x-2y=0 9.若在平面直角坐标系内过点 P(1, 3),且与原点的距离为 d 的直线有两条,则 d 的取 值范围为________. 解析:因为原点到点 P 的距离为 2,所以过点 P 与原点的距离都不大于 2,故 d∈(0,2). 答案:(0,2) 10.如图,已知 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光 线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点,经 BC 反射后,再经 AC 反射,落到线 段 AE 上(不含端点),则直线 FD 的斜率的取值范围为________. 解析:从特殊位置考虑.如图, ∵点 A(-2,0)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 A1(2,4), ∴kA1F=4.又点 E(-1,0)关于直线 AC: y=x+2 的对称点为 E1(- 2,1),点 E1(-2,1)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 E2(1,4),此时 直线 E2F 的斜率不存在,∴kFD>kA1F,即 kFD∈(4,+∞). 答案:(4,+∞) 三、解答题 11.已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值: (1)l1⊥l2,且 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)由已知可得 l2 的斜率存在,且 k2=1-a. 若 k2=0,则 1-a=0,a=1. ∵l1⊥l2,直线 l1 的斜率 k1 必不存在,即 b=0. 4 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+4=0,即 a= (矛盾). 3 ∴此种情况不存在,∴k2≠0. a 即 k1,k2 都存在,∵k2=1-a,k1= ,l1⊥l2, b a ∴k1k2=-1,即 (1-a)=-1.① b 又∵l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0.② 由①②联立,解得 a=2,b=2.
- 20 -

(2)∵l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在, a k1=k2,即 =1-a.③ b 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且 l1∥l2, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b,④ b

? ? ?a= , ?a=2, 联立③④,解得? 或? 3 ?b=-2 ? ? ?b=2.
2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 12.(2015· 东营模拟)设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 面积取最 小值时,直线 l 的方程. 解:(1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0,此时 a+2=0,解 得 a=-2, 此时直线 l 的方程为-x+y=0,即 x-y=0; 当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 且 a≠-1 时, 2+a 由直线在两坐标轴上的截距相等可得 =2+a, a+1 解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0. 所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. (2)由直线方程可得 M? 因为 a>-1,
2 1 2+a 1 [?a+1?+1] 所以 S△OMN= × ×(2+a)= × 2 a+1 2 a+1

2

?2+a,0?,N(0,2+a), ? ?a+1 ?

1 1 1 ? = ??a+1?+a+1+2?≥ ×?2 2? ? 2 ?

1 ? ?a+1?· +2?=2, a+1 ?

1 当且仅当 a+1= ,即 a=0 时等号成立. a+1 此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.

- 21 -

第三节

圆的方程

对应学生用书P120

基础盘查一 圆的定义及标准方程 (一)循纲忆知 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题. (二)小题查验 1.判断正误 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )

(2)已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),则以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y- y2)=0( )

(3)方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0,B=0,D2+E2- 4AF>0( ) (2)√ (3)√

答案:(1)√

2.(人教 A 版教材例题改编)已知圆心为 C 的圆过点 A(1,1),B(2,-2)且圆心 C 在直线 l: x-y+1=0 上,则圆的标准方程为________________. 答案:(x+3)2+(y+2)2=25 3. (2015· 金华十校联考)已知圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,与 y 轴相切,与 x 轴相交 于点 A、B,且 AB= 3,则该圆的标准方程是____________________. 解析:依题可设圆 C:(x-1)2+(y-b)2=1(b>0),且? 1 y- ?2=1. 所以圆 C 的标准方程为(x-1)2+? ? 2? 1 y- ?2=1 答案:(x-1)2+? ? 2? 基础盘查二 点与圆的位置关系 (一)循纲忆知 了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外). (二)小题查验 1 3? 2 +b2=1,可解得 b= , 2 ?2?

- 22 -

1.判断正误
2 (1)若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外,则 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F>0(

)

(2)已知圆的方程为 x2+y2-2y=0,过点 A(1,2)作该圆的切线只有一条( 答案:(1)√ (2)×

)

2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围是________. 解析:因为点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4. 即 a2<1,故-1<a<1. 答案:(-1,1)

对应学生用书P120

考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2,其中(a,b)为圆心,r 为半径. 2.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0. D E 1 - ,- ?为圆心, D2+E2-4F为半径. 当 D2+E2-4F>0 时表示圆,其中? 2? ? 2 2 B=0, ? ? [提醒] 方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件:?A=C≠0, ? ?D2+E2-4AF>0.
2 2

[题组练透] 1.(2015· 潍坊一模)若圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为( A.(x-2)2+(y± 2)2=3 C.(x-2)2+(y± 2)2=4 B.(x-2)2+(y± 3)2=3 D.(x-2)2+(y± 3)2=4 )

解析:选 D 因为圆 C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线 x=2 上,又圆与 y 轴相切, 所以半径 r=2,设圆心坐标为(2,b),则(1-2)2+b2=4,b2=3,b=± 3,选 D. 2.(2015· 温州十校联考)已知抛物线 C1:x2=2y 的焦点为 F,以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A,B 两点,交 C1 的准线于 C,D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方程为( 1?2 A.x2+? ?y-2? =3 C.x2+(y-1)2=12 1?2 B.x2+? ?y-2? =4 D.x2+(y-1)2=16 )

解析:选 B 如图,连接 AC,BD,由抛物线的定义与性质可知

- 23 -

1? ? 3 1 1? 圆心坐标为 F? ?0,2?,而|FA|=|AD|=|FB|为圆的半径 r,于是 A? 2 r,2+2r?,而 A 在抛物线 上,故? 3 ?2 ?1 1 ? =2?2+2r?,∴r=2,故选 B. ? 2 r?

3.圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,则 圆 C 的方程为______________. 解析:设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 k,2 为 x2+Dx+F=0 的两根, ∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0. ∴E=-2k-1. 故所求圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0, 圆心坐标为? k+2 2k+1? ? 2 , 2 ?.

∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1, 2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3. 2-k ∴D=1,E=5,F=-6. ∴所求圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y-6=0. 答案:x2+y2+x+5y-6=0 [类题通法] 解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是:如果由已知条件易得圆心坐标、半 径或可用圆心坐标、半径列方程,则通常选择设圆的标准方程,否则选择设圆的一般方程. 考点二 与圆有关的最值、范围问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 1.与圆的几何性质有关的最值 (1)记 O 为圆心,圆外一点 A 到圆上距离最小为|AO|-r,最大为|AO|+r; (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为以该点为中点的弦; (3)记圆心到直线的距离为 d,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为 d+r,最小 距离为 d-r; (4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆. 2.与圆上点(x,y)有关的最值 y-b (1)形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x-a (2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;

- 24 -

(3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题, 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. [多角探明] 与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来 常见的命题角度有: (1)斜率型最值问题; (2)截距型最值问题; (3)距离型最值问题; (4)利用对称性求最值、范围等; (5)建立目标函数求最值问题. 角度一:斜率型最值问题 y 1.已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求 的最大值和最小值. x 解:原方程可化为(x-2)2+y2=3, 表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆. y 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, x y 所以设 =k,即 y=kx. x 如图所示,当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值或最小值, 时 |2k-0| = k2+1 3,解得 k=± 3. 此

y 所以 的最大值为 3,最小值为- 3. x 角度二:截距型最值问题 2.在[角度一]条件下求 y-x 的最大值和最小值. 解:y-x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,如图所示,当直 |2-0+b| 线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或最小值,此时 2 = 3,解得 b=-2± 6. 所以 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. 角度三:距离型最值问题 3.在[角度一]条件下求 x2+y2 的最大值和最小值. 解:如图所示,x2+y2 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平 几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小 值. 面

- 25 -

又圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以 x2+y2 的最大值是(2+ 3)2=7+4 3,x2+y2 的最小值是(2- 3)2=7-4 3. 角度四:利用对称性求范围 4.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN =45° ,则 x0 的取值范围是( A.[-1,1] C.[- 2, 2] ) 1 1? B.? ?-2,2? D.?-

?

2 2? , 2 2?

解析:选 A 当点 M 的坐标为(1,1)时,圆上存在点 N(1,0),使得∠OMN=45° ,所以 x0 =1 符合题意,故排除 B,D;当点 M 的坐标为( 2,1)时,OM= 3,过点 M 作圆 O 的一条 切线 MN′,连接 ON′,则在 Rt△OMN′中,sin∠OMN′= 3 2 < ,则∠OMN′<45° ,故 3 2

此时在圆 O 上不存在点 N,使得∠OMN=45° ,即 x0= 2不符合题意,排除 C,故选 A. 角度五:建立目标函数求最值问题 5.设圆 x2+y2=2 的切线 l 与 x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点 A,B,当|AB|取最小值 时,切线 l 的方程为__________________________________________________. x y 解析:设点 A,B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b)(a,b>0),则直线 AB 的方程为 + =1, a b 即 bx+ay-ab=0,因为直线 AB 和圆相切,所以圆心到直线 AB 的距离 d= |-ab| = 2,即 a2+b2 ab ≥2 2, 2

2(a2+b2)=(ab)2≥4ab,所以 ab≥4, 当且仅当 a=b 时取等号,又|AB|= a2+b2=

x y 所以|AB|的最小值为 2 2,此时 a=b,即 a=b=2,切线 l 的方程为 + =1,即 x+y-2=0. 2 2 答案:x+y-2=0 [类题通法] 求解与圆有关的最值问题的两大规律 1.借助几何性质求最值 处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助 数形结合思想求解. 2.建立函数关系式求最值 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、 配方法、判别式法等,利用基本不等式求最值是比较常用的. 考点三 与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)

- 26 -

[必备知识] 1.求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程,然后由方程研究轨迹图形;求动点的轨迹 方程有时需要先由条件判断轨迹图形,再由图形求方程. 2.常用求法: (1)定义法 (2)相关点代入法 [提醒] “轨迹”与“轨迹方程”的区别:“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小(范 围)等特征;“轨迹方程”是方程(等式),不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围. [典题例析] 已知圆 x2+y2=4 上一定点 A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90° ,求线段 PQ 中点的轨迹方程. 解:(1)设 AP 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x-2,2y). 因为 P 点在圆 x2+y2=4 上,所以(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y). 在 Rt△PBQ 中,|PN|=|BN|. 设 O 为坐标原点,连接 ON,则 ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2, 所以 x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2+y2-x-y-1=0. [类题通法] 求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法 (1)直接法:根据题设条件直接列出方程; (2)定义法:根据圆的定义写出方程; (3)几何法:利用圆的性质列方程; (4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式. [演练冲关] 设定点 M(-3,4), 动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM, ON 为两边作平行四边形 MONP, 求点 P 的轨迹. x y? 解:如图,设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为? ?2,2?, 线段 MN 的中点坐标为? x0-3 y0+4? ? 2 , 2 ?.

因为平行四边形的对角线互相平分,

- 27 -

x x0-3 y y0+4 所以 = , = , 2 2 2 2
?x0=x+3, ? 整理得? ?y0=y-4. ?

又点 N(x+3,y-4)在圆 x2+y2=4 上, 所以(x+3)2+(y-4)2=4. 所以点 P 的轨迹是以(-3,4)为圆心,2 为半径长的圆,因为 O,M,P 三点不共线,所以 9 12? ? 21 28? 应除去两点? ?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?.
对应A本课时跟踪检测?四十七?

一、选择题 1.(2015· 北京西城期末)若坐标原点在圆(x-m)2+(y+m)2=4 的内部,则实数 m 的取值范 围是( ) B.(- 3, 3) D.?-

A.(-1,1) C.(- 2, 2)

?

2 2? , 2 2?

解析:选 C ∵(0,0)在(x-m)2+(y+m)2=4 的内部,则有(0-m)2+(0+m)2<4,解得- 2 <m< 2,选 C. 2.圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的和是 ( ) A.30 C.10 2 B.18 D.5 2

解析:选 C 由圆 x2+y2-4x-4y-10=0 知圆心坐标为(2,2),半径为 3 2,则圆上的点 |2+2-14| |2+2-14| 到直线 x+y-14=0 的最大距离为 +3 2=8 2, 最小距离为 -3 2=2 2, 2 2 故最大距离与最小距离的和为 10 2. 3. 设圆的方程是 x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0, 若 0<a<1, 则原点与圆的位置关系是( A.原点在圆上 C.原点在圆内 B.原点在圆外 D.不确定 )

解析:选 B 将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a,因为 0<a<1,所以(0 +a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0,即 ?0+a?2+?0+1?2> 2a,所以原点在圆外. 4.已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )

- 28 -

A.5 2-4 C.6-2 2

B. 17-1 D. 17

解析:选 A 圆 C1,C2 的图象如图所示.

设 P 是 x 轴上任意一点, 则|PM|的最小值为|PC1|-1, 同理|PN|的最小值为|PC2|-3, 则|PM| +|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作 C1 关于 x 轴的对称点 C1′(2,-3),连接 C1′C2,与 x 轴交于点 P,连接 PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1′C2|,则|PM|+|PN|的最小值为 5 2- 4,故选 A. 5.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A.(x-2) +(y+1) =1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解析:选 A 设 M(x0,y0)为圆 x2+y2=4 上任一点,PM 中点为 Q(x,y), 4 , ?x=x + 2 则? y -2 ?y= 2 ,
0 0 2 2

)

? ?x0=2x-4, ∴? ?y0=2y+2. ?

代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4, 即(x-2)2+(y+1)2=1. 6.(2014· 北京高考)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0).若 圆 C 上存在点 P,使得 ∠APB=90° ,则 m 的最大值为( A.7 C .5 B.6 D.4 )

解析:选 B 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的 坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m,因为∠APB=90° ,连接 OP, 1 易知|OP|= |AB|=m.要求 m 的最大值, 即求圆 C 上的点 P 到原点 O 2 的最大距离.因为|OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即

- 29 -

m 的最大值为 6. 二、填空题 7.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点(1,0)且被 x 轴分成两段,弧长比为 1∶2,则圆 C 的方 程为 ________________. 2π 解析:由已知圆心在 y 轴上,且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 ,设圆心(0,a), 半径为 3 π π 2 4 3 r,则 rsin =1,rcos =|a|,解得 r= ,即 r2= ,|a|= , 3 3 3 3 3 3 4 3 即 a=± ,故圆 C 的方程为 x2+?y± ?2= . 3 ? 3? 3 4 3 答案:x2+?y± ?2= ? 3? 3 8.(2015· 绍兴模拟)点 P(1,2)和圆 C:x2+y2+2kx+2y+k2=0 上的点的距离的最小值是 ________. 解析:圆的方程化为标准式为(x+k)2+(y+1)2=1. ∴圆心 C(-k,-1),半径 r=1. 易知点 P(1,2)在圆外. ∴点 P 到圆心 C 的距离为: |PC|= ?k+1?2+32= ?k+1?2+9≥3. ∴|PC|min=3. ∴点 P 和圆 C 上点的最小距离 dmin=|PC|min-r=3-1=2. 答案:2 9.若圆 C:x2-2mx+y2-2 my+2=0 与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是________. 解 析 : 圆 C 的 标 准 方 程 为 (x - m)2 + (y - m )2 = m2 + m - 2 , 依 题 意 有

? ? m≤ ?m≥0.

m2+m-2>0, m2+m-2, 得 m≥ 2.

答案:[ 2,+∞) 10.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的 最小值是________. 解析:lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到 l 的距离 d= 则 AB 边上的高的最小值为 3 -1. 2 3 , 2

3 1 故△ABC 面积的最小值是 ×2 2×? -1?=3- 2. 2 ? 2 ?

- 30 -

答案:3- 2 三、解答题 11.已知圆的方程是 x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中 a≠1,且 a∈R. (1)求证:a 取不为 1 的实数时,上述圆过定点; (2)求圆心的轨迹方程. 解:(1)证明:将方程 x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0 整理得 x2+y2-4y+2-a(2x-2y)= 0(a≠1,且 a∈R),
2 2 ? ? ?x +y -4y+2=0, ?x=1, 令? 解得? ?2x-2y=0, ? ? ?y=1.

所以 a 取不为 1 的实数时,上述圆过定点(1,1). (2)由题意知圆心坐标为(a,2-a),且 a≠1,
?x=a, ? 又设圆心坐标为(x,y),则有? 消去参数 a,得 x+y-2=0(x≠1),即为所求圆 ? ?y=2-a,

心的轨迹方程. 12. 已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(-1,0)和 B(3,4),线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD|=4 10. (1)求直线 CD 的方程; (2)求圆 P 的方程. 解:(1)∵直线 AB 的斜率 k=1,AB 的中点坐标为(1,2). ∴直线 CD 的方程为 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. (2)设圆心 P(a,b),则由 P 在 CD 上得 a+b-3=0.① 又∵直径|CD|=4 10,∴|PA|=2 10. ∴(a+1)2+b2=40.②
?a=-3, ?a=5, ? ? 由①②解得? 或? ? ? ?b=6, ?b=-2.

∴圆心 P(-3,6)或 P(5,-2). ∴圆 P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40 或(x-5)2+(y+2)2=40.

第四节

直线与圆、圆与圆的位置关系

对应学生用书P122

- 31 -

基础盘查一 直线与圆的位置关系 (一)循纲忆知 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系(相交、相切、相离). 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. (二)小题查验 1.判断正误 (1)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2(
2 2 2

)

(2)过圆 O:x +y =r 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为 A,B,则 O,P,A,B 四点共圆且直线 AB 的方程是 x0x+y0y=r2( 答案:(1)√ (2)√ )

2.(人教 A 版教材例题改编)已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截 得的弦长为 4 5,则直线 l 的方程为________________. 答案:x+2y+9=0 或 2x-y+3=0 3.过坐标原点且与圆 x2-4x+y2+2=0 相切的直线方程为________________. 解析:圆的标准方程为 (x-2)2+y2=2.则圆心(2,0),半径 r= 2.设直线方程为 y=kx.则 |2k| = 2,解得 k=± 1,所以直线方程为 y=± x. k2+1 答案:y=± x 基础盘查二 圆与圆的位置关系 (一)循纲忆知 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系(内含、内切、相交、外切、相离). (二)小题查验 1.判断正误 (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切( (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交( ) )

(3) 从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.(人教 B 版教材习题改编)两圆 x2+y2=1 与(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则常数 a= ________. 答案:± 2 5或 0

- 32 -

c 3.两圆交于点 A(1,3)和 B(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上,则 m+c 的值等于 2 ________. 解析:有题意可知线段 AB 的中点? 答案:3 m+1 ? c ,2 在直线 x-y+ =0 上,代入得 m+c=3. 2 2 ? ?

