北京市海淀区高三数学5月期末练习(二模)试题理

北京市海淀区 2019 届高三数学 5 月期末练习(二模)试题 理
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
(1)已知集合 A ? ?x 1 ? x ? 5?, B ? ?x 3 ? x ? 6? ,则 A B ?

(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]

(2)复数 z ? a ? i(i ? R) 的实部是虚部的 2 倍,则 a 的值为

(A) ? 1 2

(B) 1 2

(C) -2 (D)2

(3,若直线

l



? ? ?

x ?1?t y ? 2 ? at

( t 为参数),经过坐标原点,则直线 l 的斜率是

(A) -2

(B) -1 (C)1 (D)2

(4)在 (x ? 2)5 的展开式中, x2 的系数是

(A) -80 (B) -10 (C)5 (D) 40

(5)把函数 y ? 2x 的图象向右平移 t 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为 y ? 2x ,则 3

t 的值为

(A) 1 2

( B) log2 3 (C) log3 2 (D) 3

(6)学号分别为 1,2,3,4 的 4 位同学排成一排,若学号相邻的同学不相邻,则不同的排法

种数为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(7)已知函数 f (x) ? sin?x(? ? 0) ,则“函数 f (x) 的图象经过点( ? ,1)”是“函数 f (x) 4

的图象经过点( ? , 0 )”的 2

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(8)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 P 是对角线 AC1 上的动点(点 P

与 A,C1 不重合).则下面结论中错误的是

(A)存在点 P ,使得平面 A1DP ∥平面 B1CD1

(B)存在点 P ,使得 AC1 ? 平面 A1DP

1

(C) S1, S2 分别是△ A1DP 在平面 A1B1C1D1,平面 BB1C1C 上 的正投影图形的面积,对任意点 P , S1 ? S2

(D)对任意点 P ,△ A1DP 的面积都不等于

2 6

第二部分(非选择题共 1 10 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
(9)已知直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ? ( 10)已知函数 f (x) ? (x ? t)(x ? t)2 是偶函数,则 t ?

, l1 与 l2 之间的距离为

( 11)若数列?an? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n , n ? 1, 2,3,..., 则满足 an ? 0 的 n 的最小值为
(12)已知圆 C : (x ?1)2 ? y2 ? 4 与曲线 y ? x ?1 相交于 M , N 两点,则线段 MN 的长度为

(13)在矩形 ABCD中, AB ? 2, BC? 1,点 E 为 BC 的中点,点 F 在线段 DC 上.若

AE ? AF ? AP,且点 P 在直线 AC 上,则 AE AF ?

? ? (14) 已 知 集 合 A0 ? x 0 ? x ? 1 . 给 定 一 个 函 数 y ? f (x) , 定 义 集 合

? ? An ? y y ? f (x), x ? An?1

若 An An?1 ? ? 对 任 意 的 n ? N* 成 立 , 则 称 该 函 数

y ? f (x) 具有性质“ ”.

(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是



(Ⅱ)给出下列函数:① y ? 1 ;② y ? x2 ?1;③ y ? cos(? x) ? 2 ,其中具有性质“9”

x

2

的函 数的序号是____.(写出所有正确答案的序号) 、、···¨

三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ( 15)(本小题满分 13 分)
在 ?ABC 中, a ? 7,b ? 8, A ? ? . 3
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 是钝角三角形,求 BC 边上的高.
(16)(本小题满分 13 分) 某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐
连锁店提供了两种日工资方案:方案(1)

2

规定每日底薪 50 元,快递业务每完成一单 提成 3 元;方案(2)规定每日底薪 100 元, 快递业务的前 44 单没有提成,从第 45 单 开始,每完成一单提成 5 元,该快餐连锁店 记录了每天骑手的人均业务量,现随机抽取 100 天的数据,将样本数据分为[ 25,35),
[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所 示的频率分布直方图。
、、···¨
(Ⅱ)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概 率;
(Ⅱ)从以往统计数据看,新聘骑手选择日工资方案(1)的概率为 1 选择方案(2)的概率 3,
为 2 .若甲、乙、丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘,三人选择日工资方案相互独 3
立,求至少有两名骑手选择方案(1)的概率; (Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资 方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
、、···¨

( 17)(本小题满分 14 分)
如图 1 所示,在等腰梯形 ABCD , BC ∥ AD , CE ? AD ,垂足 为 E , AD ? 3BC ? 3, EC ? 1.将 ?DEC 沿 EC 折起到 ?D1EC 的位置,
使平面 ?D1EC ? 平面 ABCE ,如图 2 所示,点 G 为棱 AD1 上一个动点。
(Ⅱ)当点 G 为棱 AD1 中点时,求证: BG ∥平面 D1EC t
(Ⅱ)求证: AB ?平面 D1BE ;

(Ⅲ)是否存在点 G ,使得二面角 G ? BE ? D1的余弦值为

6? 3

若存在,求出 AG 的长;若不存在,请说明理由.

