福建省泉州市2013届普通中学高中毕业班质量检查文科数学试卷

准考证号________________ 姓名________________ (在此卷上答题无效)
保密★启用前
福建省泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查
文科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
样本数据 x1 、 x2 、…、 xn 的标准差:

s?

1 n

?(

x1

?

x)2

?

( x2

?

x)2

?

??

?

xn

?

x??

?

,其中

x

为样本平均数;

柱体体积公式:V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式:V ? 1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;
3 球的表面积、体积公式: S ? 4? R2 ,V ? 4 ? R3 ,其中 R 为球的半径.
3
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知全集U ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? {1, 2,3}, B ? {0, 2} ,则 A (?U B) 等于

A.?1, 2,3, 4?

B.?0,1, 2,3?

C. ?1, 2?

D.?1,3?

市质检数学(文科) 第 1 页(共 11 页)

2.命题“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是

A. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

B. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

C. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

D. ?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0

3.若直线 l : x ? y ? a ? 0 经过圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为

A. ?1

B.1

C. ?2

D. 2

4.阅读如图所示的程序框图,执行框图所表达的算法,则输出的结果是

A. 2

B. 6

C. 24

D. 48

5.若直线 l 与幂函数 y ? xn 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为

A.12x ? y ?16 ? 0

B. 4x ? y ? 0

C.12x ? y ?16 ? 0

D. 6x ? y ? 4 ? 0

6. 函数 f (x) ? sin x 的图象向左平移 ? 个单位后,所得图象的一条对称轴是 4

A. x ? ? ? 4

B. x ? ? 4

C. x ? ? 2

D. x ? 3? 4

7.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0? 的两个焦点恰为椭圆

x2 4

?

y2

? 1的两个顶点,且离心率

为 2,则该双曲线的标准方程为

A. x2 ? y2 ? 1 3

B. x2 ? y2 ? 1 4 12

C. x2 ? y2 ? 1 3

D. x2 ? y2 ? 1 12 4

8.某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示,则该几何体的表面积为

A.20 ? 4 2

B. 24

C.24 ? 4 2

D. 28

9.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f (x) ? (xa ? b)2 ( x ?R )

A. 既是奇函数又是偶函数

B. 既不是奇函数也不是偶函数

C. 是偶函数

D. 是奇函数

10.给出以下四个说法:

①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品

进行某项指标的检测 ,这样的抽样是分层抽样;

市质检数学(文科) 第 2 页(共 11 页)

②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R2 的值越大,说明拟合的效果越好;

③在回归直线方程 y? ? 0.2x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y? 平均增加

0.2 个单位; ④对分类变量 X 与Y ,若它们的随机变量 K 2 的观测值 k 越小,则判断“ X 与Y 有关系”的

把握程度越大.

其中正确的说法是

A.①④

B.②④

C.①③

D.②③

11.对于定义域为 R 的函数 f (x) ,若存在非零实数 x0 ,使函数 f (x) 在 (??, x0 ) 和 (x0 , ??) 上均

有零点,则称 x0 为函数 f (x) 的一个“界点”.则下列四个函数中,不存在“界点”的是

A. f (x) ? x2 ? bx ?1(b ? R)

B. f (x) ? 2x ? x2

C. f (x) ? 2 ? x ?1

D. f (x) ? sin x ? x

12.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前 5-6 世纪)提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.” 这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所 截,如果截得的两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等.
设:由曲线 x2 ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转

体为 ?1 ;由同时满足 x ? 0 , x2 ? y2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的点 (x, y)

构成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?2 .根据祖暅原理等知识,通过考察 ?2 可

以得到 ?1 的体积为

A.16?

B. 32?

C. 64?

D.128?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置.

13.已知 (a ? i)i ? ?1? 2i ( a ?R , i 是虚数单位),则 a 的值为



市质检数学(文科) 第 3 页(共 11 页)

?x ? y ?1 ? 0,

14.已知

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

0,

则 z ? x ? 2 y 的最大值为



??x ? 3,

15.在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 sin2 A ? sin2 B ? 2sin B ?sin C ,c ? 3b ,

则角 A 的值为



16.利用计算机随机模拟方法计算 y ? x2 与 y ? 4 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行以下算

法步骤:
第一步:利用计算机产生两个在 0 1区间内的均匀随机数 a, b ;

第二步:对随机数

a,

b

实施变换:

??a1 ?

? b1

4?a ? ? 4b,

2,

得到点

A

?a1,

b1

?