对应学生用书P122 考点一 直线与圆的位置关系(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与半径长 r 的大小关系来判断. 若 d>r,则直线与圆相离; 若 d=r,则直线与圆相切; 若 d<r,则直线与圆相交. (2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程,根据一元二 次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断. 如果 Δ<0,方程无实数解,从而方程组也无实数解,那么直线与圆相离; 如果 Δ=0,方程有唯一实数解,从而方程组也有唯一一组实数解,那么直线与圆相切; 如果 Δ>0,方程有两个不同的实数解,从而方程组也有两组不同的实数解,那么直线与圆 相交. [提醒] 直线与圆的位置关系的判断多用几何法. [题组练透] 1.“a=1”是“直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 直线 l:y=kx+a 经过定点 P(0,a),显然当 a=1 时,点 P 在圆 C 内,所以 直线 l 与圆 C 恒相交, 故“a=1”是“直线 l: y=kx+a 和圆 C: x2+y2=2 相交”的充分条件; 而当 a=0 时,亦有直线 l 和圆 C 相交,所以“a=1”是“直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2= 2 相交”的不必要条件.综上,“a=1”是“直线 l:y=kx+a 和圆 C:x2+y2=2 相交”的充 分不必要条件. x 1 2. (2015· 江苏扬州中学月考)已知方程 x2+ - =0 有两个不等实根 a 和 b, 那么过 tan θ sin θ 点 A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆 x2+y2=1 的位置关系是________. 解析:由题意可知过 A,B 两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,圆心到直线 AB 的距离

- 33 -

? 1 ? ?sin θ? |ab| 1 1 为 d= ,而 a+b=- ,ab=- ,因此 d= ,化简后得 d=1, 2 tan θ sin θ 1 ?a+b? +1 2 +1 tan θ
故直线与圆相切. 答案:相切 [类题通法] 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法; 若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几何法,尽量不 用代数法. 考点二 切线、弦长问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.有关弦长问题的两种方法 l? l (1)几何法:直线被圆截得的半弦长 ,弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形,即 r2=? ?2? 2
2

+d2; (2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于 x 的一元二次方程,由根与系数

的关系即可求得弦长|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1+k2 = 1+ 1 k2 ?y1+y2?2-4y1y2.

?x1+x2?2-4x1x2或|AB|=

1 1+ 2|y1-y2| k

2.过一点求圆的切线的方法 (1)过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 1 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求切线方 k 程.若切线斜率不存在,则由图形写出切线方程 x=x0. (2)过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线 的距离等于半径,即可得出切线方程.当斜率不存在时要加以验证. [典题例析] 1.(2014· 大纲全国卷)直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________. 解析:根据题意作出图象如图所示,连接 OA,OB,则|AO|= ?1-0?2+?3-0?2= 10,|OB|= 2, ∴|AB|= |AO|2-|OB|2=2 2,

- 34 -

2 1 ∴tan∠BAO= = , 2 2 2 ∴l1 与 l2 的夹角的正切值等于 1 2× 2 4 2tan∠BAO tan 2∠BAO= = = . 1 3 1-tan2∠BAO 1- 4 4 答案: 3 2. (2014· 重庆高考)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A, B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 解析:圆 C:x2+y2+2x-4y-4=0 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9,所以圆心为 C(- |-1-2+a| 3 2 1,2),半径为 3.因为 AC⊥BC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离为 ,即 = 2 2 3 2 ,所以 a=0 或 6. 2 答案:0 或 6 [类题通法] 1.在讨论有关直线与圆的相交弦问题时,如能充分利用好平面几何中的垂径定理,并在 相应的直角三角形中计算,往往能事半功倍. 2.圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题. [演练冲关] 1.(2014· 重庆高考)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相交于 A, B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 解析: 依题意, 圆 C 的半径是 2, 圆心 C(1, a)到直线 ax+y-2=0 的距离等于 |1· a+a-2| 于是有 = 3,即 a2-8a+1=0,解得 a=4± 15. a2+1 答案:4± 15 2.(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为________. |2-2-3| 3 解析:因为圆心(2,-1)到直线 x+2y-3=0 的距离 d= = ,所以直线 x+2y 5 5 -3=0 被圆截得的弦长为 2 2 55 答案: 5 考点三 圆与圆的位置关系(题点多变型考点——全面发掘)
- 35 -

3 ×2= 3, 2

9 2 55 4- = . 5 5

[必备知识] 1.圆与圆的位置关系 圆与圆有五种位置关系,分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离;外切和内切统称为相切. 两圆相离——没有公共点,两圆相切——有唯一公共点,两圆相交——有两个不同的公 共点. 2.判断两圆的位置关系常用的方法是几何法 [提醒] 判断两圆位置关系时常用几何法,利用两圆组成的方程组解的个数,不能判断内 切与外切,外离与内含. [一题多变] [典型母题] (2015· 合肥二模)已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相外切, 则 ab 的最大值为( A. 6 2 ) 3 B. 2 D.2 3

9 C. 4 [解析] 由圆 C1 与圆 C2 相外切,

可得 ?a+b?2+?-2+2?2=2+1=3,即(a+b)2=9, 根据基本不等式可知 ab≤? a+b?2 9 ? 2 ? =4,

当且仅当 a=b 时等号成立.故选 C. [答案] C [题点发散 1] 本例条件中“外切”变为“内切”,则 ab 的最大值为________. 解析:由 C1 与 C2 内切得 ?a+b?2+?-2+2?2=1. 即(a+b)2=1,又 ab≤? a+b?2 1 ? 2 ? =4,当且仅当 a=b 时

1 等号成立,故 ab 的最大值为 . 4 1 答案: 4 [ 题 点 发 散 2] 本例条件“外切”变为“相交”,则公共弦所在的直线方程为

____________________. 解析:由题意得,把圆 C1,圆 C2 的方程都化为一般方程. 圆 C1:x2+y2-2ax+4y+a2=0,①

- 36 -

圆 C2:x2+y2+2bx+4y+b2+3=0,② 由②-①得(2a+2b)x+3+b2-a2=0, 即(2a+2b)x+3+b2-a2=0 为所求公共弦所在直线方程. 答案:(2a+2b)x+3+b2-a2=0 [题点发散 3] 本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切线”, 则直线 x+y-1=0 与圆 (x-a)2+(y-b)2=1 的位置关系是________. 解析:由两圆存在四条切线,故两圆外离, ?a+b?2+?-2+2?2>3. ∴(a+b)2>9.即 a+b>3 或 a+b<-3. |a+b-1| 又圆心(a,b)到直线 x+y-1=0 的距离 d= >1, 2 ∴直线 x+y-1=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=1 相离. 答案:相离 [类题通法] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
对应B本课时跟踪检测?四十八?

一、选择题 1.(2015· 温州十校联考)对任意的实数 k,直线 y=kx-1 与圆 C:x2+y2-2x-2=0 的位 置关系是( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.以上三个选项均有可能

解析:选 C 直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),圆 x2+y2-2x-2=0 的圆心为 C(1,0), 半径为 3,而|AC|= 2< 3,故直线 y=kx-1 与圆 x2+y2-2x-2=0 相交,故选 C. 2.(2015· 成都外国语学校模拟)已知圆 C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x -y-1=0 对称,则圆 C2 的方程为( A.(x+2)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 ) B.(x-2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

解析:选 B C1:(x+1)2+(y-1)2=1 的圆心为(-1,1),所以它关于直线 x-y-1=0 对称 的点为(2,-2),对称后半径不变,所以圆 C2 的方程为(x-2)2+(y+2)2=1. 3.(2015· 河南南阳三联)动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直 线 y=x+2 2+1 总有公共点,则圆 C 的面积( )

- 37 -

A.有最大值 8π C.有最小值 3π

B.有最小值 2π D.有最小值 4π
2

解析:选 D 设圆心 C(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即 a 1 2 ? 1 1 2 b ,b , = b2, ∴圆心 C? r = b +1, 圆心到直线 y=x+2 2+1 的距离为 d= 4 ? ? 4 4

?b -b+2 2+1? ?4 ?
2

b2 1 ≤ +1,∴b≤-2(2 2+3)或 b≥2.当 b=2 时,rmin= ×4+1=2,∴Smin=πr2=4π. 4 4 4.(2015· 北京西城区期末)已知圆 C:(x+1)2+(y-1)2=1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ? AB 的中点为 M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是( A.y=x+2- 2 C.y=x-2+ 2 B.y=x+1- 1 2 )

D.y=x+1- 2

解析:选 A 因为圆 C 与两轴相切,且 M 是劣弧 ? AB 的中点,所以直线 CM 是第二、四 象限的角平分线,所以斜率为-1,所以过 M 的切线的斜率为 1.因为圆心到原点的距离为 2, 所以|OM|= 2-1,所以 M? y=x+2- 2. 5.已知直线 x+y-k=0(k>0)与圆 x2+y2=4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点,且有 | OA + OB |≥ 2 2 2 2? ,所以切线方程为 y-1+ =x- +1,整理得 2 2 ? 2 -1,1- 2 ?

??? ?

??? ?

? 3 ??? | AB |,那么 k 的取值范围是( 3

) B.[ 2,+∞) D.[ 3,2 2)

A.( 3,+∞) C.[ 2,2 2) 解析:选 C 如图,当| OA + OB |=

??? ?

??? ?

? 3 ??? | AB |时,O,A,B 三点为等腰 3

三角形的三个顶点,其中 OA=OB,∠AOB=120° ,从而圆心 O 到直线 x+ y-k=0(k>0)的距离为 1,此时 k= 2;当 k> 2时,| OA + OB |>

??? ?

??? ?

? 3 ??? | AB |, 3

又直线与圆 x2+y2=4 有两个不同的交点,故 k<2 2,综上 k 的取值范围为[ 2,2 2). 6.(2014· 江西高考)在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为 直径的圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( 4π A. 5 C.(6-2 5)π 3π B. 4 5π D. 4 )

a b? 2 2 解析:选 A 法一:设 A(a,0),B(0,b),圆 C 的圆心坐标为? ?2,2?,2r= a +b ,由题

- 38 -

知圆心到直线 2x+y-4=0 的距离 d=

?a+b-4? ? 2 ?
5

=r,即|2a+b-8|=2 5r,2a+b=8± 2 5r,

由(2a+b)2≤5(a2+b2),得 8± 2 5r≤ 2 5r?r≥

2 4π ,即圆 C 的面积 S=πr2≥ . 5 5

法二:由题意可知以线段 AB 为直径的圆 C 过原点 O,要使圆 C 的面积最小,只需圆 C 的半径或直径最小.又圆 C 与直线 2x+y-4=0 相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的 最小值为点 O 到直线 2x+y-4=0 的距离,此时 2r= 4π S=πr2= . 5 二、填空题 7.(2015· 济南一模)已知直线 3x-4y+a=0 与圆 x2-4x+y2-2y+1=0 相切,则实数 a 的 值为________. 解析:圆 x2-4x+y2-2y+1=0 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆心坐标为(2,1), |3×2-4×1+a| 半径为 2.由直线 3x-4y+a=0 与圆(x-2)2+(y-1)2=4 相切得 2= ,所以|a+ 32+?-4?2 2|=10,解得 a=-12 或 a=8. 答案:-12 或 8 8.圆 x2+y2+x-2y-20=0 与圆 x2+y2=25 相交所得的公共弦长为________. 解析:公共弦的方程为(x2+y2+x-2y-20)-(x2+y2-25)=0,即 x-2y+5=0,圆 x2+y2 |0-2×0+5| =25 的圆心到公共弦的距离 d= = 5 =4 5. 答案:4 5 9.(2015· 福州质检)若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A,B 两点, 5,而半径为 5,故公共弦长为 2 52-? 5?2 4 2 ,得 r= ,圆 C 的面积的最小值为 5 5

CB 的值为________. 则 CA ·
|3-3+2| 解析:由题意可知,圆心 C(3,3)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d= = 2.又因 12+12 d 2 为 sin∠BAC= = ,所以∠BAC=45° ,又因为 CA=CB,所以∠BCA=90° . r 2

??? ? ??? ?

CB =0. 故 CA ·
答案:0 10.(2015· 浙江考试院抽测)设 A(1,0),B(0,1),直线 l:y=ax,圆 C:(x-a)2+y2=1.若圆 C 既与线段 AB 有公共点,又与直线 l 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:对于圆与直线 l 有交点,则圆心到直线的距离小于等于半径,即有 a2 ≤1,∴ 1+a2

??? ? ??? ?

- 39 -

?1- 2≤a≤ |a-1| ? 1+ 5?; a2∈?0, 由于圆 C 与线段 AB 相交, 则 a≤2 且 ≤1, 因此? ? 2 ? ? 2 ?a≤2,
1- 2≤a≤2,因此可得实数 a 的取值范围是?1- 2, 答案:?1- 2, 三、解答题 11.已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. 解:由题意得圆心 C(1,2),半径 r=2. (1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4,∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC= 2- 2-2 1 =-1,∴切线的斜率 k=- =1. k PC 2+1-1

2+1,

? ?

1+ 5? ?. 2 ?

? ?

1+ 5? ? 2 ?

∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=x-( 2+1),即 x-y+1-2 2=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4,∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时,直线方程为 x=3,即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0, 则圆心 C 到切线的距离 d= 3 解得 k= . 4 3 ∴切线方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0. 4 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0. ∵|MC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5, |k-2+1-3k| =r=2, k2+1

∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1. 12.(2015· 绵阳诊断)已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与 直线 3x-4y+7=0 相切,且被 y 轴截得的弦长为 2 3,圆 C 的面积小于 13. (1)求圆 C 的标准方程; (2)设过点 M(0,3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A,B,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OADB.是否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰好平行?如果存在,求出 l 的方程;若

- 40 -

不存在请说明理由. 解:(1)设圆 C:(x-a)2+y2=r2(a>0),

? |3a+7| =r, ? 2 2 由题意知? 3 +4 ? ? a2+3=r,
又 S=π r2<13,∴a=1,

13 解得 a=1 或 a= , 8

∴圆 C 的标准方程为(x-1)2+y2=4. (2)当斜率不存在时,直线 l 为 x=0,不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
? ?y=kx+3, 又 l 与圆 C 相交于不同的两点,联立得? 2 2 ??x-1? +y =4, ?

消去 y 得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0. ∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0, 2 6 2 6 解得 k<1- 或 k>1+ . 3 3 6k-2 2k+6 x1+x2=- , 2 ,y1+y2=k(x1+x2)+6= 1+k 1+k2

???? ??? ? ??? ? ???? ? OD = OA + OB =(x1+x2,y1+y2), MC =(1,-3), ???? ???? ? 假设 OD ∥ MC ,则-3(x1+x2)=y1+y2,
3 2 6? ? 2 6 ? 解得 k= ??-∞,1- ∪ 1+ ,+∞ ,假设不成立, 4 ? 3 ? ? 3 ? ∴不存在这样的直线 l.

见课时跟踪检测B本

命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系 命题指数:☆☆☆ 难度:低 题型:选择题

1.(2012· 浙江高考)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4 =0 平行”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

解析:选 C 由 a=1 可得 l1∥l2,反之由 l1∥l2 可得 a=1. 2.(2013· 天津高考)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1

- 41 -

=0 垂直,则 a=( 1 A.- 2 C .2

) B.1 1 D. 2

解析:选 C 由切线与直线 ax-y+1=0 垂直,得过点 P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线 ax 2-0 -y+1=0 平行,所以 =a,解得 a=2. 2-1 3.(2014· 福建高考)已知直线 l 过圆 x2+(y-3)2 =4 的圆心, 且与直线 x+y+1=0 垂直, 则 l 的方程是 ( ) B.x-y+2=0 D.x-y+3=0

A.x+y-2=0 C.x+y-3=0

解析:选 D 依题意,得直线 l 过点(0,3),斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y-3=x-0, 即 x-y+3=0.故选 D. 命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:中 题型:选择题、填空题、解答题

1.(2013· 安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( A.1 C .4 B.2 D. 4 6

)

|1+4-5+ 5| 解析: 选 C 依题意, 圆的圆心为(1,2), 半径 r= 5, 圆心到直线的距离 d= 5 =1,所以结合图形可知弦长的一半为 r2-d2=2,故弦长为 4. 2.(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短弦的长为________. 解 析 : 最 短 弦 为 过 点 (3,1) , 且 垂 直 于 点 (3,1) 与 圆 心 的 连 线 的 弦 , 易 知 弦 心 距 d = ?3-2?2+?1-2?2= 2,所以最短弦长为 2 r2-d2=2 22-? 2?2=2 2. 答案:2 2 3.(2012· 天津高考)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny-1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相 交于点 B,且 l 与圆 x2+y2=4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值 为________. 解析:由直线与圆相交所得弦长为 2,知圆心到直线的距离为 3,即 1 m2+n2= ≥2|mn|, 3 1 1 1 ? ? 1? 所以|mn|≤ ,又 A? ?m,0?,B?0,n?,所以△AOB 的面积为2|mn|≥3,最小值为 3. 6 1 = 3,所以 m +n2
2

- 42 -

答案:3 4.(2013· 江西高考)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程 是__________________. 解析:如图所示,圆心在直线 x=2 上,所以切点 A 为(2,1). 设圆心 C 为(2,t),由题意,可得|OC|=|CA|, 3 25 故 4+t2=(1-t)2,∴t=- ,半径 r2= . 2 4 3 25 y+ ?2= . 所以圆 C 的方程为(x-2)2+? 2 ? ? 4

3?2 25 答案:(x-2)2+? ?y+2? = 4 5.(2014· 湖北高考)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等 的四段弧,则 a2+b2=________. π 2 |a| 2 解析:由题意得,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 ,则圆心到直线 l1 的距离为 ,即 = 2 2 2 2 ?a2=1,同理可得 b2=1,则 a2+b2=2. 答案:2 6.(2014· 陕西高考)若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标 准方程为__________________________________________________________. 解析:因为点(1,0)关于直线 y=x 对称的点的坐标为(0,1),所以所求圆的圆心为(0,1),半 径为 1,于是圆 C 的标准方程为 x2+(y-1)2=1. 答案:x2+(y-1)2=1 7.(2014· 山东高考)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴 所得弦的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程为________________. 解析:依题意,设圆心的坐标为(2b,b)(其中 b>0),则圆 C 的半径为 2b,圆心到 x 轴的 距离为 b,所以 2 4b2-b2=2 3,b>0,解得 b=1,故所求圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y- 1)2=4. 答案:(x-2)2+(y-1)2=4 8.(2014· 北京高考)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB

- 43 -

与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. x2 y2 解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB,所以 OA · OB =0,即 tx0+2y0=0, 2y0 解得 t=- . x0 t2 当 x0=t 时,y0=- ,代入椭圆 C 的方程,得 t=± 2, 2 故直线 AB 的方程为 x=± 2, 圆心 O 到直线 AB 的距离 d= 2. 此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y0-2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y-2= (x-t). x0-t 即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. d= |2x0-ty0| ?y0-2?2+?x0-t?2 .

