高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5_图文













1.1.2 余弦定理



















1.掌握余弦定理及其推论.(重点) 2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点) 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)

[基础·初探]

教材整理 1 余弦定理及其变形

阅读教材 P5~P6 完成下列问题. 1.三角形中任何一边的 平方 等于其他两边的 平方 的和减去这两边与它们

的 夹角 的余弦的积的 两倍 .

即 a2= b2+c2-2bccosA c2= a2+b2-2abcos C .

,b2= a2+c2-2accos B ,

2.余弦定理的变形

b2+c2-a2

cos A=

2bc



a2+c2-b2

cos B= 2ac



a2+b2-c2

cos C= 2ab

.

1.在△ABC 中,已知 a=4,b=6,C=120°,则边 c=________. 【解析】 根据余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120° =76,c=2 19. 【答案】 2 19

2.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B=________. 【解析】 cos B=c2+2aa2c-b2=4+14-3=12,B=60°. 【答案】 60°

教材整理 2 余弦定理及其变形的应用 阅读教材 P6~P7,完成下列问题. 1.利用余弦定理的变形判定角 在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为 直角 ;c2>a2+b2?C 为 钝角 ;c2<a2+b2?C 为 锐角 . 2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题. (1)已知三边,求 三角 . (2)已知 两边 和它们的 夹角 ,求第三边和其他两个角.

1.在△ABC 中,若 a2=b2+bc+c2,则 A=________. 【解析】 ∵a2=b2+bc+c2, ∴b2+c2-a2=-bc, ∴cos A=b2+2cb2c-a2=-2bbcc=-12, 又∵A 为△ABC 的内角, ∴A=120°. 【答案】 120°

2.以下说法正确的是________(填序号). ①在三角形中,已知两边及一边的对角,可用正弦定理解三角形,但不能用 余弦定理去解; ②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适应于任何三角形; ③利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角问题; ④在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例.

【解析】 ①错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中,已知两边及一 边的对角,既可以用正弦定理,也可以用余弦定理求解.
②正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系,它适合于任何三角形. ③正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确. ④正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广. 【答案】 ②③④

[小组合作型] 已知两边及一角解三角形 在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30°,求角 A,角 C 和边 a.

【精彩点拨】 解答本题可先由正弦定理求出角 C,然后再求其他的边和 角.也可以由余弦定理列出关于边长 a 的方程,首先求出边长 a,再由正弦定理 求角 A,角 C.

【自主解答】 法一:由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°, ∴a2-9a+18=0,得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30°,∴C=120°. 当 a=6 时,由正弦定理 sin A=asibn B=6×3 12=1. ∴A=90°,∴C=60°.

法二:由 b<c,B=30°,b>csin 30°=3 3×12=323知本题有两解. 由正弦定理 sin C=csibn B=3 33×12= 23, ∴C=60°或 120°,当 C=60°时,A=90°, 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120°时,A=30°,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3.

已知三角形的两边与一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对 角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若 是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第 三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边.)

[再练一题] 1.在△ABC 中,边 a,b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根,C=60°,求 边 c.
【解】 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab =(a+b)2-3ab=52-3×2=19, ∴c= 19.

已知三边解三角形
在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,求最大角和 sin C. 【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角? (2)求 sin C 能否应用余弦定理?

【自主解答】 ∵a>c>b,∴A 为最大角, 由余弦定理的推论,得:

cos A=b2+2cb2c-a2=322+×532×-572=-12,

∴A=120°,∴sin

A=sin

120°=

3 2.

由正弦定理sina A=sinc C,得:

sin

C=csian

A=5×7

3 2 =5143,

∴最大角 A 为 120°,sin C=5143.

1.本题已知的是三条边,根据大边对大角,找到最大角是解题的关键. 2.已知三边解三角形的方法:先用余弦定理求出一个角,再用正弦定理或 余弦定理求出另一角,最后用三角形的内角和定理求第三角.

[再练一题] 2.在△ABC 中,a2-c2+b2=ab,求角 C.
【解】 ∵c2=a2+b2-2abcos C, ∴a2-c2+b2=2abcos C. ∴ab=2abcos C. ∴cos C=12. ∴C=60°.