? ? 第三步:判断点 A a1,b1 的坐标是否满足 b1 ? a12 ;

第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a12 的点 A 的个数 n ;

第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并终止算
法.
若设定的 M ?100 ,且输出的 n ? 34 ,则据此用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面积为
(保留小数点后两位数字). 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
等差数列{an}中, a3 ? 3 , a1 ? a4 ? 5 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若 bn

?

an

1 ? an?1

,求数列{bn}的前 n

项和 Sn



18.(本小题满分 12 分)
为了解某社区家庭的月均用水量(单位:吨),现从该社区随机抽查100 户,获得每户某年的
月均用水量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图).
市质检数学(文科) 第 4 页(共 11 页)

(Ⅰ)分别求出频率分布表中 a、b 的值,并估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率; (Ⅱ)设 A1 、 A2 、 A3 是户月均用水量为[0, 2) 的居民代表, B1 、 B2 是户月均用水量为[2, 4]
的居民代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会,请列举出所有不同的
选法,并求居民代表 B1 、 B2 至少有一人被选中的概率.
19.(本小题满分 12 分)
如图,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与圆 x2 ? y2 ? 1相切. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若点 A、B 在抛物线 C 上,且 FB ? 2OA ,求点 A 的坐标.
20.(本小题满分 12 分)
已知 O 为坐标原点,对于函数 f (x) ? a sin x ? b cos x ,称向量 OM ? (a, b) 为函数 f (x) 的 伴随向量,同时称函数 f (x) 为向量 OM 的伴随函数.
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(Ⅰ)设函数

g(x)

?

sin(

? 2

?

x)

?

2

cos

? ??

? 2

?

x

? ??

,试求

g(x)

的伴随向量 OM

的模;

(Ⅱ)记 ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h(x) ,求使得关于 x 的方程 h(x) ? t ? 0 在[0, ? ] 内恒有 2

两个不相等实数解的实数 t 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)
如图,E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A 、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所 在的平面,且 AB ? 2AD ? 2 . (Ⅰ)求证: EA ? EC ; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F .
①试证: EF / / AB ; ②若 EF ?1,求三棱锥 E ? ADF 的体积.

22.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? 3e x ? a ( e ? 2.71828 …是自然对数的底数)的最小值为 3 . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)已知 b ?R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf (x) ? ln3 ? x2 ? (2b ?1)x ? 3b2 ; ( Ⅲ ) 已 知 m? Z 且 m ? 1 . 若 存 在 实 数 t ?[ ?1, ? ?), 使 得 对 任 意 的 x ?[1,m ], 都 有
f (x ? t) ? 3ex ,试求 m 的最大值.
泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考
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生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.

二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如

果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.

三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分.

1. D 2.C 3.B 4.B 5. A 6. B

7. A 8.A 9.C 10.D 11.D 12.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分.

13. ?2

14.11

15. ? 3

16.10.56 .

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想

等. 满分 12 分.

解:(Ⅰ)设数列 {an }

的公差为

d

,由

? ??a1

a1 ? ? (a1

2d ? 3, ? 3d ) ?

…………………………
5.

2分

解得

??? ad1

? 1, ? 1.

………………………… 4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1? (n ?1) ?1 ? n . ………………………… 6 分

(Ⅱ)因为 an

? n ,所以 an?1

? n ?1, bn

?

1 n(n ?1)

?

1 ? 1 ,…………………… n n ?1

9分

所以 Sn

? (1? 1) ? (1 ? 1) ? (1 ? 1) ? ??? ? (1 ? 1 )

2 23 34

n n ?1

?1?

1? n ?1

n .…… n ?1

12 分

18.本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识,考查数据处理

能力、运算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分.

解:(Ⅰ)由频率分布直方图可得 a ? 0.5?0.5 ? 0.25,…………… 2 分

∴月均用水量为[1.5, 2) 的频数为 25.

故 2b ?100 ?92 ? 8 ,得 b ? 4 .

………………………… 4 分

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由频率分布表可知,户月均用水量不超过 3 吨的频率为 0.92 , ……… 5 分 根据样本估计总体的思想,估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率为 0.92 . ……… 6 分 (Ⅱ)由 A1 、 A2 、 A3 、 B1 、 B2 五代表中任选 2 人共有如下10 种不同选法,分别为:

( A1,A2 ) , ( A1,A3 ) , ( A1,B1) , ( A1,B2 ) , ( A2,A3 ) , ( A2,B1) , ( A2,B2 ) ,

( A3,B1) , ( A3,B2 ) , (B1,B2 ) . ………………………… 8 分

记“ B1 、B2 至少有一人被选中”的事件为 A ,事件 A 包含的基本事件为:( A1,B1) ,

( A1,B2 ) , ( A2,B1) , ( A2,B2 ) , ( A3,B1) , ( A3,B2 ) , (B1,B2 ) ,共包含 7

个基本事件数.

……………… 10 分

又基本事件的总数为10 ,所以 P( A) ? 7 . 10

即居民代表

B1



B2

至少有一人被选中的概率为

7 10

.

…………………… 12 分

19.本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能

力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分.
解:(Ⅰ)依题意,可设抛物线 C 的方程为 x2 ? 2 py( p ? 0) ,

其准线 l 的方程为 y ? ? p . 2
∵准线 l 与圆 x2 ? y2 ? 1相切,

………………………… 2 分

∴所以圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? 0 ? (? p ) ? 1,解得 p ? 2 . ……… 4 分 2

故抛物线 C 的方程为: x2 ? 4 y . ………………………… 5 分

(Ⅱ)设

A( x1 ,

y1 )



B(x2 ,

y2 )

,则

? ? ?

x12 x22

? ?

4 y1, 4 y2.