??? ? ??? ?

2y0 2 又 x2 ,故 0+2y0=4,t=- x0

d=

= 4y2 0 2 2 x0+y0+ 2 +4 x0

?2x0+2y0? x0 ? ?

2

?4+x0? ? x0 ?
2 x4 0+8x0+16 2x2 0

2

= 2.

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 9.(2013· 江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的 方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值 范围. 解:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3,

- 44 -

由题意,得

|3k+1|
2

3 =1,解得 k=0 或 k=- , 4 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2, 化简得 x2+y2+2y-3=0, 即 x2+(y+1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即 1≤ a2+?2a-3?2≤3. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 12 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ . 5 12 0, ?. 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为? 5? ?

第五节

椭__圆

对应学生用书P124

基础盘查一 椭圆的定义 (一)循纲忆知 掌握椭圆的定义,了解椭圆的简单应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆( ) )

(2)动点 P 到两定点 A(0,-2),B(0,2)的距离之和为 4,则点 P 的轨迹是椭圆( 答案:(1)× (2)×

x2 y2 2.(人教 B 版教材习题改编)已知椭圆 2+ 2=1,作一个三角形,使它的一个顶点为焦点 a b

- 45 -

F1,另两个顶点 D,E 在椭圆上且边 DE 过焦点 F2,则△F1DE 的周长为________. 答案:4a 3.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,且点 N(2,0),线段 AN 的垂 直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是________. 解析:由题意可知|PM|+|PN|=|MA|=6.又 M(-2,0),N(2,0),∴动点 P 的轨迹是椭圆. 答案:椭圆 基础盘查二 椭圆的标准方程和几何性质 (一)循纲忆知 1.掌握椭圆的几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. (二)小题查验 1.(1)椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆( (2)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形( ) ) )

(3)方程 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( 答案:(1)× (2)√ (3)√

2.(人教 A 版教材习题改编)焦距是 8,离心率等于 0.8 的椭圆的标准方程为________. x2 y2 x2 y2 答案: + =1 或 + =1 25 9 9 25 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是 ________. 解析:由题意可知 2b=a+c.即 2 a2-c2=a+c, 整理得 5c2+2ac-3a2=0.即 5e2+2e-3=0. 3 解得 e= 或 e=-1(舍去). 5 3 答案: 5

对应学生用书P124

考点一 椭圆的定义及标准方程(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定义 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个 定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

- 46 -

[提醒]

当到两定点的距离之和等于|F1F2|时,动点的轨迹是线段 F1F2;当到两定点的距

离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. 2.标准方程 x2 y2 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为: 2+ 2=1(a>b>0);中心在坐标原 a b y2 x2 点,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为: 2+ 2=1(a>b>0). a b [提醒] 当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可设成 Ax2+By2=1 的形式,其中 A,B 是 x2 y2 不相等的正常数,或设成 2+ 2=1(m2≠n2)的形式. m n [题组练透] x2 y2 3 1. (2014· 全国大纲卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点为 F1, F2, 离心率为 , a b 3 过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( x2 y2 A. + =1 3 2 x2 y2 C. + =1 12 8 x2 B. +y2=1 3 x2 y2 D. + =1 12 4 )

解析:选 A 由椭圆的性质知|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a, 又∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4 3,∴a= 3. 又 e= 3 ,∴c=1.∴b2=a2-c2=2, 3

x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1,故选 A. 3 2 2.已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相 内切,和圆 C2 相外切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为( x2 y2 A. - =1 64 48 x2 y2 C. - =1 48 64 解析:选 D 设圆 M 的半径为 r, 则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, ∴M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8, x2 y2 故所求的轨迹方程为 + =1. 64 48 x2 y2 3.(2015· 浙江金丽衢十二校二联)若椭圆 C: + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 9 2 上,且|PF1|=4,则∠F1PF2=( ) ) x2 y2 B. + =1 48 64 x2 y2 D. + =1 64 48

- 47 -

π A. 6 2π C. 3

π B. 3 5π D. 6

解析:选 C 由题意得 a=3,c= 7,则|PF2|=2. 在△F2PF1 中,由余弦定理可得 42+22-?2 7?2 1 cos∠F2PF1= =- . 2 2×4×2 2π 又∵∠F2PF1∈(0,π),∴∠F2PF1= . 3 [类题通法] 1.求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常 数 2a>|F1F2|这一条件. 2.利用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理, 常用到结论有:(其中,θ=∠F1PF2) (1)|PF1|+|PF2|=2a; (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos θ; (3)当 P 为短轴端点时,θ 最大. 1 sin θ (4)S△PF1F2= |PF1||PF2|sin θ= · b2 2 1+cos θ θ =b2tan =c· |y0|. 2 当 y0=± b,即 P 为短轴端点时,S△PF1F2 有最大值为 bc. (5)焦点三角形的周长为 2(a+c).

考点二 椭圆的几何性质(题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 1.椭圆的几何性质 (1)与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率等; (2)与坐标系有关的性质,如:顶点坐标、焦点坐标等. [提醒] 在解题时要特别注意第二类性质,先根据椭圆方程的形式判断出椭圆的焦点在哪 条坐标轴上,再进行求解. 2.椭圆的离心率 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方 法:
- 48 -

c (1)求出 a,c 代入公式 e= ; a (2)只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2 转化为 a,c 的齐次 式,然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程(不等式),解方程(不等 式)即可得 e(e 的取值范围). [一题多变] [典型母题] x2 y2 (2015· 广州二模)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 a b C 上,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,∠PF1F2=30° ,则椭圆的离心率为( A. 3 3 B. 3 6 )

1 C. 3

1 D. 6

[解析] 如图,设 PF1 的中点为 M,连接 PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点,所以 OM 为△PF1F2 的中位线. 所以 OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90° . 因为∠PF1F2=30° ,所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2|= |PF1|2-|PF2|2= 3|PF2|, 由椭圆定义得 2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|?a= c 3|PF2| 2 3 则 e= = · = .故选 A. a 2 3|PF2| 3 [答案] A 3|PF2| 3|PF2| ,2c=|F1F2|= 3|PF2|?c= , 2 2

[题点发散 1] 本例条件变为“若∠PF1F2=α, ∠PF2F1=β, 且 cos α= 则椭圆的离心率为________. 解析: ∵cos α= 5 2 5 ?sin α= . 5 5

5 3 , sin(α+β)= ”, 5 5

3 4 sin(α+β)= ?cos(α+β)=- . 5 5 11 5 ∴sin β=sin[(α+β)-α]= . 25 设|PF1|=r1,|PF2|=r2.

- 49 -

r1 r2 2c 由正弦定理得 = = 11 5 2 5 3 5 25 5 ∴ r1+r2 2c c 5 = ?e= = . 3 a 7 21 5 5 25 5 7

答案:

[题点发散 2] 本例条件变为“( OP + OF2 )· PF2 =0”试求 S△F1PF2 的面积. 解:∵( OP + OF2 )· PF2 =( OP + FO PF2 1 )· = F1P · PF2 =0, ∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90° . 设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a. m2+n2=4c2,∴(m+n)2-2mn=4c2. ∴4a2-2mn=4c2,∴4b2=2mn. ∴mn=2b2. 1 ∴S△F1PF2= mn=b2. 2 [题点发散 3] 本例条件变为“P 到两焦点的距离之比为 2∶1”,试求离心率范围. 解:设 P 到两个焦点的距离分别为 2k,k,根据椭圆定义可知:3k=2a,又结合椭圆的性 1 质可知.椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即 k≤2c,∴2a≤6c,即 e≥ . 3 1 又∵0<e<1,∴ ≤e<1. 3 [类题通法] 椭圆几何性质的应用技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想 到一个图形. (2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,在求 椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. 考点三 直线与椭圆的位置关系(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组,消掉 y,得到 Ax2+Bx+C=0 的形式(这里的系数 A 一定不 为 0),设其判别式为 Δ, (1)Δ>0?直线与椭圆相交;
- 50 -

??? ?

???? ? ???? ?

??? ?

???? ? ???? ?

??? ?

???? ???? ?

???? ???? ?

(2)Δ=0?直线与椭圆相切; (3)Δ<0?直线与椭圆相离. 2.弦长公式 (1)若直线 y=kx+b 与椭圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1 1+ 2|y1-y2|. k 2b2 (2)焦点弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长 ,最长为 2a. a 3.中点弦的重要结论 x2 y2 AB 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0). a b b2x0 (1)斜率:k=- 2 . a y0 b2 (2)弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值- 2. a [典题例析] (2014· 江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是 x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 a b BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C, 连接 F1C. 4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解:设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b2+c2=a. 又 BF2= 2,故 a= 2. 16 1 9 9 4 1 ? 因为点 C? ?3,3?在椭圆上,所以 a2 +b2=1. 解得 b2=1. x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为 + =1. c b

- 51 -

? 解方程组? x y ?a +b =1,
2 2 2 2

x y + =1 , c b

? ? 得? b?c -a ? ? ?y = a +c
2 2 1 2 2 2 2

2a2c x1= 2 2, a +c

? ?x2=0, 或? ?y2=b. ?

所以点 A 的坐标为?

? 2a c ,b?c -a ??. ? ?a2+c2 a2+c2 ?
2

又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为? b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2 = 2 , 2a c 3a c+c3 - ? - c ? a2+c2 b 直线 AB 的斜率为- ,且 F1C⊥AB, c b?a2-c2? ? b? 所以 2 ·- =-1. 3a c+c3 ? c? 1 5 又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2.故 e2= .因此 e= . 5 5 [类题通法]

? 2a c ,b?a -c ??. ? ?a2+c2 a2+c2 ?
2

2

2

解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立, 消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用 “点差法”解决,往往会更简单. [演练冲关] x2 y2 3 (2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F a b 2 2 3 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点.当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 将 y=kx-2 代入 +y2=1 中, 4 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

- 52 -

3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 16k 12 由根与系数的关系得:x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 4k +1 4k +1 4 k2+1· 4k2-3 从而|PQ|= k2+1|x1-x2|= . 4k2+1 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 . k +1
2

4 4k2-3 1 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d· |PQ|= . 2 4k2+1 4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ>0. t 2 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 y= 7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2
对应A本课时跟踪检测?四十九?

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 1.(2015· 北京西城区期末)若曲线 ax2+by2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足 ( ) A.a2>b2 C.0<a<b 1 1 B. < a b D.0<b<a

x2 y2 1 1 解析:选 C 由 ax2+by2=1,得 + =1,因为焦点在 x 轴上,所以 > >0,所以 0<a<b. 1 1 a b a b x2 y2 2. (2015· 运城二模)已知椭圆 + =1 以及椭圆内一点 P(4,2), 则以 P 为中点的弦所在直 36 9 线的斜率为( 1 A. 2 C .2 ) 1 B.- 2 D.-2

解析:选 B 设弦的端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=8,y1+y2=4,

- 53 -

? ?x y ?36+ 9 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 36 9

两式相减,

得 ∴

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, 36 9 2?x1-x2? 4?y1-y2? y1-y2 1 =- ,∴k= =- . 9 9 2 x1-x2
2

y2 3.如图,F1,F2 是双曲线 C1:x - =1 与椭圆 C2 的公共焦点, 3 点 A 是 C1,C2 在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则 C2 的离心率 是( ) 1 A. 3 1 C. 5 2 B. 3 2 D. 5

解析:选 B 由题意知|AF1|+|AF2|=2a(设 a 为椭圆的长半轴),|AF1|-|AF2|=2,而|F1F2| 2 =|F1A|=4,因此可得 2×|F1A|=2a+2,∴8=2a+2,∴a=3,又 c=2,故 C2 的离心率 e= . 3 4.(2015· 河北邯郸一模)椭圆 x2 y2 + =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF2 12 3 ) B.5 倍 D.3 倍

的中点在 y 轴上,那么|PF2|是|PF1|的( A.7 倍 C .4 倍

解析:选 A 设线段 PF2 的中点为 D, 1 则|OD|= |PF1|,OD∥PF1,OD⊥x 轴, 2 b2 3 3 ∴PF1⊥x 轴.∴|PF1|= = = . a 2 3 2 又∵|PF1|+|PF2|=4 3, ∴|PF2|=4 3- 3 7 3 = . 2 2

∴|PF2|是|PF1|的 7 倍. x2 y2 5.已知椭圆 C: + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2. 4 3 若点 P 是椭圆 C 上的动点,则 F1P · F2 A 的最大值为( A. 3 2 3 3 B. 2 15 D. 4
- 54 -

???? ???? ?

)

9 C. 4

解析: 选B

???? ???? ? b2 设向量 F1P · 即|AF2|= = F2 A 的夹角为 θ.由条件知|AF2|为椭圆通径的一半, a

???? ???? ? 3 ???? ???? ???? ? ???? ???? ? 3 ,则 F1P · = | F1P |cos θ,于是 F1P · 要取得最大值,只需 F1P 在向量 F2 A 上的投影 F A F A 2 2 2 2 ???? ???? ? 3 3 3 值最大,易知此时点 P 在椭圆短轴的上顶点,所以 F1P · F2 A =2|F1P―→|cos θ≤ 2 ,故选
B. x2 y2 6. (2015· 辽宁沈阳二模)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1(-c,0)、 F2(c,0), a b a c 若椭圆上存在点 P 使 = ,则该椭圆离心率的取值范围为( sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 A.(0, 2-1) C.?0, B.? 2 ? ? 2 ,1? )

?

2? 2?

D.( 2-1,1) |PF2| |PF1| a c = , 所以由 = 可 sin ∠PF1F2 sin∠PF2F1 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1

解析: 选 D 根据正弦定理得 得

a c |PF1| c = ,即 = =e,所以|PF1|=e|PF2|,又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|· (e+1) |PF2| |PF1| |PF2| a 2a ,因为 a-c<|PF2|<a+c(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0, e+1 2a c 2 c 2 <a + c , 即 1 - < <1 + , 所 以 1 - e< <1 + e , 即 a e+1 a e+1 e+1

=2a,则|PF2|=

无 意 义 ) , 所 以 a - c<

??1-e??1+e?<2, ? ? 解得 2-1<e<1. 2 ? ?2<?1+e? ,

二、填空题 x2 y2 7.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点, 4 3 则△F1AB 的周长为________. 解析:由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8. 答案:8 x2 y2 8.直线 x-2y+2=0 过椭圆 2+ 2 =1 的左焦点 F1 和一个顶点 B,则椭圆的方程为 a b ________________. 解析:直线 x-2y+2=0 与 x 轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故 c=2. 直线 x-2y+2=0 与 y 轴的交点为(0,1),即为椭圆的顶点,故 b=1. x2 故 a2=b2+c2=5,椭圆方程为 +y2=1. 5 x2 答案: +y2=1 5

- 55 -

???? x2 y2 9.已知 F1,F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1 ⊥ a b

???? ? PF2 .若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. ???? ???? ? 解析:由题意知|PF1|+|PF2|=2a, PF1 ⊥ PF2 ,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2, ∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2, ∴2|PF1||PF2|=4a2-4c2=4b2. ∴|PF1||PF2|=2b2. 1 1 ∵S△PF1F2= |PF1||PF2|= ×2b2=b2=9,∴b=3. 2 2 答案:3 x2 y2 10.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e.直线 l:y= a b ex+a 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,设|AM|=e|AB|,则 该椭圆的离心率 e=________. 解析:因为点 A,B 分别是直线 l:y=ex+a 与 x 轴,y 轴的交点,所以点 A,B 的坐标分 a ? 别是? ?-e,0?,(0,a). 设点 M 的坐标是(x0,y0), a ? ?x0=e?e-1?, 由|AM|=e|AB|,得? (*) ?y0=ea, ?
2 ?e-1?2 e2a2 x0 y2 0 因为点 M 在椭圆上,所以 2+ 2=1,将(*)式代入,得 + 2 =1,整理得,e2+e a b e2 b

-1=0,解得 e= 答案: 5-1 2

5-1 . 2

三、解答题 11.(2015· 衡水中学二调)已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左、右焦点 3? 分别为 F1 和 F2,且|F1F2|=2,点? ?1,2?在该椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程; 12 2 (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若△AF2B 的面积为 ,求以 F2 为圆心 7 且与直线 l 相切的圆的方程. 解:(1)由题意知 c=1,2a=

?3?2+ ?2?