(18)(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

x2 4

?

y2 b2

? 1 的左顶点

A 与上顶点 B 的距离为

6.

3

(Ⅱ)求椭圆 C 的方程和焦点的坐标; (Ⅱ)点 P 在椭圆 C 上,线段 AP 的垂直平分线与 y 轴相交于点 Q ,若 ?PAQ 为等边三 角形,求点 P 的横坐标.

(19)(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? eax (x2 ? a ? 2), ,其中 a ? 0 . a
(Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角;
(Ⅱ)若函数 f (x) 的极小值小于 0,求实数 a 的取值范围.

( 20)(本小题满分 13 分)
对于给定的奇数 m, (m ? 3) ,设 A 是由 m ? m 个数组成的 m 行 m 列的数表,数表中第

i 行,第 j 列的数 aij ??0,1? ,记 c(i) 为 A 的第 i 行所有数之和, r( j) 为 A 的第 j 列所有数

? ? 之和,其中 i, j ? 1, 2,..., m

. 、、···¨

对于 i, j ??1,2,..., m? ,若 maij ? c(i)

?m且 2

j

?

m 同时成立,则称数对 (i, j) 2

为数表 A 的一个“好位置”

(Ⅱ)直接写出右面所给的 3?3 数表 A 的所有的“好位置”;

(Ⅱ)当 m ? 5 时,若对任意的1? i ? 5 都有 c(i) ? 3 成立,求数表

A 中的“好位置”个数的最小值; (Ⅲ)求证:数表 A 中的“好位置”个数的最小值为 2m ? 2 .

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数 学 (理科)

2019.05

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1. B 2. D 3.D 4. A 5. B 6. A 7. A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

8. C 、、···¨

9. ?1, 2 12. 2 2

10. 0,1
13. 5 2

11. 5
14. y ? x ?1(答案不唯一),

4



② 、、···¨

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.

(15)(共 13 分)

解:(Ⅰ)在 △ABC 中,因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? ? ,
3

所以由正弦定理 sin B ? sin A

b

a

得 sin B ? bsin A ? 8 ? 3 ? 4 3 . a 72 7

(Ⅱ)方法 1:

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

得 49 ? 64 ? c2 ? 2?8? c ? 1 2

即 c2 ? 8c ?15 ? 0 ,解得 c ? 5 或 c ? 3

因为 b ? a,b ? c ,所以 ?B 为△ABC 中最大的角,
当 c ? 5 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 ,与△ABC 为钝角三角形矛盾,舍掉 2ac
当 c ? 3 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 , △ABC 为钝角三角形, 2ac
所以 c ? 3

设 BC 边上的高为 h ,所以 h ? csin B ? 12 3 7
方法 2:

因为 b ? a ,所以 B ? A ? π ,所以 C ? π ,

3

3

所以 ?B 为 △ABC 中最大的角

因为 △ABC 为钝角三角形,所以 B 为钝角

因为 sin B ? 4 3 ,所以 cos B ? ? 1

7

7

所以 sinC ? sin(A ? B)

? sin Acos B ? cos Asin B ?3 3
14

设 BC 边上的高为 h ,所以 h ? bsin C ? 12 3 7

5

16.(共 13 分)

解:(Ⅰ) 设事件 A为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少

于 65单”

依题意,连锁店的人均日快递业务量不少于 65单的频率分别为:0.2,0.15,0.05

因为 0.2 ? 0.15 ? 0.05 ? 0.4

所以 P(A) 估计为 0.4 .

(Ⅱ) 设事件 B 为“甲、乙、丙三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)”

设事件 Ci 为“甲乙丙三名骑手中恰有 i(i ? 0,1, 2,3) 人选择方案(1)”,

则 P(B) ? P(C2 ) ? P(C3)

?

C32

(1)2 ( 2)1 33

?

C33

(1)3 3

?

6 27

?

1 27

?

