2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第7节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值存在性专题课时训练理

第三课时 定点、定值、存在性专题 【选题明细表】 知识点、方法 圆锥曲线的定点问题 圆锥曲线的定值问题 圆锥曲线的存在性问题 1.在直角坐标系 xOy 中,点 M(2,2 题号 4,5 7 1,2,3,6 ),点 F 为抛物线 C:y=mx (m>0)的焦点,线段 MF 恰被抛 物线 C 平分. (1)求 m 的值; (2)过点 M 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,设直线 FA,FM,FB 的斜率分别为 k1,k2,k3,问 k1,k2,k3 能否构成公差不为零的等差数列?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由. 解:(1)由题意得抛物线 C 的焦点 F 的坐标为(0, 线 C 上, 所以 =m,8m +2m-1=0, (m=舍去). 2 2 ),线段 MF 的中点 N(1, - )在抛物 所以 m= (2)由(1)知抛物线 C:x =4y,F(0,1). 设直线 l 的方程为 y+ =k(x-2), A(x1,y1),B(x2,y2),由 得 x -4kx+8k+2=0, 2 Δ =16k -4(8k+2)>0, 所以 k< 或 k> . 2 由根与系数的关系得 假设 k1,k2,k3 能构成公差不为零的等差数列, 则 k1+k3=2k2. 而 k1+k3= + 1 = = = = = , k2= =- , 所以 解得 k=- =- ,8k +10k+3=0, (符合题意)或 k==(不合题意,舍去). (x-2), 2 所以直线 l 的方程为 y+ 即 x+2y-1=0. 所以 k1,k2,k3 能构成公差不为零的等差数列,此时直线 l 的方程为 x+2y-1=0. 2.(2016 郑州模拟)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为 ,设动点 P 的轨迹 为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交 于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合). (1)求曲线 E 的方程; 2 2 (2)当直线 l 与圆 x +y =1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对 应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 解:(1)设点 P(x,y),由题意可得 整理可得 +y =1. +y =1. 2 2 = , 曲线 E 的方程是 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2), 由已知可得|AB|= . 2 当 m=0 时,不合题意. 2 2 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x +y =1 相切, 可得 2 2 =1, 即 m +1=n . 联立 消去 y 得(m + Δ =4m n -4(m + 2 2 2 2 )x +2mnx+n -1=0, ) (n -1)=2m >0, 2 2 2 2 x1= ,x2= , S 四边形 ACBD= |AB||x2-x1|= = ≤ , 当且仅当 2|m|= ,即 m=± 时等号成立, 此时 n=± ,经检验可知, 直线 l 的方程为 y= x- 或直线 y=- x+ 时四边形 ACBD 的面积最大,最大值为 . 3.(2016 陕西模拟)已知 A 是椭圆 M:x +5y =5 与 y 轴正半轴的交点,F 是椭圆 M 的右焦点,过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 B,C 两点. (1)若|OB|=|OC|,求 B,C 两点的坐标; (2)是否存在直线 l,使得|AB|=|AC|?若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 解:(1)由 x +5y =5 可得 2 2 2 2 +y =1, 2 所以 c=2, 所以 F(2,0),A(0,1). 由椭圆的对称性可知,满足|OB|=|OC|的直线 l 有两种: ①当直线 l⊥x 轴时,令 x=2,y=± . 所以 B,C 两点的坐标分别为(2, )和(2,- ). ②当直线 l 与 x 轴重合时,B,C 两点的坐标分别为( ,0)和(- ,0). 3 (2)①易知,当直线 l 与 x 轴重合时,|AB|=|AC|, 此时直线 l 的方程为 y=0. ②当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 不符合题意. ③当直线 l 与坐标轴不垂直时 , 设过点 F 的直线的斜率为 k, 直线 l 与椭圆 M 的交点 B(x1,y1),C(x2,y2),BC 的中点 N(x0,y0),则 l:y=k(x-2). 联立 得(1+5k )x -20k x+20k -5=0, 2 2 2 2 所以 x1+x2= . 所以 x0= ,y0= , 所以要使|AB|=|AC|,只要 AN⊥BC. 所以 ·k=-1, 2 所以 5k -8k+1=0, 所以 k= , 所以直线 l 的方程为 y= (x-2). 综上,符合题意的直线 l 的方程为 y=0 或 y= (x-2). 4.(2015 吉林东北师大附中三模)已知双曲线 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= ,虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、 右顶点),且以 AB 为直径的 圆过双曲线 C 的左顶点 D,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. (1)解:由题设双曲线的标准方程为 =1(a>0,b>0), 由已知得 = ,2b=2,又 a +b =c ,解得 a=2,b=1, -y =1. 2 2 2 2 所以双曲线的标准方程为 4 (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 得(1-4k )x -8mkx-4(m +1)=0, 则 x1+x2= ,x1x2= , 2 2 2 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+

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