?3?2+22=4, ?2?
- 56 -

x2 y2 a=2,故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 3? ? 3? (2)①当直线 l⊥x 轴时, 可取 A? ?-1,-2?,B?-1,2?,△AF2B 的面积为 3,不符合题意. ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),代入椭圆方程得(3+4k2)x2+ 8k2x+4k2-12=0, 显然 Δ>0 成立,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4k2-12 8k2 则 x1+x2=- , x x = , 3+4k2 1 2 3+4k2 12?k2+1? 可得|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= , 3+4k2 又圆 F2 的半径 r= 2|k| , 1+k2

12|k| k2+1 12 2 1 ∴△AF2B 的面积为 |AB|· r= = , 2 7 3+4k2 代简得:17k4+k2-18=0,得 k=± 1, ∴r= 2,圆的方程为(x-1)2+y2=2. x2 y2 12.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,M a b 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 a 3 b c, ?, = , 解:(1)根据 a2-b2=c2 及题设知 M? ? a ? 2c 4
2

得 2b2=3ac. c 1 c 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)设直线 MN 与 y 轴的交点为 D, 由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

- 57 -

? ? ?x1=-2c, ?2?-c-x1?=c, ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1.
代入 C 的方程,得
2 2 2

3

9c2 1 + =1.② 4a2 b2

9?a2-4a? 1 将①及 a -b =c 代入②得 + =1. 4a2 4a 解得 a=7,b2=4a=28, 故 a=7,b=2 7. [B 卷——增分提能] 1 1.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 E 的离心率为 ,椭圆 E 的一个焦点和抛物 2 线 y2=-4x 的焦点重合,过直线 l:x=4 上一点 M 引椭圆 E 的两条切线,切点分别是 A,B. (1)求椭圆 E 的方程; x2 y2 x0x y0y (2)若在椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是 2 + 2 =1,求证:直线 AB a b a b 恒过定点 C,并求出定点 C 的坐标. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为抛物线 y2=-4x 的焦点是(-1,0),所以 c=1. c 1 又 = ,所以 a=2,b= a2-c2= 3, a 2 x2 y2 所以所求椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 (2)证明:设切点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上一点 M 的坐标为(4,t), x1x y1y x2x y2y 则切线方程分别为 + =1, + =1, 4 3 4 3 t t 又两切线均过点 M,即 x1+ y1=1,x2+ y2=1, 3 3 t 即点 A,B 的坐标都适合方程 x+ y=1, 3 而两点确定唯一的一条直线, t 故直线 AB 的方程是 x+ y=1, 3 显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程, 故直线 AB 恒过定点 C(1,0). x2 y2 3 2. (2015· 长春调研)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 , 右焦点到直线 x+y+ 6= a b 2 0 的距离为 2 3.

- 58 -

(1)求椭圆的方程;

??? ? ? 7 ??? (2)过点 M(0,-1)作直线 l 交椭圆于 A,B 两点,交 x 轴于 N 点,且满足 NA =- NB , 5
求直线 l 的方程. |c+ 6| 解: (1)设椭圆的右焦点为(c,0)(c>0), 则 =2 3, c+ 6=± 2 6, c= 6或 c=-3 6 2 (舍去). c 3 6 3 又离心率 = ,则 = , a 2 a 2 故 a=2 2,b= a2-c2= 2, x2 y2 故椭圆的方程为 + =1. 8 2

??? ? ? 7 ??? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0),因为 NA =- NB , 5
7 7 所以(x1-x0,y1)=- (x2-x0,y2),y1=- y2.① 5 5 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时,①不成立, 于是设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0),
? ?y=kx-1, 联立方程? 2 2 ?x +4y =8. ?

消去 x 得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0,② 因为 Δ>0,所以直线与椭圆相交, 2 于是 y1+y2=- 2 ,③ 4k +1 1-8k2 y1y2= 2 , ④ 4k +1 5 7 由①③得,y2= 2 ,y1=- 2 , 4k +1 4k +1 代入④整理得 8k4+k2-9=0,k2=1,k=± 1, 所以直线 l 的方程是 y=x-1 或 y=-x-1.

第六节

双_曲_线

对应学生用书P127

基础盘查一 双曲线的定义及标准方程

- 59 -

(一)循纲忆知 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线( ) )

(2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线( 答案:(1)× (2)×

2.(人教 A 版教材例题改编)已知双曲线两个焦点分别为 F1(-5,0),F2(5,0).双曲线上一 点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 6,则双曲线的标准方程为______________. x2 y2 答案: - =1 9 16 y2 3.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于________. 解析:双曲线的实轴长为 2,焦距为|F1F2|=2×5=10. 据题意和双曲线的定义知, 4 1 2=|PF1|-|PF2|= |PF2|-|PF2|= |PF2|, 3 3 ∴|PF2|=6,|PF1|=8. ∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, ∴PF1⊥PF2, 1 1 ∴S△PF1F2= |PF1|· |PF2|= ×6×8=24. 2 2 答案:24 基础盘查二 双曲线的几何性质 (一)循纲忆知 1.知道双曲线简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数形结合的思想. (二)小题查验 1.判断正误 x2 y2 (1)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( m n ) )

x2 y2 x2 y2 x y (2)双曲线方程 2- 2=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0( m n m n m n

- 60 -

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2(

)

x2 y2 x2 y2 1 1 (4)若双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)与 2- 2=1(a>0, b>0)的离心率分别是 e1, e2, 则 2+ 2= a b b a e1 e2 1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)( 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ )

y2 x2 2.(北师大版教材习题改编)若双曲线 - =1 的离心率 e∈(1,2),则 m 的取值范围为 5 m ________. 答案:(0,15) x2 y2 3. 已知 F(c,0)是双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0)的右焦点, 若双曲线 C 的渐近线与圆 E: a b 1 (x-c)2+y2= c2 相切,则双曲线 C 的离心率为________. 2 解析:依题意得,圆心(c,0)到渐近线的距离等于 2 2 c,即有 b= c(注:双曲线的一个焦 2 2

c 点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长),c2=2b2=2(c2-a2),c2=2a2, = 2,即双曲线 C a 的离心率为 2. 答案: 2

对应学生用书P127

考点一 双曲线的定义及标准方程(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.定义 在平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹 (或集合)叫做双曲线.定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. [提醒] 令平面内一点到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为 2a(a 为常数),则只有当 2a<|F1F2|且 2a≠0 时,点的轨迹才是双曲线;若 2a=|F1F2|,则点的轨迹是以 F1,F2 为端点的 两条射线;若 2a>|F1F2|,则点的轨迹不存在. 2.标准方程 x2 y2 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0); a b y2 x2 中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b [提醒] 在双曲线的标准方程中,决定焦点位置的因素是 x2 或 y2 的系数.

- 61 -

[题组练透] 1. (2014· 大纲卷)已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F1, F2, 点 A 在 C 上, 若|F1A|=2|F2A|, 则 cos∠AF2F1=( 1 A. 4 C. 2 4 ) 1 B. 3 D. 2 3

解析:选 A =2a. ∵e=

由双曲线的定义知||AF1|-|AF2||=2a,又|AF1|=2|AF2|,∴|AF1|=4a,|AF2|

|AF2|2+|F1F2|2-|AF1|2 c = 2 , ∴ c = 2a , ∴ |F1F2| = 4a. ∴ cos ∠ AF2F1 = = a 2|AF2|· |F1F2|

?2a?2+?4a?2-?4a?2 1 = ,故选 A. 4 2×2a×4a x2 y2 2.(2014· 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+ a b 10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 5 20 3x2 3y2 C. - =1 25 100
2 2

)

x y B. - =1 20 5 3x2 3y2 D. - =1 100 25

2

2

b 解析:选 A 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y= x 与直线 y=2x+10 平行,所以 a b x2 y2 =2 且左焦点为(-5,0),所以 a2+b2=c2=25,解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为 - = a 5 20 1. x2 y2 3.已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲线 5 4 上,则|AP|+|AF2|的最小值为( A. 37+4 C. 37-2 5 解析:选 C ) B. 37-4 D. 37+2 5 由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a,要求|AP|+|AF2|的最小值,只需

求|AP|+|AF1|的最小值,当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值,则|AP|+|AF1|=|PF1|= 37, ∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|- 2a= 37-2 5. [类题通法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距 离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉, 点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用.

- 62 -

2.求双曲线方程时一是标准形式判断;二是注意 a,b,c 的关系易错易混. 考点二 渐近线与离心率问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 1.求双曲线离心率的值 c (1)直接求出 a,c,求解 e:已知标准方程或 a,c 易求时,可利用离心率公式 e= 求解; a (2) 变用公式,整体求出 e :如利用 e = 1 ; c2 = a2 a2+b2 = a2 b2 1+ 2 , e = a c2 = c -b2
2

b2 1- 2 c

2.双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,二者之间可以互求.已知渐近线
2 2 b?2 b c2 a +b 方程时,可得 的值,于是 e2= 2= 2 =1+? ?a? ,因此可求出离心率 e 的值;而已知离心 a a a

b 率的值,也可求出渐近线的方程,即 = e2-1.但要注意,当双曲线的焦点所在的坐标轴不确 a 定时,上述两类问题都有两个解. [多角探明] 双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度 有: (1)已知离心率求渐近线方程; (2)已知渐近线求离心率; (3)由离心率或渐近线确定双曲线方程; (4)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围. 角度一:已知离心率求渐近线方程 x2 y2 x2 y2 1.(2014· 山东高考)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2= a b a b 1,C1 与 C2 的离心率之积为 A.x± 2y=0 C.x± 2y=0 解析: 选 A 椭圆 C1 的离心率为 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 B. 2x± y=0 D.2x± y=0 a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C2 的离心率为 ,所以 a a )

a2-b2 a2+b2 3 3 · = ,所以 a4-b4= a4,即 a4=4b4,所以 a= 2b,所以双曲线 C2 的渐近 a a 2 4 线方程是 y=± 1 x,即 x± 2y=0. 2

- 63 -

角度二:已知渐近线求离心率 x2 y2 2.(2014· 浙江高考)设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近 a b 线分别交于点 A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. b 解析: 联立直线方程 x - 3y + m = 0 与双曲线渐近线方程 y = ± x 可得交点坐标为 a -am bm ? 1 ? am , bm ?,? , ,而 kAB= ,由|PA|=|PB|,可得 AB 的中点与点 P 连线的斜 ? 3 ?3b-a 3b-a? ?3b+a 3b+a? ? bm bm + 3b-a 3b+a -0 2 率为-3,即 =-3,化简得 4b2=a2,所以 e= -am am + 3b-a 3b+a -m 2 答案: 5 2

a2+b2 5 = . a2 2

角度三:由离心率或渐近线确定双曲线方程 y2 x2 3. (2015· 郑州二模)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两个焦点分别为 F1, F2, 以线段 F1F2 a b 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3).则此双曲线的方程为( y x A. - =1 9 16 y2 x2 C. - =1 16 9 解析:选 A 由题意,c= 42+32=5, ∴a2+b2=c2=25.① a a 3 又双曲线的渐近线为 y=± x,∴ = .② b b 4 则由①②解得 a=3,b=4, y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1.故选 A. 9 16 角度四:利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1 与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为( a b A.(1, 5) C.( 5,+∞) B.(1, 5] D.[ 5,+∞) )
2 2

)

y x B. - =1 4 3 y2 x2 D. - =1 3 4

2

2

b 解析:选 C ∵双曲线的一条渐近线方程为 y= x, a b 则由题意得 >2, a

- 64 -

c ∴e= = a

b?2 1+? ?a? > 1+4= 5. [类题通法]

解决有关渐近线与离心率关系问题的方法 b a (1)已知渐近线方程 y=mx,若焦点位置不明确要分|m|= 或|m|= 讨论. a b (2)注意数形结合思想在处理渐近线夹角、离心率范围求法中的应用. 考点三 直线与双曲线的位置关系(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平 行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. [提醒] 直线与双曲线交于一点时, 不一定相切, 例如: 当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有 一个交点. [典题例析] x2 (2014· 江西高考)如图,已知双曲线 C: 2-y2=1(a>0)的右焦点 F,点 A,B 分别在 C 的 a 两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程; x0x (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 2 -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x= a 3 |MF| 相交于点 N.证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. 2 |NF| 解:(1)设 F(c,0),因为 b=1, 所以 c= a2+1, 1 1 直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程为 y= (x-c), a a c c? 解得 B? ?2,-2a?. 1 又直线 OA 的方程为 y= x, a

- 65 -

c ? c? -?-2a? a c 3 ? ? 则 A?c,a?,kAB= = . c a c- 2 3 ? 1? - =-1,解得 a2=3, 又因为 AB⊥OB,所以 · a ? a? x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 (2)证明:由(1)知 a= 3, x0x-3 x0x 则直线 l 的方程为 -y0y=1(y0≠0),即 y= . 3 3y0 因为直线 AF 的方程为 x=2, 2x0-3? 所以直线 l 与 AF 的交点 M?2, ; 3y0 ? ?

? 3x0-3? 3 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 ?. 2 ?2, 3y0 ?
?2x0-3?2 ?3y0?2 ?2x0-3?2 |MF| 则 = = 2 |NF|2 ?3x0-3?2 9y0+9?x0-2?2 ? 4 4 1 ?2 + 2 4 ?3y0?
2 2 4 ?2x0-3? = · 2 , 3 3y0+3?x0-2?2

x2 0 因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y2 0=1,代入上式得 3 ?2x0-3?2 |MF|2 4 = · 2 |NF|2 3 x2 0-3+3?x0-2?
2 4 ?2x0-3? 4 = · 2 = . 3 4x0-12x0+9 3

|MF| 2 2 3 所求定值为 = = . |NF| 3 3 [类题通法] 直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似,但是 联立直线方程与双曲线方程消元后,注意二次项系数是否为 0 的判断.对于中点弦问题常用 “点差法”. [演练冲关] 已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点, 且 AB 的中点为 N(-12,-15),求双曲线 E 的方程. x2 y2 解:设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
- 66 -

由题意知 c=3,a2+b2=9, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

? ?x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 - =1, a2 b2

两式作差得: y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 = = = 2, x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a -15-0 4b2 又 AB 的斜率是 =1,所以 2=1. 5a -12-3 将 4b2=5a2 代入 a2+b2=9 得 a2=4,b2=5. x2 y2 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5
对应B本课时跟踪检测?五十?

一、选择题 1.(2014· 广东高考)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 ( ) A.离心率相等 C.实半轴长相等 解析: 选 D B.虚半轴长相等 D.焦距相等 x2 y2 x2 y2 - =1 与曲线 - =1 的 25 9-k 25-k 9

由 0<k<9 ,易知两曲线均为双曲线且焦点都在 x 轴上,由 25+9-k=

25-k+9,得两双曲线的焦距相等. x2 y2 2.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 2- =1(a>0)的离心率为 2,则 a=( a 3 A.2 C. 5 2 B. 6 2 )

D.1

x2 y2 3 解析:选 D 因为双曲线的方程为 2- =1,所以 e2=1+ 2=4,因此 a2=1,a=1.选 a 3 a D. x2 y2 3.(2014· 重庆高考)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上 a b 9 存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|· |PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 )

- 67 -

4 A. 3 9 C. 4

5 B. 3 D.3

解析:选 B 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2 -(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即 4|PF1|· |PF2|=9b2-4a2,又 4|PF1|· |PF2|=9ab,因此 9b2-4a2= b?2 9b 1 b 4? b ?3b ??3b ? ? 9ab,即 9? ?a? - a -4=0,则? a +1?? a -4?=0,解得a=3?a=-3舍去?,则双曲线的离心 率 e= b?2 5 1+? ?a? =3.

x2 y2 4.(2015· 石家庄二检)已知 F 是双曲线 2- 2=1(a>0)的右焦点,O 为坐标原点,设 P 是 3a a 双曲线 C 上一点,则∠POF 的大小不可能是( A.15° C.60° ) B.25° D.165°

3 解析:选 C ∵两条渐近线 y=± x 的倾斜角分别为 30° ,150° , 3 ∴0≤∠POF<30° 或 150° <∠POF≤180° ,故选 C. x2 y2 5.(2015· 江西宜春一模)已知双曲线 2- 2=1 的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合, a b 且双曲线的离心率等于 5,则该双曲线的方程为( 4y2 A.5x2- =1 5 y2 x2 C. - =1 5 4 )

x2 y2 B. - =1 5 4 5y2 D.5x - =1 4
2

解析:选 D ∵抛物线的焦点为 F(1,0),∴c=1. c 1 1 4 又 = 5,∴a= ,∴b2=c2-a2=1- = . a 5 5 5 5y2 故所求方程为 5x2- =1. 4 x2 y2 6.(2015· 开封摸底考试)从双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F 引圆 x2+y2=a2 的切线, a b 切点为 T,延长 FT 交双曲线右支于 P 点,若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐标原点,则|MO|- |MT|与 b-a 的关系为( A.|MO|-|MT|>b-a C.|MO|-|MT|=b-a ) B.|MO|-|MT|<b-a D.|MO|-|MT|与 b-a 无关

解析:选 C 设 F1 是双曲线的右焦点,连接 PF1,由双曲线的定义知|PF|-|PF1|=2a,① ∵OM 是△FF1P 的中位线,∴|PF1|=2|OM|.② 又 M 是 FP 的中点,∴|PF|=2|MF|.③

- 68 -

②③代入①得 2|MF|-2|OM|=2a,|MF|-|OM|=a.④ ∵|MF|=|MT|+|TF|,|FT|2=|OF|2-|OT|2=c2-a2,∴|FT|=b. ∴|MF|=|MT|+b.⑤ 把⑤代入④得|MT|+b-|OM|=a, ∴|OM|-|MT|=b-a.选 C. 二、填空题 7.已知双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是________. y2 解析: 把双曲线的方程化为 x2- =1, 可见, 双曲线的实轴长为 2, 虚轴长为 2 1 - m 根据题意有 2 1 答案:- 4 x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上, a b 且|PF1|=4|PF2|,则双曲线的离心率 e 的最大值为________. 解析:设∠F1PF2=θ,
?|PF1|-|PF2|=2a, ? 由? 得 ? ?|PF1|=4|PF2|,

1 - , m

1 1 - =2×2,∴m=- . m 4

?|PF |=3a, ? 2 ?|PF |=3a,
1 2

8

由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 17a2-9c2 17 9 2 cos θ= = = - e. 2|PF1||PF2| 8a2 8 8 17 9 ∵θ∈(0,π],∴cos θ∈[-1,1),-1≤ - e2<1, 8 8 5 又 e>1,∴1<e≤ . 3 5 答案: 3 x2 y2 9.(2015· 南京、盐城二模)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条 a b 渐近线与抛物线 y2=4x 的准线相交于 A,B 两点.若△AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为 ________. 解析:因为原点到准线距离为 1, 1 所以 S△OAB= ×1×|AB|=2,即|AB|=4. 2 由对称性知,点 A(-1,2),B(-1,-2).