7 27

所以三名骑手中至少有两名骑手选择方案(1)的概率为 7 27

(Ⅲ)方法 1:

设骑手每日完成快递业务量为 X 件

方案(1)的日工资 Y1 ? 50 ? 3X ( X ? N*) ,

方案(2)的日工资 Y2

?

??100, X ? 44, X ? N* ? ??100 ? 5(X ? 44), X ?

44,

X

? N*

所以随机变量Y1 的分布列为

Y1 所 140

170

200

230

260

290

320



P

0.05 0.05 0.2

0.3

0.2

0.15 0.05

EY1 ?140? 0.05 ?170? 0.05 ? 200? 0.2 ? 230? 0.3

?260?0.2 ? 290?0.15 ? 320?0.05 ? 236

同理随机变量 Y2 的分布列为

Y1

100 130 180 230 280 330

6

P

0.1

0.2

0.3

0.2

0.15 0.05

EY2 ?100? 0.1?130? 0.2 ?180? 0.3 ? 230? 0.2 ? 280? 0.15 ? 330? 0.05

? 194.5

因为 EY1 ? EY2 ,所以建议骑手应选择方案(1)
方法 2: 快餐店人均日快递量的期望是:

30?0.05 ? 40?0.05 ? 50?0.2 ? 60?0.3? 70?0.2 ?80?0.15 ? 90?0.05 ? 62 因此,方案(1)日工资约为 50 ? 62?3 ? 236

方案 2 日工资约为100 ? ?62 ? 44? ? 5 ? 190 ? 236

故骑手应选择方案(1)

7

17.(共 14 分)

解: (Ⅰ) 方法 1:

在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F ,

因为 CE ? AD,所以 BF EC

又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3

所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ?1, F 为 AE 中点

在图 2 中,连结 GF

D1EC ,

因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF D1E 又因为 BF EC, GF BF ? F , GF,BF ? 平面 BFG , D1E, EC ? 平面
所以平面 BFG 平面 CED1

又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 平面 D1EC 方法 2:

在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F

因为 CE ? AD,所以 BF EC

又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3

所以四边形 BCEF 为正方形 , F 为 AE 中点

在图 2 中,连结 GF

因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF D1E 又 D1E ? 平面 D1EC , GF ?平面 D1EC 所以 GF 平面 D1EC 又因为 BF EC , EC ? 平面 D1EC , BF ? 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC 又因为 GF BF ? F

所以平面 BFG 平面 D1EC

又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 平面 D1EC 方法 3:

在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F ,

因为 CE ? AD,所以 BF EC

又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3

8

所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ?1,得 AE ? 2

所以 BC AE,BC= 1 AE 2

在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点,连结 MG,MC , 因为点 G 是 AD1 的中点,

所以 GM 所以 GM

AE,GM = 1 AE 2
BC,GM =BC ,所以四边形 MGBC 为平行四边形

所以 BG CM

又因为 CM ? 平面 D1EC , BG ?平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC

(Ⅱ)因为平面 D1EC ? 平面 ABCE ,

平面 D1EC 平面 ABCE ? EC ,

D1E ? EC, D1E ? 平面 D1EC ,

所以 D1E ? 平面 ABCE 又因为 AB ? 平面 ABCE

所以 D1E ? AB

又 AB ? 2, BE ? 2, AE ? 2 ,满足 AE2 ? AB2 ? BE2 ,

所以 BE ? AB

又 BE D1E ? E

所以 AB ? 平面 D1EB

(Ⅲ)因为 EA, EC, ED1 三线两两垂直,如图,建立空间直角坐标系 E ? ACD1 ,

所以 A(2,0,0) , D1(0,0,1) , B(1,1, 0) , AD1 ? (?2,0,1), EB ? (1,1,0) .

假设存在点 G 满足题意,

A

设 AG ? ? AD1,0 ? ? ? 1,则 AG ? ?(?2,0,1) ,

B

所以 EG ? EA ? AG ? (2,0,0) ? ?(?2,0,1) ? (2 ? 2?,0, ?)

D1
E C

设平面 GBE 的法向量为 m ? (a,b,c) ,

所以

??EB ? m ? ??EG ? m

? ?

0 0

,即

?a ? b ? ??(2 ? 2?

0 )a

?

?c

?

0

取 a ? ? ,则 m ? (?,??,2? ? 2) ,

9

由(Ⅱ), AB ? (?1,1,0) 为平面 BED1 的法向量,

令 cos ? AB, m ? ? AB ? m ?

?2?