[探究共研型]
正、余弦定理的综合应用
探究 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2, 则 sin2A=sin2B+sin2C 成立吗?反之说法正确吗?为什么?
【提示】 设△ABC 的外接圆半径为 R. 由正弦定理的变形,将 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入 a2=b2 +c2 可得 sin2A=sin2B+sin2C.反之将 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR代入 sin2A =sin2B+sin2C 可得 a2=b2+c2.因此,这两种说法均正确.

探究 2 在△ABC 中,若 c2=a2+b2,则 C=π2成立吗?反之若 C=π2,则 c2 =a2+b2 成立吗?为什么?
【提示】 因为 c2=a2+b2,所以 a2+b2-c2=0,由余弦定理的变形 cos C =a2+2ba2b-c2=0,即 cos C=0,所以 C=π2,反之若 C=π2,则 cos C=0,即a2+2ba2b-c2 =0,所以 a2+b2-c2=0,即 c2=a2+b2.

的形状.

在△ABC 中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC

【精彩点拨】

【自主解答】 法一:∵(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A, ∴由正、余弦定理可得: ????a-c·a2+2ca2c-b2????·b=????b-c·b2+2cb2c-a2????·a, 整理得:(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2, 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2+b2-c2=0 或 a2=b2. ∴a2+b2=c2 或 a=b. 故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.

法二:根据正弦定理,原等式可化为: (sin A-sin Ccos B)sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A, 即 sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A. ∵sin C≠0, ∴sin Bcos B=sin Acos A. ∴sin 2B=sin 2A. ∴2B=2A 或 2B+2A=π, 即 A=B 或 A+B=π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定 理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系, 从而判断三角形的形状,也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的 关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形形状.
2.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边 的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余 弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,应注 意角的限制范围.

[再练一题]

3.在△ABC

中,内角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c.已知cos

A-2cos cos B

C=

2c-a b.

(1)求ssiinn CA的值;

(2)若 cos B=14,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

【解】 (1)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,(其中 R 为

△ABC 外接圆半径)

所以cos

A-2cos cos B

C=2c-b a=2sin

C-sin sin B

A,

所以 sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,

sin Acos B+sin Bcos A=2sin Bcos C+2sin Ccos B,

所以 sin(A+B)=2sin(B+C).

又 A+B+C=π,

所以 sin C=2sin A,

所以ssiinn CA=2.

(2)由(1)知ssiinn CA=2,由正弦定理得ac=ssiinn CA=2, 即 c=2a. 又因为△ABC 的周长为 5, 所以 b=5-3a. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即(5-3a)2=a2+(2a)2-4a2×14, 解得 a=1 或 a=5(舍去),
所以 b=5-3×1=2.

1.已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,若满足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,

则角 C 的大小为( )

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

【解析】 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab, ∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, ∴cos C=-12,∴C=120°. 【答案】 C

2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( )

π

π

A.3

B.6

π

π

C.4

D.12

【解析】 由三角形边角关系可知,角 C 为△ABC 的最小角,则 cos C= a2+2ba2b-c2=72+2?4×73×?2-4 ?313?2= 23,所以 C=π6,故选 B.
【答案】 B

3.在△ABC 中,若 a=2bcos C,则△ABC 的形状为________.
【解析】 法一:∵a=2bcos C=2b·a2+2ba2b-c2=a2+ba2-c2, ∴a2=a2+b2-c2,即 b2=c2,b=c, ∴△ABC 为等腰三角形.

法二:∵a=2bcos C,∴sin A=2sin Bcos C, 而 sinA=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C, ∴cos Bsin C=sin Bcos C, 即 sin Bcos C-cos Bsin C=0, ∴sin(B-C)=0. 又-180°<B-C<180°, ∴B-C=0,即 B=C. ∴△ABC 为等腰三角形. 【答案】 等腰三角形

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 B=C,2b= 3a, 则 cos A=________.

【解析】 由 B=C,2b= 3a,

可得 b=c= 23a, 所以 cos A=b2+2cb2c-a2

=234×a2+2334aa×2-2a32a=13.

【答案】

1 3

5.在△ABC 中,已知 a=5,b=3,角 C 的余弦值是方程 5x2+7x-6=0 的 根,求第三边 c 的长.

【解】 5x2+7x-6=0 可化为(5x-3)·(x+2)=0, ∴x1=35,x2=-2(舍去), ∴cos C=35. 根据余弦定理, c2=a2+b2-2abcos C =52+32-2×5×3×35=16, ∴c=4,即第三边长为 4.


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