- 69 -

b 因为双曲线的渐近线方程为 y=± x, a b 所以有 2= ,即 b=2a. a 又因为 c2=a2+b2=a2+4a2=5a2, c 所以 e= = 5. a 答案: 5 x2 y2 10.(2015· 日照模拟)已知 F1,F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x a b 轴 的 直 线 交 双 曲 线 于 点 P 和 Q. 且 △ F1PQ 为 正 三 角 形 , 则 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ________________. 解析:设 F2(c,0)(c>0),P(c,y0), b2 代入双曲线方程得 y0=± , a 2b2 ∵PQ⊥x 轴,∴|PQ|= . a 在 Rt△F1F2P 中,∠PF1F2=30° , b2 ∴|F1F2|= 3|PF2|,即 2c= 3· . a 又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2 或 2a2=-3b2(舍去). b ∵a>0,b>0,∴ = 2. a 故所求双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 答案:y=± 2x 三、解答题 x2 y2 11.(2014· 福建高考改编)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y a b =2x,l2:y=-2x.

(1)求双曲线 E 的离心率; (2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四 象限),且△OAB 的面积恒为 8,求双曲线方程.

- 70 -

解:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x, c2-a2 b 所以 =2,所以 =2,故 c= 5a, a a c 从而双曲线 E 的离心率 e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a,|AB|=4a, 又因为△OAB 的面积为 8, 1 所以 |OC|· |AB|=8, 2 1 因此 a· 4a=8,解得 a=2, 2 x2 y2 所以双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 12.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3, a b 焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D, 3

使 OM + ON =t OD ,求 t 的值及点 D 的坐标. 解:(1)由题意知 a=2 3, b 又∵一条渐近线为 y= x,即 bx-ay=0. a ∴由焦点到渐近线的距离为 3,得 ∴b2=3,∴双曲线的方程为 |bc| = 3. b2+a2

???? ?

????

????

x2 y2 - =1. 12 3

(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程 y= 3 x2 y2 x-2 代入双曲线方程 - =1 得 3 12 3

x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2= 3 (x +x )-4=12. 3 1 2

- 71 -

4 3 = , ?x y 3 ∴? x y ?12- 3 =1.
0 0 2 0 2 0

?x0=4 3, ∴? ?y0=3.

∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3).

第七节

抛_物_线

对应学生用书P129

基础盘查一 抛物线定义及标准方程 (一)循纲忆知 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程. 2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用. (二)小题查验 1.判断正误 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( (2)抛物线 y2=4x 的焦点到准线的距离是 4( ) ) )

(3)若一抛物线过点 P(-2,3),其标准方程可写为 y2=2px(p>0)( 答案:(1)× (2)× (3)×

2.(北师大版教材例题改编)点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+6=0 的距离小 2, 则 M 点的轨迹方程为_________________________________________________. 答案:y2=16x 3.若抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值是________. 1 解析:抛物线 y=ax2 可化为 x2= y, a 1 1 ∴- =2,∴a=- . 4a 8 1 答案:- 8 基础盘查二 抛物线的几何性质 (一)循纲忆知 1.掌握抛物线的简单几何性质.

- 72 -

2.理解数形结合的思想. (二)小题查验 1.判断正误 (1)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( )

(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径, 那么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a( 答案:(1)× (2)√ )

2.(人教 A 版教材例题改编)斜率为 1 的直线经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相 交于 A,B 两点,则线段 AB 的长为________. 答案:8 1? 3.若抛物线 x2=ay 过点 A? ?1,4?,则点 A 到此抛物线的焦点的距离为________. 1 解析:由题意可知,点 A 在抛物线 x2=ay 上,所以 1= a,解得 a=4,得 x2=4y.由抛物 4 线的定义可知点 A 到焦点的距离等于点 A 到准线的距离,所以点 A 到抛物线的焦点的距离为 1 5 yA+1= +1= . 4 4 5 答案: 4

对应学生用书P130

考点一 抛物线的标准方程及几何性质(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 1.标准方程 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为:y2=2px(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为:y2=-2px(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为:x2=2py(p>0); 顶点在坐标原点,焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为:x2=-2py(p>0). [提醒] 抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以 p 的值 永远大于 0,当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现 p<0 的错误. 2.抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 P(x0,y0)到焦点 F 的距离称为焦半径.有以下结论(p>0): p (1)对于抛物线 y2=2px,|PF|= +x0; 2
- 73 -

p (2)对于抛物线 y2=-2px,|PF|= -x0; 2 p (3)对于抛物线 x2=2py,|PF|= +y0; 2 p (4)对于抛物线 x2=-2py,|PF|= -y0. 2 3.与焦点弦有关的常用结论 (以下图为依据)

p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= . 4 2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). sin θ 1 1 2 (3) + 为定值 . |AF| |BF| p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切. (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. [题组练透] 1 1.(2014· 安徽高考)抛物线 y= x2 的准线方程是( 4 A.y=-1 C.x=-1 B.y=-2 D.x=-2 )

1 解析:选 A 抛物线 y= x2 的标准方程为 x2=4y,所以其准线方程为 y=-1. 4 2.(2015· 石家庄调研)若抛物线 y2=2px 上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则抛物线的 标准方程为( A.y2=4x C.y2=8x ) B.y2=6x D.y2=10x

p 解析:选 C ∵抛物线 y2=2px,∴准线为 x=- . 2 ∵点 P(2,y0)到其准线的距离为 4, p ? ∴? ?-2-2?=4. ∴p=4.∴抛物线的标准方程为 y2=8x.

- 74 -

4 x2 y2 3.若抛物线 y2= x 的准线经过椭圆 + =1 的左焦点,则实数 m 的值为________. m 7 3 4 1 x2 y2 解析:抛物线 y2= x 的准线方程为 x=- ,椭圆 + =1 的左焦点坐标为(-2,0),由 m m 7 3 1 1 题意知- =-2,所以实数 m= . m 2 1 答案: 2 [类题通法] 1. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考, 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、 对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. 2.求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时,应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种; (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系; (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.

考点二 抛物线的定义及应用(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. [提醒] 当直线 l 经过点 F 时,点的轨迹是过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线. [多角探明] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等.归纳起来常见的命 题角度有: (1)到焦点与定点距离之和最小问题; (2)到点与准线的距离之和最小问题; (3)到定直线的距离最小问题; (4)焦点弦中距离之和最小问题 角度一:到焦点与定点距离之和最小问题 1.已知抛物线的方程为 x2=8y,F 是焦点,点 A(-2,4),在此抛物线上求一点 P,使|PF| +|PA|的值最小. 解:∵(-2)2<8×4,∴点 A(-2,4)在抛物线 x2=8y 的内部. 如图,设抛物线的准线为 l,过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q,过点 A 作 AB

- 75 -

⊥l 于点 B,连接 AQ. 由抛物线的定义可知|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且仅当 P,Q,A 三点共线时, |PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|. ∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点 P 的坐标为(-2,y0),代入 x2=8y,得 y0 1 = . 2 1? 故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点 P 的坐标为? ?-2,2?. 角度二:到点与准线的距离之和最小问题 2.(2015· 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动 点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析: 由题意知, 圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4), 半径为 1, 抛物线的焦点为 F(1,0). 根 据抛物线的定义, 点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与 点 P 到抛物线焦点的距离之和,因此|PQ|+|PF|≥|PC|+|PF|-1≥|CF|-1= 17-1. 答案: 17-1 角度三:到定直线的距离最小问题 3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是________. 解析:法一:如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行且与抛物线 y=- x2 相切的直线为 4x+3y+b=0,切线方程与抛物线方程联立得
?y=-x2, ? ? 消去 y 整理得 3x2-4x-b=0,则 Δ=16+12b=0,解 ?4x+3y+b=0 ?

4 4 得 b=- ,所以切线方程为 4x+3y- =0,抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离 3 3

的最小值是这两条平行线间的距离 d=

?8-4? ? 3? 4
5

= . 3

法二:对 y=-x2,有 y′=-2x.如图,设与直线 4x+3y-8=0 平行 且与抛物线 y=-x2 相切的直线与抛物线的切点是 T(m,-m2),则切线斜 2 4? 4 2 率 k=y′|x=m=-2m=- ,所以 m= ,即切点 T? ?3,-9?,点 T 到直线 3 3

4x+3y-8=0 的距离 d=

?8-4-8? ?3 3 ? 4
16+9

= ,由图知抛物线 y=-x2 上的点到 3

4 直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 . 3 4 答案: 3 角度四:焦点弦中距离之和最小问题

- 76 -

4.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴垂 线,垂足分别为 C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________. 解析:由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时 当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4 时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2. 答案:2 [类题通法] 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关.实现由点到点的距离与点到直线的距离的 相互转化. (1) 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最 短”,使问题得解. (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中 垂线段最短”原理解决. 考点三 直线与抛物线的位置关系(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.直线与抛物线位置关系的判断 直线 y=kx+m(m≠0)与抛物线 y2=2px(p>0)联立方程组,消去 y,得到 k2x2+2(mk-p)x+ m2=0 的形式.当 k=0 时,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴平行,此时与抛物线只 有一个交点;当 k≠0 时,设其判别式为 Δ, (1)相交:Δ>0?直线与抛物线有两个交点; (2)相切:Δ=0?直线与抛物线有一个交点; (3)相离:Δ<0?直线与抛物线没有交点. [提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平 行于对称轴的直线. 2.直线与抛物线相交的弦长 2p (1)若直线过抛物线的焦点,则弦长|AB|=x1+x2+p= 2 (α 为弦 AB 的倾斜角). sin α (2)若直线不过抛物线的焦点,则用|AB|= 1+k2· |x1-x2|求解.

[典题例析] (2014· 安徽高考)如图,已知两条抛物线 E1:y2=2p1x(p1>0)和 E2: y2=2p2x(p2>0),过原点 O 的两条直线 l1 和 l2,l1 与 E1,E2 分别交于 A1, A2 两点,l2 与 E1, E2 分别交于 B1, B2 两点. (1)证明:A1B1∥A2B2;

- 77 -

(2)过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1,E2 分别交于 C1,C2 两点.记△A1B1C1 与△A2B2C2 的面 S1 积分别为 S1 与 S2,求 的值. S2 解:(1)证明:设直线 l1,l2 的方程分别为 y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),
?y=k1x, ? 2p1 2p1? , 则由? 2 得 A1? k1 ?, ? k2 1 ?y =2p1x, ? ?y=k1x, ? 2p2 2p2? 2 , 由? 2 得 A2? k1 k1 ?. ? ? ?y =2p2x,

2p1 2p1? ?2p2 2p2? 同理可得 B1? ? k2 , k ?,B2? k2 , k ?.
2 2 2 2

???? ? 2p1 2p1 2p1 2p1 ? 所以 A1B1 =? ? k2 - k2 , k - k ?
2 1 2 1

1 1 1 1 =2p1 2- 2, - , k2 k1 k2 k1

????? ? 2p2 2p2 2p2 2p2 ? A2 B2 =? ? k2 - k2 , k - k ?
2 1 2 1

1 1 1 1 =2p2 2- 2, - . k2 k1 k2 k1

???? ? p1 ????? ? 故 A1B1 = A2 B2 ,所以 A1B1∥A2B2. p2
(2)由(1)知 A1B1∥A2B2, 同理可得 B1C1∥B2C2,C1A1∥C2A2. 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.

???? ? ? ? | A B 1 1 | ?2 S1 ? . 因此 =? ????? S2 ?| A B |? ? 2 2? ???? ? ???? ? p1 ????? ? | A1B1 | p1 ????? ?= . 又由(1)中的 A 1B 1 =p2 A2 B2 知 | A2 B2 | p2
S1 p2 1 故 = 2. S2 p2 [类题通法] 直线与抛物线相交问题处理规律 (1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理,避免求交 点坐标的复杂运算.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦 的几何性质. (2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题,以及定值、存在性问题的处理, 最好是作出草图,由图象结合几何性质做出解答.并注意“设而不求”“整体代入”“点差
- 78 -

法”的灵活应用. [演练冲关] (2015· 福州质检)已知抛物线 y2=2px(p>0)在第一象限内与圆 x2+y2-4x+1=0 交于不同 的两点 A,B. (1)求 p 的取值范围; (2)如果在 x 轴上只有一个点 M,使 MA⊥MB,求 p 的值及 M 的坐标. 解:(1)据题意知,p>0,x>0. 设 A(x1, 2px1),B(x2, 2px2). 把 y2=2px 代入 x2+y2-4x+1=0 得, x2+2(p-2)x+1=0, ∵x1,x2 是该方程的两不相等的正根, Δ=4?p-2? -4>0, ? ? ∴?x1+x2=-2?p-2?>0, ? ?x1x2=1>0, ∴p 的取值范围是(0,1). (2)法一:设 M 的坐标为(m,0), 则 MA =(x1-m, 2px1), MB =(x2-m, 2px2),
2

?p<1或p>3, ? 即? ?p<2, ?

????

????

MB =x1x2-m(x1+x2)+m2+2p x1x2. ∴ MA ·
把 x1x2=1,x1+x2=4-2p 代入,

???? ????

MB =m2-(4-2p)m+2p+1, 得 MA ·
∵MA⊥MB,∴m2-(4-2p)m+2p+1=0, 据题意该方程只有一个根, ∴Δ=(4-2p)2-4(2p+1)=0,即 p2-6p+3=0, ∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6), -?4-2p? 此时 m=- = 6-1,即 M 的坐标为( 6-1,0). 2 法二:设 AB 的中点坐标为(x0,y0). 据题意,以线段 AB 为直径的圆恰好与 x 轴相切, |AB| 即 y0= (此时 M 的横坐标为 x0). 2 y0= = 2px1+ 2px2 2p· x1+x2+2 x1x2 = 2 2

???? ????

2p 6-2p = p?3-p?, 2

|AB|2=(x1-x2)2+( 2px1- 2px2)2
- 79 -

2 =x1 +x2 2-2x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2)

=(x1+x2)2-4x1x2+2p(x1+x2-2 x1x2) =(4-2p)2-4+2p(2-2p)=12(1-p), |AB| 2 ∴由 y0= 得 4y2 0=|AB| , 2 即 4p(3-p)=12(1-p),即 p2-6p+3=0, ∴p=3- 6(∵p<1,舍去 p=3+ 6), x1+x2 此时 M 的横坐标为 x0= =2-p= 6-1, 2 即 M 的坐标为( 6-1,0).
对应A本课时跟踪检测?五十一?

[A 卷——夯基保分] 一、选择题 1 1.(2015· 广东七校联考)抛物线 x2=y 的焦点坐标是( 4 A.(0,1) 1? C.? ?0,4? 1? B.? ?0,16? D.(0,4) )

1 解析:选 A 由 x2=y?x2=4y,于是焦点坐标为(0,1).故选 A. 4 2.(2015· 辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( A.2 3 C. 2 ) 1 B. 2 5 D. 2

解析:选 C 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,又 p=1,所以 x1+x2=3, x1+x2 3 所以点 C 的横坐标是 = . 2 2 3.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 A,B 两点,若线 段 AB 的中点的横坐标为 3,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=-1 B.x=2 D.x=-2 )

p x- ?,与抛物线方程联 解析:选 C 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=-? ? 2?

- 80 -

p ? ?y=-? x- ?, p2 ? 2? 立得,? 消去 y 整理得:x2-3px+ =0,可得 x1+x2=3p.根据中点坐标公式, 4 ? ?y2=2px, 3p 有 =3,p=2,因此抛物线的准线方程为 x=-1. 2 4.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=x 的焦点为 F,A(x0,y0)是 C 上一点,|AF| 5 = x0,则 x0=( 4 A.1 C .4 ) B.2 D.8

1 5 解析:选 A 由题意知抛物线的准线为 x=- .因为|AF|= x0,根据抛物线的定义可得 x0 4 4 1 5 + =|AF|= x0,解得 x0=1,故选 A. 4 4 5.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 FP =4 FQ ,则|QF|=( 7 A. 2 C .3 5 B. 2 D.2

??? ?

??? ?

)

解析:选 C 过点 Q 作 QQ′⊥l 交 l 于点 Q′,因为 FP =4 FQ , 所以|PQ|∶|PF|=3∶4, 又焦点 F 到准线 l 的距离为 4, 所以|QF|=|QQ′| =3.故选 C. 6.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( A. 30 3 B.6 D.7 3 )

??? ?

??? ?

C.12

3 ? 3 3 x- ?, 解析: 选 C 抛物线 C: y2=3x 的焦点为 F? 所以 AB 所在的直线方程为 y= ? 4? ?4,0?, ? 3 将 y= 3? 3? 21 9 x- 代入 y2=3x,消去 y 整理得 x2- x+ =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系 3 ? 4? 2 16

21 21 3 数的关系得 x1+x2= ,由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p= + =12,故选 C. 2 2 2 二、填空题 7.(2015· 唐山模拟)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若 A 到抛物线的准线的距离为 4,则|AB|=________. 解析:设 A(xA,yA),B(xB,yB),

- 81 -

∵y2=4x,∴抛物线的准线为 x=-1,F(1,0), 又 A 到抛物线准线的距离为 4, ∴xA+1=4,∴xA=3, p2 1 ∵xAxB= =1,∴xB= , 4 3 1 16 ∴|AB|=xA+xB+p=3+ +2= . 3 3 16 答案: 3 8.(2015· 陕西质检)已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F, 点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|的最小值是________. 1 解析:抛物线的准线方程为 x=- , 2 当 MQ∥x 轴时,|MQ|-|QF|取得最小值, 此时点 Q 的纵坐标 y=2,代入抛物线方程 y2=2x 得 Q 的横坐标 x=2,则|QM|-|QF|=|2 1? 5 +3|-? ?2+2?=2. 5 答案: 2 9.(2015· 洛阳模拟)已知 AB 是抛物线 x2=4y 的一条焦点弦,若该弦的中点纵坐标是 3, 则弦 AB 所在的直线方程是________________________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 直线 AB 的方程为 x=m(y-1), 由抛物线的定义及题设可得,y1+y2=6, 2m2+4 直线与抛物线方程联立消去 x 可得 m2y2-(2m2+4)y+m2=0,则 y1+y2= , m2 2m2+4 即 6= ,可得 m=1 或 m=-1. m2 故直线方程为 x-y+1=0 或 x+y-1=0. 答案:x-y+1=0 或 x+y-1=0 10.(2015· 绵阳诊断)已知 A 是抛物线 y2=4x 上一点,F 是抛物线的焦点,直线 FA 交抛物 线的准线于点 B(点 B 在 x 轴上方),若|AB|=2|AF|,则点 A 的坐标为________. 解析:依题意,①若点 A 位于 x 轴上方,过点 A 作抛物线的准线的垂线,垂足记为 A1, 则有|AB|=2|AF|=2|AA1|,∠BAA1=60° ,直线 AF 的倾斜角为 120° . 又点 F(1,0),因此直线 AF 的方程为 y=- 3(x-1).