?6

AB m 2 ? 2?2 ? (2? ? 2)2 3

解得 ? ? 2 或 ? ? 2 (舍)
3

所以存在点 G ,使得二面角 G ? BE ? D1的余弦值为

6 3

,且

AG

?

2 3

AD1



得 AG ? 2 5 . 3

10

18.(共 13 分)

解:(Ⅰ)依题意,有 4 ? b2 ? 6

所以 b2 ? 2 所以椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1
42 所以 c ? 4 ? 2 ? 2 ,

焦点坐标分别为 F1(? 2,0), F2 ( 2,0),

(Ⅱ)方法 1:

设 P(x0 , y0 )

,则

x02 4

?

y02 2

? 1,且

A(?2,0),

若点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点, AP ? 4, AQ ? 6 ,△ PAQ

不是等边三角形,不合题意,所以 x0 ? ?2, y0 ? 0 . 设线段 PA中点为 M ,所以 M ( x0 ? 2 , y0 )
22 因为 PA ? MQ ,所以 kPA ? kMQ ? ?1

因为直线

PA 的斜率

k Ap

?

y0 x0 ?

2

所以直线

MQ

的斜率 kMQ

?

?

x0 ? y0

2

又直线 MQ 的方程为 y ? y0 ? ? x0 ? 2 (x ? x0 ? 2)

2

y0

2



x

?0

,得到

yQ

?

y0 2

?

( x0

?

2)( x0 2 y0

? 2)

因为 x02 ? y02 ? 1 42

所以

yQ

?

?

y0 2

因为 △PAQ 为正三角形,

所以| AP |?| AQ | ,即

(x0 ? 2)2 ? y02 ?

22 ? y02 4

11

化简,得到 5x02

?

32x0

? 12

?

0 ,解得

x0

?

?

2, 5

x0

?

?6

(舍)

即点 P 的横坐标为 ? 2 . 5

方法 2:

设 P(x0, y0 ) ,直线 AP 的方程为 y ? k(x ? 2) .

当 k ? 0 时,点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点, AP ? 4, AQ ? 6 ,

△ PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以 k ? 0 .

? x2

联立方程

? ?

4

?

y2 2

?1

?? y ? k(x ? 2)

消元得 (1? 2k 2 )x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0

所以 ? ?16 ? 0

所以

x0

?

(?2)

?

?8k 2 1? 2k 2

设线段

PA 中 点 为

M

,所以

xM

?

x0 ? 2 2

?

?4k 2 , ?1 k 2 2

yM

?

k

?4k 2 ( 1? 2k

2

?

2)

?

1

2k ? 2k

2

所以 M ( ?4k 2 , 2k ) 1? 2k 2 1? 2k 2

因为

AP

?

MQ

,所以

KMQ

?

?

1 k

所以直线 MQ 的方程为 y ?

2k

1

?4k 2

? ? (x ?

)

1? 2k 2 k 1? 2k 2



x

? 0 ,得到

yQ

?

1

2k ? 2k

2

?

1 k

?

1

4k 2 ? 2k

2

?

1

?2k ? 2k

2

因为 △PAQ 为正三角形, 所以| AP |?| AQ |

所以

1? k2

4 ? 1? 2k 2

?

4

?

( 1

?2k ? 2k

2

)2

化简,得到 4k4 ? k2 ? 3 ? 0 ,解得 k 2 ? 3 , k 2 ? ?1(舍) 4

所以

x0

?

?4k 2 ? 2 1? 2k 2

?

?

2 5



即点 P 的横坐标为 ? 2 . 5

12

方法 3: 设 P(x0 , y0 ) ,
当直线 AP 的斜率为 0 时,点 P 为右顶点,则点 Q 为上(或下)顶点,

AP ? 4, AQ ? 6 ,△ PAQ 不是等边三角形,不合题意,所以直线 AP 的

斜率不为 0. 、、···¨
设直线 AP 的方程为 x ? ty ? 2

联立方程

? x2 ?

?

y2

?1

?4 2

??x ? ty ? 2

消元得, (t2 ? 2) y2 ? 4ty ? 0

所以

y0

?

4t t2 ?

2

设线段 PA中点为 M

所以

yM

?

t

2t 2?

2

,

xM

?

?4 , t2 ? 2

所以

M

(

t

?4 2?

2

,

t

2t 2?

2

)

因为

AP

?

MQ

,所以 kMQ

?

?

1 k

所以直线

MQ

的方程为

y

?

t

2t 2?

