石家庄市2011~2012学年度第一学期期末考试高一数学(B卷答案)

石家庄市 2011~2012 学年度第一学期期末考试

高一数学(B 卷答案)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1-5 DABBA 6-10 CACCA 11-12 DB 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?

3 4

14.

1 1 a- b 2 6
2 2+2

15.

1

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

12 ? 5 , ? ? ( , ?) ,则 cos ? ? ? , ………………3 分 13 2 13 3 ? 4 因为 cos ? ? , ? ? (? , 0) ,则 sin ? ? ? , …………………6 分 5 2 5
解:因为 sin ? ? 所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? -sin ? sin ? ,

?

5 3 12 4 33 ? ? ? = .…………………10 分 13 5 13 5 65

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可知

(a +2b) 3a-b) a 2 +5ab-2b2 =3+10cos ? ? 8 ? 0 .………………3 分 ( ? =3
所以 cos ? ?

1 0 ,所以向量 a 与 b 夹角为 60 . 2
2

(Ⅱ)|a-2b|= (a -2b) …………………9 分

= a 2 -4ab+4b2 = 1-4+16= 13. .…………………12 分
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 x ? =

1 , 2

1 cos 2 x ? 1 1 1 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x , 2 2 2 2 2
2 ? sin(2 x ? ) ,……………4 分 2 4
2 ? ? 2 ? sin(2( x ? ) ? ) ? sin(2 x ? ) .……………6 分 2 4 4 2 4

?

则 g ( x) ?

? ? ? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ???k ? Z …………………9 分 2 4 2 ? ?? ? ? k? ? x ? ? k ???k ? Z 8 8 ? ?? 所以函数 g (x) 的单调递增区间 [? ? k ?? ? k ???? k ? Z .………………12 分 8 8
(Ⅱ)因为 ? 20. (本小题满分 12 分)

?1? 解:依题意 1000 ? ? ? 12 ,…………………4 分 ?2?
所以 t ? 即t ?

t

lg 3 ? 2 lg 2 ? 3 ,…………………8 分 - lg 2

0.4771 ? 2 ? 0.3010 ? 3 ,得 t ? 6.04. ?0.3010
h .…………12 分

所以要使排出的废气中污染物的数量不超过 12 mg / L ,那么至少需要 6.04 21. (本小题满分 12 分)

) 解: (Ⅰ)依题意 f ( x) ? g ( x) = log a ( x +1 + log a (1 ? x) ,
因为 ?

? x +1 ? 0; ………………3 分 ?1 ? x ? 0.

得 ?1 ? x ? 1 , 所以函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域为 ?1 ? x ? 1 .………………6 分 (Ⅱ)对任意的 x ? (?1,1), …………8 分

) 有 f (? x) ? g (? x) = log a (? x+1 + log a (1+x)
= f ( x) ? g ( x) , 所以 f ( x) ? g ( x) 是 (?1,1) 上的偶函数.………………12 分 22. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)证明:任取 x1 , x2 ? ? 0, ?? ? ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e 1 ?
x

1 1 ? (e x2 ? x2 ) x1 e e

(e x1 ? e x2 )(e x1 ? x2 ? 1) = ,…………………2 分 e x1 ? x2
因为 e 1 ? e
x x2

? 0 , e x1 ? x2 ? 1 ? 0 , e x1 ? x2 >0,

? 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即函数 f ( x) 在区间 ? 0, ? ? 上是增函数.………………4 分
(Ⅱ)因为 f (? x) ? e? x ? 所以 f ( x) 为偶函数. 又函数 f ( x) 在区间 [0, ?) 上是增函数,所以函数 f ( x) 在区间 (??, 上是减函数, ? 0] 所以 f ( x)min ? f (0) ? e0 ?

1 1 ? e x ? x ? f ( x) , ?x e e

所以 m ? 2 .……………………7 分
2 2

1 ? 2, e0
2 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 f (2 x ? a ) ? f (3x ? 3ax ? a ? 2) ? 0 , 即 f (2 x ? a )? f (3x ? 3ax ? a ? 2) ,
2 2 2 2

设 y ? 3x ? 3ax ? a ? 2 ,
2 2

? ? 9a 2 ? 12(a 2 ? 2) = ?3a 2 ? 24 ? 0 ,
所以 3x ? 3ax ? a ? 2 ? 0 ,
2 2

因为 2 x ? a ? 0, …………………………9 分
2 2

函数 f ( x) 在区间 [0, ?) 上是增函数, ? 所以要使 f (2 x ? a ) ? f (3x ? 3ax ? a ? 2) ? m ? 2 在 a∈[-1,1]时恒成立,
2 2 2 2

只需 2 x ? a ? 3x ? 3ax ? a ? 2 在 a∈[-1,1]时恒成立,
2 2 2 2

即 g (a) ? 3xa ? x ? 2 ? 0 在 a∈[-1,1]时恒成立.
2

?3 x ? x 2 ? 2 ? 0; ? 因为 ? 解得 {x | x ? ?2或 ? 1 ? x ? 1或x ? 2} . 2 ? ?3 x ? x ? 2 ? 0. ?
所以要使 f (2 x ? a ) ? f (3x ? 3ax ? a ? 2) ? m ? 2 在 a∈[-1,1]时恒成立,
2 2 2 2

实数 x 的取值范围 {x | x ? ?2或 ? 1 ? x ? 1或x ? 2} .…………………12 分


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