- 82 -

? ?y=- 3?x-1?, 由? 2 得? ?y =4x?y>0?,

1 x= , 3 2 3 . 3

?y=

1 2 3? 此时点 A 的坐标是? , . ?3 3 ? ②若点 A 位于 x 轴下方,则此时点 F(1,0)是线段 AB 的中点,又点 B 的横坐标是-1,故 点 A 的横坐标是 2×1-(-1)=3,相应的纵坐标是 y=- 4×3=-2 3,点 A 的坐标是

(3,-2 3).
1 2 3? 综上所述,点 A 的坐标是(3,-2 3)或? , . ?3 3 ? 1 2 3? 答案:(3,-2 3)或? , ?3 3 ? 三、解答题 11.(2015· 唐山模拟)已知抛物线 E:x2=2py(p>0),直线 y=kx+2 与 E 交于 A,B 两点, 且 OA · OB =2,其中 O 为原点. (1)求抛物线 E 的方程;
2 2 (2)点 C 坐标为(0,-2),记直线 CA,CB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k2 1+k2-2k 为定值.

??? ? ??? ?

解:(1)将 y=kx+2 代入 x2=2py,得 x2-2pkx-4p=0, 其中 Δ=4p2k2+16p>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
2 ??? ? ??? ? x2 1 x2 OA · OB =x1x2+y1y2=x1x2+2p· =-4p+4. 2p

1 由已知,-4p+4=2,p= , 2 所以抛物线 E 的方程为 x2=y. (2)证明:由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2. y1+2 x2 x2 1+2 1-x1x2 k1= = = =x1-x2, x1 x1 x1 同理 k2=x2-x1,
2 2 2 2 所以 k2 1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2)

=-8x1x2=16. 12.(2015· 昆明模拟)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,准线为 l,M∈C,以 M 为圆 心的圆 M 与 l 相切于点 Q,Q 的纵坐标为 3p,E(5,0)是圆 M 与 x 轴的不同于 F 的一个交点. (1)求抛物线 C 与圆 M 的方程;

- 83 -

4 (2)过 F 且斜率为 的直线 n 与 C 交于 A,B 两点,求△ABQ 的面积. 3 p ? 解:(1)由抛物线的定义知,圆 M 经过焦点 F? ?2,0?, p ? ? 3p ? Q? ?-2, 3p?,点 M 的纵坐标为 3p,又 M∈C,则 M? 2 , 3p?,|MF|=2p.由题意,M p +5 3p 2 是线段 EF 的垂直平分线上的点,所以 = ,解得 p=2, 2 2 故抛物线 C:y2=4x,圆 M:(x-3)2+(y-2 3)2=16. 4 (2)由题意知直线 n 的方程为 y= (x-1), 3 1 y =4x, ? ? ?x=4, ? ?x=4, ? 由? 4 解得? 或? ?y=4 y= ?x-1?, ? ? ? ? 3 ?y=-1. 1 25 ? 设 A(4,4),B? ?4,-1?,则|AB|= 4 . 点 Q(-1,2 3)到直线 n:4x-3y-4=0 的距离 8+6 3 d= , 5 20+15 3 1 所以△ABQ 的面积 S= |AB|· d= . 2 4 [B 卷——增分提能] 1.(2015· 唐山二模)已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 M,过点 M 作圆 C: (x-2)2+y2=1 的两条切线,切点为 A,B,|AB|= (1)求抛物线 E 的方程; (2)过抛物线 E 上的点 N 作圆 C 的两条切线,切点分别为 P,Q,若 P,Q,O(O 为原点) 三点共线,求点 N 的坐标. p ? 解:(1)由已知得 M? ?-2,0?,C(2,0). 如图,设 AB 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|AR|= 1 于是|CR|= |AC|2-|AR|2= . 3 |MC| |AC| 由△AMC∽△RAC 得 = , |AC| |RC| p ∴|MC|=3,即 2+ =3,p=2. 2 故抛物线 E 的方程为 y2=4x. 2 2 . 3 4 2 . 3
2

- 84 -

(2)如图,设 N(s,t).P,Q 是 NC 为直径的圆 D 与圆 C 的两交点. 圆 D 方程为

?x-s+2?2+?y- t ?2=?s-2? +t , 4 2 ? ? 2? ?
即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0.① 又圆 C 方程为 x2+y2-4x+3=0.② 由②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0.③ P,Q 两点坐标是方程①和②的解,也是方程③的解,从而③为直线 PQ 的方程. 3 因为直线 PQ 经过点 O,所以 3-2s=0,s= . 2 又点 N 在抛物线 E:y2=4x 上, 3 ? ?3 ? 所以点 N 的坐标为? ?2, 6?或?2,- 6?. 2.(2015· 长春三调)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线 与抛物线相交于 M,N 两点,且|MN|=8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 为抛物线 C 的切线,且 l∥MN,P 为 l 上一点,求 PM · PN 的最小值. p ? 解:(1)由题意可知 F? ?2,0?, p 则该直线方程为 y=x- , 2 代入 y2=2px(p>0), p2 得 x2-3px+ =0. 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则有 x1+x2=3p. ∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8, 即 3p+p=8,解得 p=2, ∴抛物线的方程为 y2=4x. (2)设直线 l 的方程为 y=x+b,代入 y2=4x, 得 x2+(2b-4)x+b2=0. ∵直线 l 为抛物线 C 的切线,∴Δ=0,解得 b=1. ∴直线 l 的方程为 y=x+1. 由(1)可知:x1+x2=6,x1x2=1. 设 P(m,m+1),则 PM =(x1-m,y1-(m+1)),

2

2

???? ? ????

???? ?

???? PN =(x2-m,y2-(m+1)), ???? ? ???? PN =(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)] ∴ PM ·
- 85 -

=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2. ∵x1+x2=6,x1x2=1, ∴(y1y2)2=16x1x2=16,y1y2=-4. x1-x2 2 ∵y1 -y2 =4, 2=4(x1-x2),∴y1+y2=4 y1-y2 ∴ PM · PN =1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2 =2(m2-4m-3)=2[(m-2)2-7]≥-14, 当且仅当 m=2 时,即点 P 的坐标为(2,3)时, PM · PN 的最小值为-14.

???? ? ????

???? ? ????

第八节

圆锥曲线的综合问题

对应学生用书P132

基础盘查 直线与圆锥曲线的位置关系 (一)循纲忆知 1.掌握解决直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的思想方法. 2.了解圆锥曲线的简单应用. 3.理解数形结合思想. (二)小题查验 1.判断正误 (1)直线与双曲线有且只有一个公共点,则判别式 Δ=0( ) ) )

(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点( (3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点( x2 y2 (4)直线 y=kx+1 与椭圆 + =1 恒有两个公共点( 5 9 (5)直线与椭圆有且只有一个公共点,则其判别式 Δ=0( 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ ) )

2.(人教 A 版教材例题改编)已知抛物线方程为 y2=4x.直线 l 过定点 P(-2,1),斜率为 k. 则 k=________时,直线 l 与抛物线有且只有一个公共点. 1 答案:-1 或 或 0 2 1 1? x2 2 3. 椭圆 +y =1 的弦被点? 则这条弦所在的直线方程是__________________. ?2,2?平分, 2

- 86 -

解析:设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=1,y1+y2=1. x2 x2 1 2 2 ∵A,B 在椭圆上,∴ +y2 1=1, +y2=1. 2 2 ?x1+x2??x1-x2? 两式相减得 +(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 即 y1-y2 x1+x2 1 =- =- , 2 x1-x2 2?y1+y2?

1 即直线 AB 的斜率为- . 2 1 1 1 x- ?, ∴直线 AB 的方程为 y- =- ? 2 2? 2? 即 2x+4y-3=0. 答案:2x+4y-3=0 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与曲线 y= 2x-1相切,则该双曲线的离 a b 心率为________. b ? x, ?y=± x2 y2 b a 解析:双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,由? a b a ?y= 2x-1, ? b?2 2 得? ?a? x

b?2 b -2x+1=0,由渐近线与曲线 y= 2x-1相切可知 Δ=4-4? ?a? =0,得a=1,所以该双曲线为 等轴双曲线,离心率为 2. 答案: 2

第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系

对应学生用书P132

考点一 直线与圆锥曲线的位置关系(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C=0(A,B 不同 时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.
?Ax+By+C=0, ? 即? 消去 y,得 ax2+bx+c=0. ? F ? x , y ? = 0 ?

- 87 -

(1)当 a≠0 时, 设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ, 则 Δ>0?直线与圆锥曲线 C 相交; Δ=0?直线与圆锥曲线 C 相切; Δ<0?直线与圆锥曲线 C 相离. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交,且只有一个交 点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线, 则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. [题组练透] 1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点,则这样的直线有( A.1 条 C .3 条 B .2 条 D.4 条 )

解析:选 C 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0,过点(0,1)且平 行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x=0),故选 C. 2.(2015· 兰州检测)若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的直线 x2 y2 与椭圆 + =1 的交点个数为( 9 4 A.至多一个 C .1 ) B.2 D.0 4 2 2 2>2,∴m +n m +n
2

解析:选 B ∵直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,∴
2 m2 n2 m2 4-m 5 <4.∴ + < + =1- m2<1, 9 4 9 4 36

x2 y2 x2 y2 ∴点(m,n)在椭圆 + =1 的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点有 2 个, 9 4 9 4 故选 B. 3. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点, 则 k 的取值范围是( A.?- )

?

15 15? , 3 3 ? 15 ? ,0 3 ?

B.?0,

?

15? 3 ? 15 ? ,-1 3 ?

C.?-

?

D.?-

?

?y=kx+2, ? 解析:选 D 由? 2 2 得(1-k2)x2-4kx-10=0. ?x -y =6, ?

设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),

- 88 -

? ?Δ=16k -44k?1-k ?×?-10?>0, 则?x +x = >0, 1-k 10 ? >0, ?x x =1- -k
2 2 1 2 2 1 2 2

1-k2≠0,

解得-

15 <k<-1. 3 [类题通法]

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x,y 的方程组,消去 y(或 x)得一 元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标; (2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. [提醒] 直线与双曲线相交时要注意交点的位置限制参数的范围.

考点二 弦长问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 弦长公式 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 = = 1 1+ 2· |y -y | k 1 2 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2. k [典题例析] x2 y2 1 (2014· 陕西高考)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为 ,左右焦点分别为 a b 2 F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l:y=- x+m 与椭圆交于 A,B 两点,与以 F1F2 为 2 |AB| 5 3 直径的圆交于 C,D 两点,且满足 = ,求直线 l 的方程. |CD| 4

- 89 -

b= 3, ? ?c 1 解:(1)由题设知? = , a 2 ? ?b =a -c ,
2 2 2

解得 a=2,b= 3,c=1, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 4 3 (2)由题设,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1, 2|m| ∴圆心到直线 l 的距离 d= , 5 由 d<1 得|m|< 5 .(*) 2 4 2 1- m2= 5 5 5-4m2.

∴|CD|=2 1-d2=2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

?y=-2x+m, 由? x y ? 4 + 3 =1
2 2

1

得 x2-mx+m2-3=0,

由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= = 15 2

?1+?-1?2?[m2-4?m2-3?] ? ? 2? ?
4-m2. 4-m2 3 =1,解得 m=± ,满足(*). 3 5-4m2

|AB| 5 3 由 = 得 |CD| 4

1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 2 3 2 3 [类题通法] 1.利用弦长公式求弦长要注意斜率 k 不存在的情形,若 k 不存在时,可直接求交点坐标 再求弦长; 2.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用. [演练冲关] (2015· 兰州、张掖联考)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其 准线于点 A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程是________.

- 90 -

解析:如图,分别过点 A,B 作准线的垂线 AE,BD,分别交准线于点 E,D,则|BF|=|BD|,∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BD|,∴∠BCD=30° ,又|AE|=|AF|=3,∴|AC|=6,即点 F 3 是 AC 的中点,根据题意得 p= , 2 ∴抛物线的方程是 y2=3x. 答案:y2=3x 考点三 中点弦问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. x2 y2 b2x0 x2 y2 在椭圆 2+ 2=1 中, 以 P(x0, y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=- 2 ; 在双曲线 2- 2= a b a y0 a b b2x0 1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y2=2px 中,以 P(x0,y0)为中 a y0 p 点的弦所在直线的斜率 k= . y0 [多角探明] 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点.归纳起来常见的命题角度 有: (1)由中点弦确定直线方程; (2)由中点弦确定曲线方程; (3)由中点弦解决对称问题. 角度一:由中点弦确定直线方程 1 . 已 知 (4,2) 是 直 线 l 被 椭 圆 __________________. 解析:设直线 l 与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2 x1 y1 x2 y2 2 2 则 + =1,且 + =1, 36 9 36 9

x2 y2 + =1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是 36 9

y1-y2 x1+x2 两式相减得 =- . x1-x2 4?y1+y2? 又 x1+x2=8,y1+y2=4,
- 91 -

y1-y2 1 1 所以 =- ,故直线 l 的方程为 y-2=- (x-4),即 x+2y-8=0. 2 2 x1-x2 答案:x+2y-8=0 角度二:由中点弦确定曲线方程 x2 y2 2.(2015· 武汉调研)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E a b 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 27 18 x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9 )

y1-y2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 解析: 选 D 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 则 2+ 2=1, 2+ 2=1, 两式作差并化简变形得 a b a b x1-x2 b2?x1+x2? y1-y2 0-?-1? 1 =- 2 ,而 = = ,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以 a2=2b2,又因为 a2- 2 a ?y1+y2? x1-x2 3-1 b2=c2=9,于是 a2=18,b2=9.故选 D. 角度三:由中点弦解决对称问题 y2 3.已知双曲线 x2- =1 上存在两点 M,N 关于直线 y=x+m 对称,且 MN 的中点在抛 3 物线 y2=18x 上,则实数 m 的值为________. 解析:设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点 P(x0,y0),

? ? y 则?x - 3 =1, x +x =2x , ? ?y +y =2y ,
2 2 1 1 2 2 2 2 0 0

y2 1 2 x1 - =1, 3

① ② ③ ④

1 由②-①得(x2-x1)(x2+x1)= (y2-y1)(y2+y1), 3 显然 x1≠x2. ∴ y2-y1 y2+y1 y0 · =3,即 kMN· =3, x0 x2-x1 x2+x1

∵M,N 关于直线 y=x+m 对称, ∴kMN=-1,∴y0=-3x0, m 3m - , ?, 又∵y0=x0+m,∴P? ? 4 4? 9 ?-m?, 代入抛物线方程得 m2=18· ? 4? 16 解得 m=0 或-8,经检验都符合.

- 92 -

答案:0 或-8 [类题通法] 处理中点弦问题常用的求解方法 1.点差法 即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有 x1+x2,y1+y2, y1-y2 三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率. x1-x2 2.根与系数的关系 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. [提醒] 中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生 漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
对应B本课时跟踪检测?五十二?

一、选择题 b x2 y2 1.直线 y= x+3 与双曲线 2- 2=1 的交点个数是( a a b A.1 C .1 或 2 B .2 D.0 )

b b 解析:选 A 因为直线 y= x+3 与双曲线的渐近线 y= x 平行,所以它与双曲线只有 1 a a 个交点. x2 y2 2 2.(2015· 浙江舟山三模)已知椭圆 C 的方程为 + 2=1(m>0),如果直线 y= x 与椭圆 16 m 2 的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F,则 m 的值为( A.2 C .8 B.2 2 D.2 3 )

解析: 选 B 根据已知条件得 c= 16-m2, 则点? 16-m2,

?

x2 y2 2 ? 16-m2 在椭圆16+m2= 2 ?

1(m>0)上, ∴ 16-m2 16-m2 + =1,可得 m=2 2. 16 2m2

3.(2015· 四川雅安月考)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3的直线 与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AK⊥l,垂足为 K,则△AKF 的面积是( A.4 C .4 3 B.3 3 D.8 )

- 93 -

解析:选 C ∵y2=4x,∴F(1,0),l:x=-1,过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1:y= 3(x 1 -1),与 y2=4x 联立,解得 A(3,2 3),∴AK=4,∴S△AKF= ×4×2 3=4 3. 2 4.已知抛物线 C:y2=8x 与点 M(-2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A,B

MB =0,则 k=( 两点.若 MA ·
1 A. 2 C. 2

???? ????

) B. 2 2

D.2

解析:选 D 如图所示,设 F 为焦点,取 AB 的中点 P,过 A,B

MB = 分别作准线的垂线,垂足分别为 G,H,连接 MF,MP,由 MA ·
1 1 0,知 MA⊥MB,则|MP|= |AB|= (|AG|+|BH|),所以 MP 为直角梯形 2 2 BHGA 的中位线,所以 MP∥AG∥BH,所以∠GAM=∠AMP=∠MAP, 又|AG|=|AF|,AM 为公共边,所以△AMG≌△AMF,所以∠AFM=∠ 1 AGM=90° ,则 MF⊥AB,所以 k=- =2. kMF x2 5.(2015· 丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值 4 为( ) A.2 4 10 C. 5 4 5 B. 5 8 10 D. 5

???? ????