2

?

?t(x

?

t

?4

2

?

) 2



x

? 0 ,得到

yQ

?

?2t t2 ? 2

因为 △PAQ 为正三角形, 所以| AP |?| AQ |

所以

1?

t2

?

| 4t t2 ?

| 2

?

4

?

(

t

2t 2?

2

)2

化简,得到 3t4 ? t2 ? 4 ? 0 ,解得 t2 ? 4 ,t2 ? ?1 (舍) 3

所以

x0

?

2t2 ? 4 t2 ? 2

?

?

2 5



即点 P 的横坐标为 ? 2 5

13

19.(共 14 分) 解:(Ⅰ)因为 f (x) ? ea x (x2 ? a ? 2) ,所以 f '(x) ? ea x (ax2 ? 2x ? (a ? 2)) a 所以 f '(1) ? 0

所以曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处切线的倾斜角为 0

(Ⅱ)方法 1:

因为 f '(x) ? ea x (ax2 ? 2x ? (a ? 2)) ? ea x (ax ? (a ? 2))(x ?1)



f

?( x)

?

0

,得到

x1

?

?

a

? a

2,

x2

?1

当 a ? 0 时, x , f '(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, x1)

x1

(x1,1)

1

f ?(x)

?

0

?

0

f (x)

极大值

极小值

(1, ??) ?

而 f (1) ? ea (1? a ? 2) ? ea (1?1? 2) ? ea (? 2) ? 0 ,符合题意

a

a

a



a

?

?1时,

x1

?

?

a

? a

2

?

x2

?1,

f '(x) ? ?ea x (x ?1)2 ? 0 , f (x) 没有极值,不符合题意

当 ?1? a ? 0 时, x1 ? 1 , f '(x) , f (x) 的变化情况如下表

x f ?(x) f (x)

(??,1)

1

?

0

极小值

(1, x1) ?

x1 0 极大值

(x1, ??) ?

而 f (1) ? ea (? 2) ? 0 ,不符合题意 a
当 a ? ?1时, x1 ? 1 , f '(x) , f (x) 的变化情况如下表:

14

x f ?(x)

(??, x1) ?

f (x)

x1 0 极小值

(x1,1) ?

1 0 极大值

(1, ??) ?

所以

f

( x1 )

?

a(?a?2)
e a [(?

a

? a

2)2

?

(a

? a

2)]

?

0



解得 a ? ?2

综上, a 的取值范围是 (??, ?2) (0, ??)

方法 2:

因为函数 f (x) 的极小值小于 0 ,

所以 f (x) ? 0 有解,即 x2 ? a ? 2 ? 0 有解 a
所以 a ? 2 ? 0 ,所以有 a ? 0 或 a ? ?2 a
因为 f '(x) ? ea x (ax2 ? 2x ? (a ? 2)) ? ea x (ax ? (a ? 2))(x ?1)



f

?( x)

?

0

,得到

x1

?

?

a

? a

2,

x2

?1

当 a ? 0 时, x , f '(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, x1)

x1

(x1,1)

1

f ?(x)

?

0

?

0

f (x)

极大值

极小值

(1, ??) ?

而 f (1) ? ea (1? a ? 2) ? ea (1?1? 2) ? ea (? 2) ? 0 ,符合题意

a

a

a

当 a ? ?2 时, x1 ? 1 , f '(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x f ?(x)

(??, x1) ?

f (x)

x1 0 极小值

(x1,1) ?

1 0 极大值

(1, ??) ?

15



f

(

x1

)

?

a
e

(?

a

?2 a

)

[(?

a

? a

2

)2

?

(

a

?

2

)]

?

a(
e

?

a?2 a

)

a

2(a ? 2) a2

? 0 ,符合题意

综上, a 的取值范围是 (??, ?2) (0, ??) 20.(共 13 分)

解:(Ⅰ)“好位置”有: (1,2),(1,3),(2,1),(3,1)

(Ⅱ)因为对于任意的 i ? 1, 2,3, 4,5 , c(i) ? 3 ;

所以当 ai, j

? 1 时,| 5 ? c(i)

|?

5?3?

5 2



当 ai, j

?

0 时,| 5ai, j

? c(i) |?

c(i)

?

5 2



因此若 (i, j) 为“好位置”,

则必有 ai, j

? 1 ,且 5

?r(

j)

?

5 2

,即 r(

j)

?