…………①

…………………… 6 分

∵ F(0,1) , FB ? (x2, y2 ?1) , OA ? (x1, y1) , FB ? 2OA ,

∴ (x2 , y2 ?1) ? 2(x1, y1) ? (2x1, 2 y1) ,

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? ? ?

x2 y2 ?

? 2

2x1, y1 ?1.

…………②

………………… 9 分

②代入①,得 4x12 ? 8 y1 ? 4 , x12 ? 2 y1 ?1 ,



x12

?

4 y1

,所以

4 y1

?

2 y1

?1 ,解得

y1

?

1 2



x1

?

?

2,

即 A( 2, 1) 或 (? 2, 1) .

2

2

………………………… 12 分

20.本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查

化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等.

解:(Ⅰ)∵

g(x)

?

sin( ? 2

?

x)

?

2

cos

? ??

? 2

?

x

? ??

?

2sin

x

? cos

x



……………… 2 分

∴ OM ? (2,1) .

………………………… 4 分

故 OM ? 22 ?12 ? 5 .

……………………… 5 分

(Ⅱ)由已知可得 h(x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin(x ? ? ) ,……………………… 7 分 3

∵ 0 ? x ? ? , ∴ ? ? x ? ? ? ?? ,

2

3

36

故 h(x)??1,2? .

……………………… 9 分

∵当

x

?

???0,

? 6

? ??

时,函数

h(x)

单调递增,且

h(x)

?

??

3, 2?? ;



x

?

? ??

? 6

,

? 2

? ??

时,函数

h(x)

单调递减,且

h(x)

??1,

2?

.

∴使得关于 x 的方程 h(x) ? t ? 0 在 [0, ? ] 内恒有两个不相等实数解的实数 t 的取值 2

? 范围为 t ? ?? 3, 2 .

… 12 分

21.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识,考查空间想象 能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分.
解:(Ⅰ)∵平面 ABCD ? 平面 ABE , 面 ABCD 面 ABE ? AB , BC ? AB , BC ?面 ABCD ,
∴ BC ? 面 ABE . ………………………… 2 分
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又∵ AE ?面 ABE ,∴ BC ? AE .

………………………… 3 分

∵ E 在以 AB 为直径的半圆上,∴ AE ? BE ,

又∵ BE BC ? B , BC、BE ? 面 BCE ,∴ AE ? 面 BCE .…………… 4 分

又∵ CE ? 面 BCE ,∴ EA ? EC .

……………………… 5 分

(Ⅱ)① ∵ AB / /CD , AB ? 面 CED , CD ? 面 CED ,

∴ AB / / 平面 CED .… 6 分

又∵ AB ? 面 ABE ,平面 ABE 平面 CED ? EF ,

∴ AB / /EF .

……………… 8 分

②取 AB 中点 O , EF 的中点 O ' ,

在 RT?OO' F 中, OF ? 1, O ' F ? 1 ,∴ OO ' ? 3 .

2

2

(Ⅰ)已证得 BC ? 面 ABE ,又已知 AD / /BC , ∴ AD ? 平面 ABE .…………… 10 分

故VE? ADF

? VD?AEF

?

1 3

?

S?AEF

? AD

?

1 ? 1 ? EF ?OO '? AD ? 32

3 12



… 12 分

22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分.
解:(Ⅰ)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f (x) ? 3e x ? a ? 3e0 ? a ? 3 ? a ,

因为函数 f (x) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 .

……………… 3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, f (x) ? 3e x . 当 x ? 0 时, ln f (x) ? ln(3e x ) ? ln 3? ln e x ? ln 3? x ? ?x ? ln 3 ,……… 5 分

故不等式 ln

f

(x) ? ln 3

?

x2

? (2b

? 1) x

? 3b2

可化为: ?x

?

x2

2
? (2b ?1)x ?3b



即 x2 ? 2bx ? 3b2 ? 0 , 得 (x ? 3b)(x ? b) ? 0 ,

……………… 6 分

所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ; 当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b . …………… 8 分
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(Ⅲ)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ?[1, m]时, x ? t ? 0 ,

∴ f (x ? t) ? 3ex ? ex?t ? ex ? t ? 1? ln x ? x .

∴原命题等价转化为 :存在实数 t ?[?1, ??) ,使得不等式 t ?1? ln x ? x 对任意

x ?[1,m ]恒成立. …………… 10 分

令 h(x) ?1? ln x ? x(x ? 0) . ∵ h' (x) ? 1 ?1 ? 0,∴函数 h(x) 在 (0, ??) 为减函数. …………… 11 分
x 又∵ x ?[1, m],∴ h(x)min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m . …………… 12 分

∴要使得对 x ?[1, m], t 值恒存在,只须1? ln m ? m ? ?1.………… 13 分



h(3)

?

ln

3

?

2

?

ln(1 e

?

3) e

?

ln

1 e

?

?1



h(4)

?

ln

4

?

3

?

ln(1 e

?

4 e2

)

?

ln

1 e

?

?1

且函数 h(x) 在 (0, ??) 为减函数,

∴满足条件的最大整数 m 的值为 3.…… 14 分

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