高考数学总复习 3-1 角的概念推广、弧度制及任意角的三角函数课件 北师大版_图文

第一节 角的概念推广、弧度制及任意角的三角函数 ?目标定位 ?学习指向 1.主要考查对三角函数定义的理解和 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能 进行弧度与角度的互化. 运用,如三角函数值符号的选取及基 本运算能力. 2.在高考中会结合三角函数的其他知 识进行考查,一般不会单独命题. 3.考查题型多为选择题或填空题. 3.理解任意角三角函数(正 弦、余弦、正切)的定义. 一、任意角 1.角的概念的推广 (1)按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、 零角 . (2)按终边位置不同分为 象限角 2.终边相同的角 与角 α 终边相同的角的集合可写成{β|β=k· 360° +α,k∈Z}. 和 象限界角 . 3.象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示 π {α|2kπ<α<2kπ+ ,k∈Z} 2 π {α|2kπ+ <α<2kπ+π,k∈Z} 2 3π {α|2kπ+π<α<2kπ+ ,k∈Z} 2 3π {α|2kπ+ <α<2kπ+2π,k∈Z} 2 1.与 610° 角终边相同的角可表示为( A.k· 360° +230° , k∈ Z C.k· 360° +70° , k∈ Z ) B.k· 360° +250° , k∈ Z D.k· 360° +270° , k∈ Z 解析:由于 610° =360° +250° ,所以 610° 与 250° 角的终边相同. 答案:B 2.如果角 α 是第三象限角,则α,π?α,π+α 角的终边分别落 在第______,______,______象限. 3π 解析:π+2kπ<α< +2kπ(k∈Z), 2 3π ∴- -2kπ<-α<-π-2kπ(k∈Z), 2 π 即 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z).① 2 ∴-α 角终边在第二象限. 又由①各边都加上 π,得 3π +2kπ<π-α<2π+2kπ(k∈Z). 2 ∴π-α 是第四象限角. 同理可知,π+α 是第一象限角. 答案:二 四 一 二、弧度制 1.1 弧度的角 我们规定,在单位圆中长为 1 个单位长度的弧所对应的圆心角 称为 1 弧度的角 .单位符号是 rad ,读作 弧度 .这种以弧度作为 单位来度量角的单位制,叫作 弧度制 . 2.角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l,那么角 α 的弧度 l 数的绝对值是|α|= r . 3.角度与弧度的换算 (1)1° = π 180 rad;(2)1 rad= ( )°. 180 π 4.弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 r.又 l=rα,则 1 1 扇形的面积为 S= l· r = αr2 . 2 2 3.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为 ( ) π A. 3 C. 3 2π B. 3 D.2 解析:设圆半径为 R,则其内接正三角形的边长为 3R,于是圆 心角的弧度数为 答案:C 3R = 3. R 4 .弧长为 3π,圆心角为 135° 的扇形半径为 ______ ,面积为 ______. 3 解析:弧长 l=3π,圆心角 α= π, 4 l 3π 由弧长公式 l=α· r 得 r=α= =4, 3 π 4 1 面积 S= lr=6π. 2 答案:4 6π 一、任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(u, v),那么 定义 v 叫做 α 的正 u 叫做 α 的余 v u 叫做 α 的正 切,记作 tan α 正 负 正 负 弦,记作 sin α 弦,记作 cos α 各 象 限 符 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 正 正 负 负 正 负 负 正 号 口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦 终边相同 角的三角 函数值(k ∈Z)(公 式一) sin(α+k·2π)= sin α cos(α+k·2π)= cos α tan(α+k·2π)= tan α 三角函 数线 有向线段 MP 为正 有向线段 OM 为 有向线段 AT 为 弦线 余弦线 正切线 aπ 5.(2011 年山东)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan 的值 6 x 为( ) A.0 C.1 a B. 3 3 D. 3 aπ π 解析:由题意可知 9=3 ,由此得 a=2,tan =tan = 3. 6 3 答案:D 6.(2012 年北京东城区质检)若点 A(x,y)是 300° 角终边上异于 y 原点的一点,则 的值为______. x y 解析:x=tan 300° =-tan 60° =- 3. 答案:- 3 考点一 象限角及终边相同的角 (1)如果 α 是第三象限的角,那么-α,2α 的终边落在何 处? (2)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (3)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π]内终边与 角的 7 3 终边相同的角. 【思路点拨】 (1)写出 α 的范围,写出-α,2α 的范围再判断终 边的位置; (2)写出 0° ~360° 内的角,再表示出终边相同的角; (3)写出终边相同角的集合,再求[0,2π]内的角. 【自主试解】 3π (1)由 α 是第三象限的角得 π+2kπ<α< +2kπ 2 3π ?- -2kπ<-α<-π-2kπ. 2 π 即 +2kπ<-α<π+2kπ(k∈Z). 2 ∴角-α 的终边在第二象限; 3π 由 π+2kπ<α< +2kπ 2 得 2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. π (2)在(0,π)内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为{α|α=

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