3

设数表中共有 n(n ? 15) 个1,其中有 t 列中含1的个数不少于 3 ,

则有 5 ? t 列中含1的个数不多于 2 , 所以 5t ? 2(5 ? t) ? n ? 15 , t ? 5 ,
3 因为 t 为自然数,所以 t 的最小值为 2

因此该数表中值为1,且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过 3?2 ? 6 所以,该数表好位置的个数不少于15 ? 6 ? 9 个

而下面的 5?5 数表显然符合题意

11100 11100 11010 11001 10011

此数表的“好位置”的个数恰好为 9 综上所述,该数表的“好位置”的个数的最小值为 9 (Ⅲ) 当 (i, j) 为“好位置”时,且 ai, j ? 1时,

16

则有| m ? c(i) |? m ,所以 c(i) ? m ,

2

2

注意到 m 为奇数, c(i) ? N* ,所以有 c(i) ? m ?1 2

同理得到 r( j) ? m ?1 2

当 (i, j) 为“好位置”,且 ai, j ? 0 时,

则| m ? c(i) |? m ,则必有 c(i) ? m ,

2

2

注意到 m 为奇数, c(i) ? N* ,所以有 c(i) ? m ?1 2

同理得到 r( j) ? m ?1 2

因为交换数表的各行,各列,不影响数表中“好位置”的个数,

所以不妨设 c(i) ? m ?1, 0 ? i ? p, c(i) ? m ?1, p ?1 ? i ? m

2

2

r( j) ? m ?1, 0 ? j ? q, r( j) ? m ?1, q ?1 ? j ? m

2

2

其中 0 ? p,q ? m , p,q ?N

则数表 A可以分成如下四个子表

A1

A3

A2

A4

m?q列

其中 A1 是 p 行 q 列, A3 是 p 行 m ? q 列, A2 是 m ? p 行 q 列, A4 是 m ? p 行

设 A1 , A2 , A3 , A4 中1的个数分别为 x1, x2 , x3, x4

则 A1 , A2 , A3 , A4 中 0 的个数分别为 pq ? x1, q(m ? p) ? x2 ,

p(m ? q) ? x3,(m ? p)(m ? q) ? x4

则数表 A中好位置的个数为 x1 ? (m ? p)(m ? q) ? x4 个



x1

?

x3

?

p

?

m ?1, 2

x3

?

x4

?

(m

?

q) ?

m ?1 2

所以

x1

?

x4

?

p?

m ?1 2

?

(m

?

q) ?

m ?1 2





17

m ?1

m ?1

x1 ? (m ? p)(m ? q) ? x4 ? x1 ? x4 ? (m ? p)(m ? q) ? p ? 2 ? (m ? q) ? 2

而 (m ? p)(m ? q) ? p ? m ?1 ? (m ? q) ? m ?1

2

2

? m2 ? pm ? qm ? pq ? p ? m ?1 ? (m ? q) ? m ?1

2

2

? p ? m ?1 ? q ? m ?1 ? pq ? m2 ? m

2

2

2

m ?1 m ?1 m2 ?1 m2 ? m

? ( p ? )(q ? ) ?

?

2

2

4

2

? ( p ? m ?1)(q ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1

2

2

4

显然当 ( p ? m ?1)(q ? m ?1) 取得最小值时,上式取得最小值,

2

2

因为 0 ? p,q ? m ,所以

( p ? m ?1)(q ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1 ? (m ? m ?1)(0 ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1

2

2

4

2

2

4

m ?1 m ?1 m2 ? 2m ?1

m ?1

m ?1 m2 ? 2m ?1

( p ? )(q ? ) ?

? (0 ? )(m ? ) ?

2

2

4

2

2

4

当 p ? m 时,数表 A中至少含有 m ? m ?1 个1, 2

而 m? m ?1 ? m ? (m ?1) ? m ?1 ,所以 q 至少为 2

2

2

此时 ( p ? m ?1)(q ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1

2

2

4

? (m ? m ?1)(2 ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1 ? 2m ?1

2

2

4

当 p ? m ?1时,数表 A中至少含有 (m ?1) ? m ?1 个1 2

而 (m ?1) ? m ?1 ? m? m ?1 ,所以 q 至少为1

2

2

此时 ( p ? m ?1)(q ? m ?1) ? m2 ? 2m ?1

2

2

4

? [(m ?1) ? m ?1](1? m ?1) ? m2 ? 2m ?1 ? 2m ? 2

2

2

4

下面的数表满足条件,其“好位置”的个数为 2m ? 2

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