解析:选 C 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 y=x+t,
?x2+4y2=4, ? 由? 消去 y,得 5x2+8tx+4(t2-1)=0. ?y=x+t ?

4?t2-1? 8 则 x1+x2=- t,x1x2= . 5 5 ∴|AB|= 1+k2|x1-x2| = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2 8 ?2 4?t -1? = 2· ? ?-5t? -4× 5 = 4 2 · 5-t2, 5 4 10 . 5
2

当 t=0 时,|AB|max=

6.(2015· 大连双基测试)过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 B,C 两点,

- 94 -

l 与抛物线准线交于点 A,且|AF|=6, AF =2 FB ,则|BC|=( 9 A. 2 13 C. 2 B.6 D.8

??? ?

??? ?

)

π 解析:选 A 不妨设直线 l 的倾斜角为 θ,其中 0<θ< ,点 B(x1,y1),C(x2y2),则点 B 在 2 |AF| p x 轴的上方.过点 B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为 B1,于是有|BF|=|BB1|=3, = , |AB| |BB1| p p 2 1 由此得 p=2,抛物线方程是 y2=4x,焦点 F(1,0),cos θ= = = = ,sin θ= 1-cos2θ= |AF| 6 6 3

?y=2 2?x-1?, 2 2 sin θ ,tan θ= =2 2,直线 l:y=2 2(x-1).由? 2 消去 y,得 2x2-5x+ 3 cos θ ?y =4x
5 5 9 2=0,x1+x2= ,|BC|=x1+x2+p= +2= ,选 A. 2 2 2 二、填空题 x2 y2 7.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的 9 16 直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 4 解析:c=5,设过点 F 平行于一条渐近线的直线方程为 y= (x-5),即 4x-3y-20=0, 3 32 1 32 32 联立直线与双曲线方程,求得 yB=- ,则 S= ×(5-3)× = . 15 2 15 15 32 答案: 15 8.(2015· 贵州安顺月考)在抛物线 y=x2 上关于直线 y=x+3 对称的两点 M、N 的坐标分 别为__________________. 解析:设直线 MN 的方程为 y=-x+b,代入 y=x2 中, 1 整理得 x2+x-b=0,令 Δ=1+4b>0,∴b>- . 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=-1, y1+y2 x1+x2 1 =- +b= +b, 2 2 2 1 1 - , +b?在直线 y=x+3 上, 由? ? 2 2 ? 1 1 即 +b=- +3,解得 b=2, 2 2
?y=-x+2, ?x1=-2, ? ? 联立? 解得? 2 ? ? ?y=x , ?y1=4, ?x2=1, ? ? ? ?y2=1.

答案:(-2,4)、(1,1)
- 95 -

9.(2015· 沈阳模拟)已知点 A(- 2,0),点 B( 2,0),且动点 P 满足|PA|-|PB|=2,则动 点 P 的轨迹与直线 y=k(x-2)有两个交点的充要条件为 k∈________. 解析:由已知得动点 P 的轨迹为一双曲线的右支且 2a=2,c= 2,则 b= c2-a2=1, ∴P 点的轨迹方程为 x2-y2=1(x>0),其一条渐近线方程为 y=x.若 P 点的轨迹与直线 y=k(x -2)有两个交点,则需 k∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 10.(2015· 北京石景山期末)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为直线 l,过抛物线上一 点 P 作 PE⊥l 于点 E,若直线 EF 的倾斜角为 150° ,则|PF|=________. 解析: 由抛物线方程 y2=4x 可知焦点 F(1,0), 准线为 x=-1.直线 EF 的斜率为 k=tan 150° =- 3 , 3 3 (x-1), 3

所以直线 EF 的方程为 y=-

2 3? 与准线方程联立可得点 E?-1, , 3 ? ? 2 3? 故可设 P?x, , 3 ? ? 1 将其代入抛物线方程 y2=4x,解得 x= . 3 1 ? 4 所以|PE|=? ?3-?-1??=3, 4 由抛物线的定义可知|PE|=|PF|,故|PF|= . 3 4 答案: 3 三、解答题 1 11.(2015· 山西模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 . 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 AM =2 MB ,求直线 l 的方 程. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>0,b>0), a b c 1 因为 c=1, = ,所以 a=2,b= 3, a 2 x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)由题意得直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=kx+1,
- 96 -

???? ?

????

y=kx+1, ? ?2 2 联立方程?x y ? ? 4 + 3 =1, 得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且 Δ>0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 AM =2 MB ,得 x1=-2x2, -8k ? ?x +x =3+4k , 又? -8 x= , ? ?x · 3+4k
1 2 2 1 2 2

???? ?

????

-8k ? ?-x =3+4k , 所以? -8 ? ?-2x =3+4k ,
2 2 2 2 2

8k 4 消去 x2 得?3+4k2?2= ? ? 3+4k2, 1 1 解得 k2= ,k=± , 4 2 1 所以直线 l 的方程为 y=± x+1, 2 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 12.(2015· 广东肇庆二模)已知双曲线 C 的两个焦点坐标分别为 F1(-2,0),F2(2,0),双曲 线 C 上一点 P 到 F1,F2 距离差的绝对值等于 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点,求直线 l 的方程; (3)已知定点 G(1,2),点 D 是双曲线 C 右支上的动点,求|DF1|+|DG|的最小值. 解:(1)依题意,得双曲线 C 的实半轴长 a=1,焦半距 c=2, 所以其虚半轴长 b= c2-a2= 3. 又其焦点在 x 轴上, y2 所以双曲线 C 的标准方程为 x2- =1. 3 (2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
2 ?3x2 ? 1-y1=3, 则? 2 2 两式相减, ? ?3x2-y2=3,

得 3(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
? ?x1+x2=4, 因为 M(2,1)为 AB 的中点,所以? ?y1+y2=2. ?

y1-y2 所以 12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即 kAB= =6. x1-x2

- 97 -

故 AB 所在直线 l 的方程为 y-1=6(x-2), 即 6x-y-11=0. (3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2, 即|DF1|=|DF2|+2, 所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2, 当且仅当 G,D,F2 三点共线时取等号. 因为|GF2|= ?1-2?2+22= 5, 所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2= 5+2. 故|DF1|+|DG|的最小值为 5+2.

第二课时 最值、范围、证明问题

对应学生用书P134

考点一 最值问题(常考常新型考点——多角探明) [必备知识] 1.圆锥曲线上本身存在的最值问题. (1)椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长); (2)双曲线上两点间最小距离为 2a(实轴长); (3)椭圆焦半径的取值范围为[a-c,a+c],a-c 与 a+c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点 的最小距离与最大距离; (4)抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近. 2.圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题,常用两点间的距离公式转化为区间上的二 次函数的最值问题解决,有时也用圆锥曲线的参数方程,化为三角函数的最值问题或用三角 形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解. 3.圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法. [多角探明]

- 98 -

圆锥曲线中的最值问题一直是高考命题的热点,各种题型都有,命题角度很广,归纳起 来常见的命题角度有: (1)利用三角函数有界性求最值 (2)数形结合利用几何性质求最值; (3)建立目标函数求最值.

角度一:利用三角函数有界性求最值 x2 1.(2014· 福建高考)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 10 两点间的最大距离是( A.5 2 C.7+ 2 ) B. 46+ 2 D.6 2

解析: 选 D 设圆的圆心为 C, 则 C(0,6), 半径为 r= 2, 点 C 到椭圆上的点 Q ( 10cos α, sin α) 的 距 离 |CQ| = ? 10cos α?2+?sin α-6?2 = 46-9sin2α-12sin α = 2?2 50-9? ?sin α+3?

2 ≤ 50=5 2,当且仅当 sin α=- 时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5 2+ 2=6 2,即 P,Q 3 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 角度二:数形结合利用几何性质求最值 x2 y2 2.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1 上 25 9 的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( A.9,12 C.8,12 ) B.8,11 D.10,12

解析:选 C 如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭 圆的两个焦点,由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10,连接 PA,PB 分 别与圆相交于 M, N 两点, 此时|PM|+|PN|最小,最小值为|PA|+|PB| -2R=8;连接 PA,PB 并延长,分别与圆相交于 M,N 两点,此时 |PM|+|PN|最大,最大值为|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分别为 8,12. 角度三:建立目标函数求最值 3.(2014· 浙江高考)已知△ABP 的三个顶点在抛物线 C:x2=4y 上,F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中点, PF =3 FM . (1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. 解:(1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.

??? ?

???? ?

- 99 -

设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2, 所以 P(2 2,2)或 P(-2 2,2).

??? ? ???? ? 2 2 2? 2 2 2? 由 PF =3 FM ,分别得 M?- 或 M? . ? 3 ,3? ? 3 ,3?
(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m, 点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
?y=kx+m, ? 由? 2 得 x2-4kx-4m=0. ?x =4y ?

于是 Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2+m). 由 PF =3 FM ,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
? ?x0=-6k, 所以? 2 ?y0=4-6k -3m. ?

??? ?

???? ?

1 4 2 由 x2 0=4y0 得 k =- m+ . 5 15 1 4 由 Δ>0,k2≥0,得- <m≤ . 3 3 又因为|AB|=4 1+k2· k2+m, 点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d= |m-1| . 1+k2

所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1| k2+m = 16 15 3m3-5m2+m+1.

1 4? 记 f(m)=3m3-5m2+m+1? ?-3<m≤3?. 1 令 f′(m)=9m2-10m+1=0,解得 m1= ,m2=1. 9 1 1? ?1 ? ? 4? ?1? 可得 f(m)在? ?-3,9?上是增函数,在?9,1?上是减函数,在?1,3?上是增函数.又 f?9?= 256 ?4? >f . 243 ?3? 1 256 55 所以当 m= 时,f(m)取到最大值 ,此时 k=± . 9 243 15 所以△ABP 面积的最大值为 256 5 . 135 [类题通法] 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是利用 几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二
- 100 -

是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式), 然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 考点二 范围问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下,求相关式子(目标函数)的取值范围问题, 常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题,或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何 意义)化为函数进行处理. 2.由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系,求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问 题,常把所求参数作为函数,另一个元作为自变量求解. [典题例析] (2015· 云南模拟)已知圆 M:(x+ 3a)2+y2=16a2(a>0)及定点 N( 3a,0),点 P 是圆 M 上 的动点,点 G 在 MP 上,且满足|GP|=|GN|,G 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 A(1,0)关于直线 x+y-t=0(t>0)的对称点在曲线 C 上,求 a 的取值范围. 解:(1)设 G(x,y), ∵|PG|+|GM|=4a,且|PG|=|GN|, ∴|GM|+|GN|=4a>2 3a, x2 y2 由椭圆定义得,曲线 C 的方程为 2+ 2=1. 4a a (2)设 A(1,0)关于直线 x+y-t=0(t>0)的对称点为 A′(m,n),则 ?-1?=-1, ?m-1· ?m+1 n ? 2 +2-t=0, ∴A′(t,t-1), x2 y2 ∵A′(t,t-1)在曲线 C: 2+ 2=1 上, 4a a ∴t2+4(t-1)2=4a2, 化简得 5t2-8t+4-4a2=0(t>0), ∵此方程有正根,令 f(t)=5t2-8t+4-4a2, 4 其图象的对称轴为 t= >0, 5 ∴Δ=(-8)2-4×5(4-4a2)≥0, ∴a≥ 5 5 或 a≤- , 5 5 n
? ?m=t, ∴? ?n=t-1, ?

- 101 -

∵a>0,∴a 的取值范围为?

5 ?. 5 ? ,+∞? [类题通法]

求解范围问题的常见求法 1.利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围; 2.利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等 量关系; 3.利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; 4.利用基本不等式求出参数的取值范围; 5.利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. [演练冲关] x y 1.(2015· 温州十校模拟)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其 a b π π? 右焦点,若 AF⊥BF,设∠ABF=α,且 α∈? ?12,4?,则该椭圆离心率的取值范围为 A.? C.? 2 6? ?2,3? B.? 2 3? ?2,2? 2 ? ? 2 ,1?
2 2

6 ? ? 3 ,1?

D.?

解析:选 A 由题知 AF⊥BF,根据椭圆的对称性,AF′⊥BF′(其中 F′是椭圆的左焦 点),因此四边形 AFBF′是矩形,于是,|AB|=|FF′|=2c,|AF|=2csin α,|AF′|=2ccos α, c 1 根据椭圆的定义, |AF| + |AF′| = 2a ,∴ 2csin α + 2ccos α = 2a ,∴ e = = = a sin α+cos α π π? π π π π 3 2 6 , ,∴α+ ∈? , ?,∴sin?α+ ?∈? ,1?,故 e∈? , ?. ,而 α∈? ?12 4? ? 4? ? 2 π? 4 ?3 2 ? 3? ? ?2 ? 2sin?α+4? 1 2.(2015· 福州质检)如图,直线 y=m 与抛物线 y2=4x 交于点 A,与 圆(x-1)2+y2=4 的实线部分交于点 B, F 为抛物线的焦点, 则三角形 ABF 的周长的取值范围是( A.(2,4) C.[2,4] 解析:选 B 设 B(xB,yB),则 1≤xB≤3. 因为可以构成三角形 ABF,所以 1<xB<3. 因为圆的半径|BF|=2,抛物线的准线方程为 x=-1, 利用抛物线定义,|AF|等于点 A 到直线 x=-1 的距离 d, 所以三角形 ABF 的周长 l=|AF|+|AB|+|BF|=|AF|+|AB|+2=d+|AB|+2=xB-(-1)+2= xB+3,故 4<l<6.故选 B.
- 102 -

) B.(4,6) D.[4,6]

考点三 证明问题(重点保分型考点——师生共研) [典题例析] x y2 (2014· 浙江高考)如图,设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),动直线 l 与椭 a b 圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限. (1)已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标; (2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直, 证明: 点 P 到直线 l1 的距离的最 大值为 a-b. 解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0), y=kx+m, ? ? 2 2 由?x y 消去 y 得 2+ 2=1 ? a b ? (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于 l 与 C 只有一个公共点,故 Δ=0, 即 b2-m2+a2k2=0, a2km b2m 解得点 P 的坐标为?-b2+a2k2,b2+a2k2?. ? ? 又点 P 在第一象限, 故点 P 的坐标为 P b2 , . b2+a2k2 b2+a2k2 -a2k
2

(2)证明:由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,
2 2 ? -a k + b k ? ? 2 22 ? b2+a2k2? ? b +a k

所以点 P 到直线 l1 的距离 d= 整理得 d= a2-b2

1+k2 ,



b2 b2+a2+a2k2+ 2 k

b2 因为 a2k2+ 2 ≥2ab, k 所以 a2-b2 b2 b2+a2+a2k2+ 2 k ≤ a2-b2 b2+a2+2ab =a-b,

b 当且仅当 k2= 时等号成立. a 所以点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b. [类题通法] 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题, 证明方法一般是采用直接法或反证法.
- 103 -

[演练冲关] (2015· 皖南八校联考)如图,已知抛物线 C:y2=2px(p>0),焦点 为 F,过点 G(p,0)作直线 l 交抛物线 C 于 A,M 两点,设 A(x1,y1), M(x2,y2). (1)若 y1y2=-8,求抛物线 C 的方程; (2)若直线 AF 与 x 轴不垂直,直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B, 直线 BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证:直线 AB 与直线 MN 斜率之 比为定值. 解:(1)设直线 AM 的方程为 x=my+p,代入 y2=2px 得 y2-2mpy-2p2=0, 则 y1y2=-2p2=-8,得 p=2. ∴抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)证明:设 B(x3,y3),N(x4,y4). 由(1)可知 y3y4=-2p2,y1y3=-p2. 又直线 AB 的斜率 kAB= y3-y1 y3-y1 2p = 2 , 2= x3-x1 y3 y1 y1+y3 - 2p 2p

y4-y2 y4-y2 2p 直线 MN 的斜率 kMN= = 2 , 2= x4-x2 y4 y2 y2+y4 - 2p 2p -2p2 -2p2 -2p2 + ?y +y ? y1 y3 y1y3 1 3 kAB y2+y4 ∴ = = = =2. kMN y1+y3 y1+y3 y1+y3 故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值.

对应A本课时跟踪检测?五十三?

[A 卷——夯基保分] 1.已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线 x2=-4 2y 的焦点是它 的一个焦点,又点 A(1, 2)在该椭圆上. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若斜率为 2的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B、C,当△ABC 的面积最大时,求直线 l 的方程. 解:(1)由已知得抛物线的焦点为(0,- 2), y2 x2 故设椭圆方程为 2+ 2 =1(a> 2). a a -2

- 104 -

2 1 将点 A(1, 2)代入方程得 2+ 2 =1, a a -2 整理得 a4-5a2+4=0,解得 a2=4 或 a2=1(舍去), y2 x2 故所求椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设直线 l 的方程为 y= 2x+m, B,C 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

? ?y= 2x+m, 由?y2 x2 得 4x2+2 2mx+m2-4=0, ? 4 + 2 =1, ?
则 Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0, ∴0≤m2<8. 由 x1+x2=- m2-4 2 m,x1x2= , 2 4 3· 16-2m2 . 2 |m| , 3

得|BC|= 3|x1-x2|=

又点 A 到 BC 的距离为 d=

2 2 m2?16-2m2? 1 1 2m +?16-2m ? 故 S△ABC= |BC|· d= ≤ · = 2, 2 4 2 4 2

当且仅当 2m2=16-2m2,即 m=± 2 时取等号. 当 m=± 2 时,满足 0≤m2<8. 故直线 l 的方程为 y= 2x± 2. x2 y2 1 2.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0, y0),求 y0 的取值范围. 解:(1)设椭圆 C 的半焦距为 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 e= , 2 所以 a=2c=2,b2=a2-c2=3. x2 y2 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0. 当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

- 105 -

y=k?x-1?, ? ?2 2 由?x y ? ? 4 + 3 =1, 消去 y 并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k2 则 x1+x2= . 3+4k2 x1+x2 -3k 4k2 所以 x3= = . 2,y3=k(x3-1)= 2 3+4k 3+4k2 线段 MN 的垂直平分线的方程为 4k2 ? 3k 1? y+ 2 . 2=- x- k ? 3+4k ? 3+4k k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= . 2= 3+4k 3 +4 k k 3 3 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3,当且仅当 =4k,k=- 时等号成立; k k 2 3 3 3 当 k>0 时, +4k≥4 3,当且仅当 =4k,k= 时等号成立. k k 2 所以- 3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3? . ? 12 , 12 ?

