【课堂新坐标】2019版高中数学(人教A版必修五)同步课件:第2章 2.2 第2课时 等差数列的性质_图文

阶 段 一 阶 段 三 第2课时 阶 段 二 等差数列的性质 学 业 分 层 测 评 1.掌握等差数列的有关性质.(重点、易错点) 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 等差数列的性质 阅读教材 P39 探究及练习第 4,5 题,完成下列问题. 1.等差数列的图象 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d, 当 d=0 时, an 是一固定常数; 当 d≠0 时,an 相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以 d 为斜率的直线上,是这条 直线上的一列孤立的点. 2.等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列,若正整数 m,n,p,q 满足 m+n=p+q,则 am+an= ap+aq . ①特别地,当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am+an=2ak. ②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的 和 , 即 a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=…. (2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为 等差 数列. (3)若{an}是公差为 d 的等差数列,则 ①{c+an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列; ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列; ③{an+an+k}(k 为常数,k∈N*)是公差为 2d 的等差数列. (4)若{an},{bn}分别是公差为 d1,d2 的等差数列,则数列{pan+qbn}(p,q 是 常数)是公差为 pd1+qd2 的等差数列. (5){an}的公差为 d,则 d>0?{an}为 递增 数列; d<0?{an}为 递减 数列;d=0?{an}为常数列. 1.下列说法中正确的是________(填序号). ①若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列. ②若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列. ③若{an}是等差数列,则对任意 n∈N*都有 2an+1=an+an+2. ④数列{an}的通项公式为 an=3n+5,则数列{an}的公差与函数 y=3x+5 的 图象的斜率相等. 【解析】 数列. ①错误.如-2,-1,0,1,2 是等差数列,但其绝对值就不是等差 ②错误.如数列-1,2,-3,4,-5,其绝对值为等差数列,但其本身不是等 差数列. ③正确. 根据等差数列的通项可判定对任意 n∈N*都有 2an+1=an+an+2 成立. ④正确.因为 an=3n+5 的公差 d=3,而直线 y=3x+5 的斜率也是 3. 【答案】 ③④ 2.在等差数列{an}中,若 a5=6,a8=15,则 a14=________. 【解析】 ∵数列{an}是等差数列, ∴a5,a8,a11,a14 也成等差数列且公差为 9, ∴a14=6+9×3=33. 【答案】 33 3. 在等差数列 {an}中, 已知 a3+a4+a5+a6+a7=450, 则 a2+a8=________. 【解析】 因为 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450, 所以 a5=90, a2+a8=2a5=2×90=180. 【答案】 180 4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=________. 【解析】 在等差数列{an}中,由于 a7+a9=a4+a12,所以 a12=(a7+a9)- a4=16-1=15. 【答案】 15 [小组合作型] 灵活设元解等差数列 已知四个数成等差数列,它们的和为 26,中间两项的积为 40,求 这四个数. 【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差,用方程组求解? (2)等差数列相邻四项和为 26,这四项有对称性吗?能否用对称设法求解? 【自主解答】 法一:设这四个数分别为 a,b,c,d,根据题意,得 ? ?a=2, ?b=5, 解得? ?c=8, ? ?d=11 ? ?a=11, ?b=8, 或? ?c=5, ? ?d=2, ?b-a=c-b=d-c, ? ?a+b+c+d=26, ?bc=40, ? ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法 二 : 设 此 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 根 据 题 意 , 得 ? ?a1+?a1+d?+?a1+2d?+?a1+3d?=26, ? ? ??a1+d??a1+2d?=40, ? ?4a1+6d=26, 化简,得? 2 2 ? ?a1+3a1d+2d =40, ? ?a1=2, 解得? ? ?d=3, ? ?a1=11, 或? ? ?d=-3, ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 法三:设这四个数分别为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得 ? ??a-3d?+?a-d?+?a+d?+?a+3d?=26, ? ? ??a-d??a+d?=40, 13 ? ? ?a= 2 , ?4a=26, 化简,得? 2 解得? 2 ? 3 ?a -d =40, ?d=± 2. ? ∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2. 1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为 a1,公 差为 d,利用已知条件建立方程组求出 a1 和 d,即可确定数列. 2.当已知数列有 2n 项时,可设为 a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d, a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为 2d. 3.当已知数列有 2n+1 项时,可设为 a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a +d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为 d. [再练一题] 1.三个数成等差数列,其和为 9,前两项之积为后一项的 6 倍,求这三个数. 【解】 (1)设这三个数依次为 a-d,a,a+d, ? ?a=3, 解得? ? ?d=-1. ? ??a-d?+a

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