江苏省句容市第三中学2015届高三数学上学期 三角函数与解三角形 14正弦定理与余弦定理(2)教学案


正弦定理与余弦定理(2)
【教学目标】通过对正弦定理、余弦定理的运用,培养学生解三角形的能力及运算的灵活性. 【教学重点】运用正弦定理、余弦定理及其它的变形等有关公式解三角形. 【教学难点】正弦定理、余弦定理,判断三角形问题. 【教学过程】 一、知识梳理: 1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理: 正弦定理: 变式:(1)a=2RsinA,b= (3)a∶b∶c= (其中R为△ABC 的外接圆的半径). ,c= ;(2)sinA= ,sinB= ,sinC= ;

a b c ? ? ? ;(4) sin A sin B sin C

(等比性质) .

a 2 ? ____________________________
1.余弦定理: b
2

? ____________________________

c 2 ? ____________________________
2.余弦定理的变式:

cos A ?

; cos B ?

; cos C ?



3.利用余弦定理,我们可以解决以下两类解三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 二、基础自测: 1.在 ?ABC 中, a ? 15, b ? 10, A ? 600 ,则 cos B ? ________. 2.在 ?ABC 中,面积 S ? a 2 ? (b ? c )2 ,则 cos A ? _________. 3.在 ?ABC 中,已知 sin A ? 2sin B cos C ,则该三角形的形状为________. 4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c ,若 (a2 ? c2 ? b2 )tan B ? 3ac ,则角 B 的值为 三、典型例题: 例1.在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ? ) ? 2cos A . 3 6 ? 4 , BC ? 3 ,求 AC . (1)若 cos C ? (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B) ? ,求 sin B . 3 3 5 .

?

1

例 2.?ABC 中, 角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c .已知 A ? (1)求证: B ? C ?

?
4

?
2

, b sin( ? C ) ? c sin( ? B) ? a . 4 4

?

?

反思:



(2)若 a ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

例 3. ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c ,且 2 sin B ? 3cos B . 1 (1)若 cos A ? ,求 sin C 的值;(2)若 b ? 7,sin A ? 3sin C ,求三角形 ABC 的面积. 3

【变式拓展】已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列. (1)若 b=7,a+c=13,求此三角形的面积;

? π? (2)求 3sin A+sin?C- ?的取值范围. 6? ?

2

四、课堂反馈: 1.在 ?ABC 中,若 a ? 2, c ? 4, B ? 600 ,则 b ? .

2.若 ?ABC 的面积为 3,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于________.

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c .c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos B=
2



4. 已知 ?ABC 的一个内角为 1200 , 并且三边长构成公差为 4 的等差数列, 则 ?ABC 的面积为_________.

五、课后作业:

学生姓名:___________

a?b?c 0 ? __________. 1.在 ?ABC 中,若 A ? 60 , a ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C
2.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c .,已知 a,b,c 成等比数列,且 a -c =ac-bc,
2 2

则∠A=________,△ABC 的形状为__________. π 1 3.在 ?ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a= 4 3 9 4.在 ?ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC= 10 5.在 ?ABC 中,∠C=60°,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,则 . .

a b + = b+c c+a

. .

b a tan C tan C 6. 在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c .若 + =6cos C, 则 + 的值是 a b tan A tan B
7.在 ?ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于
2



8. ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c .,asin Asin B+bcos A= 2a,则 = 9.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c ,且 A ? 600 , c ? 3b . (1)求

b a



a 的值; c

(2)求 tan B ? tan C 的值.

3

4 10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A ? , b ? 5c . 5 (1)求 sin C 的值; (2)求 sin(2 A ? C ) 的值; 3 (3)若△ABC 的面积 S ? sin B sin C ,求 a 的值. 2

11.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边分别为 a , b, c ,且 3b2 ? 3c 2 ? 3a 2 ? 4 2bc . ? ? 2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (1)求 sin A 的值; (2)求 1 ? cos2 A

12 .如图,现有一块半径为 2 m ,圆心角为 900 的扇形铁皮 AOB ,欲从其中裁剪出一块内接五边形 ONPQR ,使点 P 在 AB 弧上,点 MN 别在半径 OA 和 OB 上,四边形 PMON 是矩形,点 Q 在弧 AP 上, R 点在线段 AM 上,四边形 PQRM 是直角梯形.现有如下裁剪方案:先使矩形 PMON 的面积 达到最大, 在此前提下, 再使直角梯形 PQRM 的面积也达到最大. (1) 设 ?BOP ? ? ,当矩形 PMON 的面积最大时,求 ? 的值; (2)求按这种裁剪方法的原材料利用率.

4


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