综上,y0 的取值范围是?-

3.如图,曲线 M:y2=x 与曲线 N:(x-4)2+2y2=m2(m>0)相交 于 A,B,C,D 四点. (1)求 m 的取值范围; (2)求四边形 ABCD 的面积的最大值及面积最大时对角线 AC 与 BD 的交点坐标. 解:(1)联立曲线 M,N,消去 y 可得(x-4)2+2x-m2=0,即 x2-6x+16-m2=0, Δ=36-4?16-m ?>0, ? ? 根据条件可得?x1+x2=6>0, ? ?x1x2=16-m2>0,
2

解得 7<m<4.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),x2>x1,y1>0,y2>0, 则 SABCD=(y1+y2)(x2-x1) =( x1+ x2)(x2-x1) = = x1+x2+2 x1x2· ?x1+x2?2-4x1x2 6+2 16-m2· 36-4×?16-m2?.

- 106 -

令 t= 16-m2,则 t∈(0,3), SABCD= 6+2t· 36-4t2 =2 2 -t3-3t2+9t+27, 设 f(t)=-t3-3t2+9t+27, 令 f′(t)=-3t2-6t+9=-3(t2+2t-3)=-3(t-1)(t+3)=0,可得当 t∈(0,3)时,f(t)的最 大值为 f(1)=32,从而 SABCD 的最大值为 16. 令 16-m2=1,得 m2=15. 联立曲线 M,N 的方程,消去 y 并整理得 x2-6x+1=0,解得 x1=3-2 2,x2=3+2 2, 所以 A(3-2 2, 2-1),C(3+2 2,- 2-1), kAC= ?- 2-1?-? 2-1? 1 =- , 2 ?3+2 2?-?3-2 2?

1 则直线 AC 的方程为 y-( 2-1)=- [x-(3-2 2)] 2 当 y=0 时,x=1, 由对称性可知 AC 与 BD 的交点在 x 轴上, 即对角线 AC 与 BD 的交点坐标为(1,0). [B 卷——增分提能] x2 y2 1.(2015· 淄博模拟)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2,且过 a b 点?1,

?

2? ,右焦点为 F2.设 A,B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中点 M 2?

1 的横坐标为- ,线段 AB 的中垂线交椭圆 C 于 P,Q 两点. 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 F2 P · F2Q 的取值范围. 解:(1)因为焦距为 2,所以 a2-b2=1. 因为椭圆 C 过点?1,

???? ? ???? ?

?

1 1 2? ,所以 2+ 2=1. a 2b 2?

故 a2=2,b2=1, x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意知,当直线 AB 垂直于 x 轴时, 1 直线 AB 方程为 x=- , 2

- 107 -

此时 P(- 2 ,0),Q( 2,0),又 F2(1,0), 得 F2 P · F2Q =-1. 1 ? 当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0),M? ?-2,m?(m≠0),A(x1,y1), B(x2,y2), 则 x1+x2=-1,y1+y2=2m.

???? ? ???? ?

? 2 +y =1, 由? x ? 2 +y =1,
2 1 2 2 2 2

2 x1

y1-y2 得(x1+x2)+2(y1+y2)· =0, x1-x2

1 则-1+4mk=0,故 k= . 4m 此时,直线 PQ 斜率为 k1=-4m, 1? PQ 的直线方程为 y-m=-4m? ?x+2?. 即 y=-4mx-m. y=-4mx-m, ? ?2 联立方程组?x 2 ? 2 +y =1 ? 整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0. 设 P(x3,y3),Q(x4,y4), 2m2-2 16m2 所以 x3+x4=- ,x3x4= . 2 32m +1 32m2+1 于是 F2 P · F2Q =(x3-1)(x4-1)+y3y4 =x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m) =(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1 = ?4m2-1??-16m2? ?1+16m2??2m2-2? + +m2+1 32m2+1 32m2+1

???? ? ???? ?

19m2-1 = . 32m2+1 1 2 7 ? 由于 M? ?-2,m?在椭圆的内部,故 0<m <8.

???? ? ???? ? 19 51 令 t=32m2+1,1<t<29,则 F2 P · F2Q =32-32t. ???? ? ???? ? 125 又 1<t<29,所以-1< F2 P · F2Q <232. ???? ? ???? ? 125? 综上, F2 P · F2Q 的取值范围为? ?-1,232?.

- 108 -

2.(2015· 温州十校联考)如图,过 x 轴上动点 A(a,0)引抛物线 y=x2+1 的两条切线 AP, AQ.切线斜率分别为 k1 和 k2,切点分别为 P,Q.

(1)求证:k1· k2 为定值,并且直线 PQ 过定点;

??? ? ???? S△APQ ? 最小时,求 AP ·AQ 的值. (2)记 S 为面积,当 ??? | PQ |
? ?y=k?x-a?, 解:(1)证明:法一:设过 A 点的直线为 y=k(x-a),与抛物线联立得? 2 ?y=x +1, ?

整理得 x2-kx+ka+1=0,Δ=k2-4ak-4=0, 所以 k1+k2=4a,k1· k2=-4 为定值. 抛物线方程 y=x2+1,求导得 y′=2x, 设切点 P,Q 的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq), 则 k1=2xp,k2=2xq, k1 k2 k1 k2 所以 xp+xq= + =2a,xpxq= · =-1. 2 2 2 2 yp-yq 直线 PQ 的方程:y-yp= (x-xp), xp-xq
2 由 yp=x2 p+1,yq=xq+1,

得到 y=(xp+xq)x-xpxq+1, 整理可得 y=2xa+2,所以直线 PQ 过定点(0,2). 法二:设切点 P,Q 的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq). 求导得 y′=2x,所以 lAP:y=2xp(x-a), 又 P(xp,yp)在直线上,即 yp=2xp(xp-a), 由 P(xp,yp)在抛物线上得 yp=x2 p+1, 整理可得 yp=2xpa+2, 同理 yq=2xqa+2, 所以 lQP:y=2xa+2,所以直线 PQ 过定点(0,2).
?y=2xa+2, ? 联立方程组? 2 ? ?y=x +1,

可得 x2-2xa-1=0,所以 xpxq=-1,xp+xq=2a, 所以 k1· k2=2xp×2xq=-4 为定值.

- 109 -

d (2)设 A 到 PQ 的距离为 d.S△APQ=|PQ|× , 2 S△APQ d 2a2+2 a2+1 ?= = 所以 ??? = , 2 4a2+1 | PQ | 2 2 4a +1 设 t= 4a2+1≥1, S△APQ t2+3 1 3 3 ?= 所以 ??? = (t+ )≥ , 4 t 4 t 2 | PQ | 2 当且仅当 t= 3时取等号,即 a=± . 2 因为 AQ ·AP =(xp-a,yp)· (xq-a,yq) =xpxq-a(xp+xq)+a2+ypyq, ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2) =4a2xpxq+4+4a(xp+xq) =4a2+4,

? ???? ???

? ???? ??? 9 所以 AQ ·AP =3a2+3= . 2
第三课时 定点、定值、探索性问题

对应学生用书P136

考点一 定点问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 由直线方程确定定点, 若得到了直线方程的点斜式: y-y0=k(x-x0), 则直线必过定点(x0, y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). [典题例析] x2 (2015· 大庆质检)已知椭圆 C: 2+y2=1(a>1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF 与圆 a M:(x-3)2+(y-1)2=3 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,且 AP ·AQ =0,求证:直线 l 过定 点,并求该定点的坐标. 解:(1)圆 M 的圆心为(3,1),半径 r= 3. 由题意知 A(0,1),F(c,0),
- 110 -

??? ? ????

x 直线 AF 的方程为 +y=1,即 x+cy-c=0, c |3+c-c| 由直线 AF 与圆 M 相切,得 = 3, c2+1 解得 c2=2,a2=c2+1=3, x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 3 (2)证明:法一:由 AP ·AQ =0 知 AP⊥AQ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,故可设直线 1 AP 的方程为 y=kx+1,直线 AQ 的方程为 y=- x+1. k y=kx+1, ? ?2 联立方程组?x 整理得(1+3k2)x2+6kx=0, 2 + y = 1 , ? ?3 -6k 解得 x=0 或 x= , 1+3k2 故点 P 的坐标为?

??? ? ????

? -6k ,1-3k ?, ? ?1+3k2 1+3k2?

2

2 ? 6k ,k -3?, 同理,点 Q 的坐标为? 2 ? ?k +3 k2+3?

k2-3 1-3k2 - k2+3 1+3k2 k2-1 ∴直线 l 的斜率为 = , 4k -6k 6k - k2+3 1+3k2 6k k2-1? k2-3 x- 2 ?+ 2 , ∴直线 l 的方程为 y= 4k ? k +3? k +3 k2-1 1 即 y= x- . 4k 2 1? ∴直线 l 过定点? ?0,-2?. 法二:由 AP ·AQ =0 知 AP⊥AQ,从而直线 PQ 与 x 轴不垂直,故可设直线 l 的方程为 y=kx+t(t≠1), y=kx+t, ? ?2 联立得?x 2 ? ? 3 +y =1, 整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则

??? ? ????

- 111 -

-6kt ? ?x +x =1+3k , ? 3?t -1? ?x x = 1+3k , ?
1 2 2 2 1 2 2

(*)

由 Δ=(6kt)2-4(1+3k2)×3(t2-1)>0,得 3k2>t2-1. 由 AP ·AQ =0, 得 AP ·AQ =(x1,y1-1)· (x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)(x1+x2)+(t-1)2=0, 1 将(*)代入,得 t=- . 2 1? ∴直线 l 过定点? ?0,-2?. [类题通法] 定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数 无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意. [演练冲关] x y (2015· 山西联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且|AF| a b =1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交于点 Q,问: 是否存在一个定点 M(t,0),使得 MP · MQ =0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由.
2 2

??? ? ???? ??? ? ????

???? ???? ?

解:(1)由 c=1,a-c=1,得 a=2,∴b= 3, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 3
? ?y=kx+m, (2)由? 2 2 ?3x +4y =12, ?

消去 y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即 m2=3+4k2.

- 112 -

4km 4k 设 P(xp,yp),则 xp=- =- , m 3+4k2 4k 3 ? 4k2 3 yp=kxp+m=- +m= ,即 P? ?- m ,m?. m m ∵M(t,0),Q(4,4k+m),

???? ???? ? 4k 3 - -t, ?, MQ =(4-t,4k+m), ∴ MP =? m? ? m ???? ???? ? 4k 3 4k 2 - -t? · ∴ MP ·MQ = ? (4 - t ) + · (4 k + m ) = t - 4 t + 3 + (t - 1) = 0 恒 成 立 , 故 ? m ? m m
? ?t=1, ?2 即 t=1. ?t -4t+3=0, ?

∴存在点 M(1,0)符合题意. 考点二 定值问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜 率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数的变化而变化,而始终 是一个确定的值. [典题例析] (2014· 江西高考)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任 作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2 .证明:|MN2|2 -|MN1|2 为定值,并求此定值. 证明:(1)依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2- 4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8, y1 直线 AO 的方程为 y= x,BD 的方程为 x=x2. x1 x=x2, ? ? 解得交点 D 的坐标为? y1x2 ? ?y= x1 . 注意到 x1x2=-8 及 x2 1=4y1, y1x1x2 -8y1 则有 y= 2 = =-2, x1 4y1 因此动点 D 在定直线 y=-2(x≠0)上. (2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入 x2=
- 113 -

4y 得 x2=4(ax+b), 即 x2-4ax-4b=0, 由 Δ=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. 2 2 ? 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 N1 +a,2,N2? ?-a+a,-2?, a 2 ?2 2 -a +42-? +a?2=8, 则|MN2|2-|MN1|2=? a ? ? ?a ? 即|MN2|2-|MN1|2 为定值 8. [类题通法] 求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. [演练冲关] (2015· 合肥质检)已知△ABC 的三个顶点(均异于坐标原点 O)都在抛物线 y2=2px(p>0)上, 且抛物线的焦点 F 满足 FA + FB + FC =0,若 BC 边上的中线所在直线 l 的方程为 mx+ny -m=0(m,n 为常数且 m≠0). (1)求 p 的值;
2 2 (2)记△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,求证:S2 1+S2+S3为定值.

??? ?

??? ?

??? ?

解:(1)∵抛物线的焦点 F 满足 FA + FB + FC =0, ∴ AF = FB + FC , 取 BC 边上的中点 M,连接 FM,则 AF =2 FM , 故点 F 在直线 l 上. 在 mx+ny-m=0 中,令 y=0,得 x=1, p 得抛物线的焦点 F(1,0),于是 =1,p=2. 2 (2)证明:记 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), 由 FA + FB + FC =0 知:x1+x2+x3=3, 且 y2 i =4xi(i=1,2,3). 1 2 2 2 2 2 于是 S2 1+S2+S3= (y1+y2+y3)=x1+x2+x3=3, 4
2 2 ∴S2 1+S2+S3为定值 3.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

考点三 存在性问题(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为:假设满足
- 114 -

条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组, 若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参 数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. [典题例析] x y (2014· 重庆高考)如图,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别 a b |F1F2| 为 F1,F2,点 D 在椭圆上,DF1⊥F1F2, =2 2,△DF1F2 的面积 |DF1| 为 2 . 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交 点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明 理由. 解:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0),其中 c2=a2-b2. 由 |F1F2| |F1F2| 2 =2 2,得|DF1|= = c. |DF1| 2 2 2
2 2

由 DF1⊥F1F2, 1 2 2 得 S△DF1F2= |DF1||F1F2|= c2= , 2 2 2 故 c=1,从而|DF1|= 2 , 2

9 3 2 故|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2= ,因此|DF2|= . 2 2 所以 2a=|DF1|+|DF2|=2 2, 故 a= 2,b2=a2-c2=1. x2 因此,所求椭圆的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)如图, 设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 +y2=1 相交, P1(x1, 2 y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2 是圆 C 的切 线,且 F1P1⊥F2P2. 由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2. 由(1)知 F1(-1,0),F2(1,0), 所以 F 1P 1 =(x1+1,y1), F2 P 2 =(-x1-1,y1).
2 再由 F1P1⊥F2P2,得-(x1+1)2+y1 =0.

???? ?

???? ?

- 115 -

x2 1 由椭圆方程得 1- =(x1+1)2, 2 4 即 3x2 1+4x1=0,解得 x1=- 或 x1=0. 3 当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 4 当 x1=- 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C. 3 y1-y0 y1 设 C(0,y0),由 CP1⊥F1P1,得 · =-1. x1 x1+1 1 5 而 y1=|x1+1|= ,故 y0= . 3 3 圆 C 的半径|CP1|=

?-4?2+?1-5?2=4 2. ? 3? ?3 3? 3

5?2 32 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x2+? ?y-3? = 9 . [类题通法] 解决存在性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则 不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径. [演练冲关] (2015· 大庆模拟)设抛物线 C 的方程为 x2=8y,M 为直线 l:y=-m(m>0)上任意一点,过 M 作抛物线 C 的两条切线 MA,MB,切点分别为 A,B. (1)当 M 的坐标为(0,-2)时,求过 M,A,B 三点的圆的标准方程,并判断直线 l 与此圆 的位置关系; (2)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 MA⊥MB?若存在,有几个这样的点; 若不存在,请说明理由. 解:(1)当 M 的坐标为(0,-2)时,设过 M 的切线方程为 y=kx-2,
?x2=8y, ? 联立? 整理得 x2-8kx+16=0,① ? y = kx - 2 , ?

令 Δ=(-8k)2-4×16=0,解得 k=± 1, ∴MA⊥MB, 将 k=± 1 代入方程①得 x=± 4, ∴可取 A(4,2),B(-4,2), ∴点 M 到 AB 的距离为 4,
- 116 -

∴过 M,A,B 三点的圆的圆心为 F(0,2),r=4, ∴圆的标准方程为 x2+(y-2)2=16. 又圆心(0,2)到直线 l:y=-2 的距离 d=4=r,因此,圆与直线 l:y=-2 相切. (2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 上的点为 M(x0,y0),过抛物线上点 A(x1,y1)的切 线方程为 y-y1=k(x-x1), 1 1 ∵y′= x,∴kMA=y′|x=x1= x1, 4 4 x1 从而过抛物线上点 A(x1,y1)的切线方程为 y-y1= (x-x1),又切线过点 M(x0,y0), 4
2 x1 x1 ∴y0= x0- ,即 x2 1-2x0x1+8y0=0, 4 8

同理可得过点 B(x2,y2)的切线方程为 x2 2-2x0x2+8y0=0. x1 x2 ∵kMA= ,kMB= ,且 x1,x2 是方程 x2-2x0x+8y0=0 的两实根, 4 4 x1 x2 y0 ∴x1x2=8

相关文档

  • 【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.2.1 函数
  • 3.1.1随机事件的概率 教案(人教A版必修3)
  • 【测控指导】2018版高中数学人教A必修4课件 2.2
  • 江西省德兴市第一中学_学年高二数学上学期期中
  • 2013高一数学必修1教师用书:第三章 §3 指数函
  • 2018届中考学练测《第5讲第3课时二次函数与相似
  • 山东省临沂市郯城一中2011-2012学年高二英语下
  • 2018-2019年高中数学吉林高一期末考试模拟试题
  • 2013届湖北省襄樊市(襄阳一中、枣阳一中、曾都
  • 2018-2019学年高中数学课下能力提升五空间图形
  • 上海市理工大附中2015_2016学年高一数学上学期
  • 学霸百科
    新词新语
    电脑版 | 学霸百科