北京市海淀区高三数学5月期末练习(二模)试题文

北京市海淀区 2019 届高三数学 5 月期末练习(二模)试题 文
本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上作答 无效。考试结束后,将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题国 要求的一项。
(1)已知集合 A ? ?x 1 ? x ? 5?, B ? ?x 3 ? x ? 6? ,则 A B ?
(A)[1,3] (B)[3,5] (C)[5,6] (D)[1,6]
(2)复数 z ? a ? i(i ? R) 的实部是虚部的 2 倍,则 a 的值为

(A) ? 1 2

(B) 1 2

(C) -2 (D)2

(3)已知双曲线 x2 a2

?

y2 3

? 1(a

? 0) 的右顶点和抛物线

y2

? 8x 的焦点重合,则 a 的值为

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

(4)若关于 x 的方程 x ? 1 ? a 在 (0, ??) 上有解,则 a 的取值范围是 x
(A)(0, +∞) (B)[1, +∞)

(C)[2, +∞) (D)[3, +∞)

(5)某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的所有棱长构成的集合为

? ? (A) 2, 4, 2 3,6

? ? (B) 2, 4, 2 5, 4 3,6

? ? (C) 2, 4, 2 5, 4 2,6

? ? (D) 2, 4, 2 5, 4 3

(6)把 函数 y ? 2x 的 图 象向左平 移 t 个 单位 长度 ,得 到的 图象 对应 函数 的解 析式 为

y ? 3? 2x ,则 t 的值为

(A ) log3 2

(B) log2 3 (C) 2 (D) 3

(7)已知函数 f (x) ? sin?x(? ? 0) ,则“函数 f (x) 的图象经过点( ? ,1)”是“函数 f (x) 4

的图象经过点( ? , 0 )”的 2

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

1

(8)记 x2 ? y2 ? 1表示的平面区域为W ,点 O 为原点,点 P 为直线 y ? 2x ? 2 上的一个动 点.若区域W 上存在点 Q ,使得 OQ ? PQ ,则 OP 的最大值为

(A)1

(B) 2

(C) 3 (D)2

第二部分(非选择题共 1 10 分)

二、 填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

(9)已知直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a ?


, l1 与 l2 之间的距离

( 10)已知函数 f (x) ? (x ? t)(x ? t)2 是偶函数,则 t ?

(

11)

a

?

1 2

,b

?

log4

3, c

?

sin

? 8

,则这三个数中最大的是

? ? ( 12)已知数列

an

满足

an?1 n ?1

?

an n

,且 a5

? 15

,则 a8

? _____.

(13)在矩形 ABCD中, AB ? 2, BC ? 1,点 E 为 BC 的中点,点 F 在线段 DC 上.若

AE ? AF ? AP ,且点 P 在直线 AC 上,则 AF ?

? ? (14) 已 知 集 合 A0 ? x 0 ? x ? 1 . 给 定 一 个 函 数 y ? f (x) , 定 义 集 合

? ? An ? y y ? f (x), x ? An?1

若 An An?1 ? ? 对 任 意 的 n ? N* 成 立 , 则 称 该 函 数

y ? f (x) 具有性质“ ”.

(I)具有性质“9”的一个一次函数的解析式可以是



(Ⅱ)给出下列函数:① y ? 1 ;② y ? 2x ;③ y ? s in(? x) ?1,其中具有性质“9”的

x

2

函 数的序号是____.(写出所有正确答案的序号) ∴∴∴。,、

三、解答题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. ( 15)(本小题满分 13 分)
在 ?ABC 中, a ? 7,b ? 8, A ? ? . 3
(Ⅰ)求 sin B 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 是锐角三角形,求 ?ABC 的面积.

(16)(本小题满分 13 分)
? ? 已知数列 an 为等比数列,且 an?1 ? an =2 ? 3n .
2

(I)求公比 q 和 a3 的值;
? ? (Ⅱ)若 an 的前 n 项和为 Sn ,求证: ?3, Sn , an?1 成等差数列.
(17)(本小题满分 14 分)
如图 1 所示,在等腰梯形 ABCD, BC ∥ AD , CE ? AD ,垂足 为 E , AD ? 3BC ? 3, EC ? 1.将 ?DEC 沿 EC 折起到 ?D1EC 的位置,
使平面 ?D1EC ? 平面 ABCE ,如图 2 所示,点 G 为棱 AD1 的中点。
(Ⅱ) 求证: BG ∥平面 D1EC ;
(Ⅱ)求证: AB ?平面 D1EB ;
(Ⅲ)求三棱锥 D1 ? GEC 的体积.
(18)(本小题满分 13 分) 某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐
连锁店提供了两种日工资方案:方案(1) 规定每日底薪 50 元,快递业务每完成一单 提成 3 元;方案(2)规定每日底薪 100 元, 快递业务的前 44 单没有提成,从第 45 单开 始,每完成一单提成 5 元.该快餐连锁店记 录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取 100 天的数据,将样本数据分为[ 25,35),[35, 45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频 率分布直方图。
∴∴∴。,、
(I)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于 65 单的概 率;
(Ⅱ)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1),丙、丁选择了日工资方案(2).现从上述 4 名骑手中随机选取 2 人,求至少有 1 名骑手选择方案(1)的概率;
∴∴∴。,、
(Ⅲ)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资 方 案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
∴∴∴。,、
(19)(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? ex (ax2 ? x ?1) .
3

(I)求曲线 y ? f (x) 在点 (?2, f (?2)) 处的切线的倾斜角; (Ⅱ)若函数 f (x) 的极大值大于 1,求口的取值范围.

(

20)

已知椭圆 C :

x2 4

?

y2 b2

? 1 的左顶点

A 与上顶点 B 的距离为

6.

(Ⅱ)求椭圆 C 的方程和焦点的坐标;

(Ⅱ)点 P 在椭圆 C 上,线段 AP 的垂直平分线分别与线段 AP 、x 轴、 y 轴相交于不同

的三点 M , H ,Q .

(ⅰ)求证:点 M , Q 关于点 H 对称;

(ⅱ)若 ?PAQ 为直角三角形,求点 P 的横坐标.

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案

数 学 (文科)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

(1)B

(2)D

(3)B

(5)C

(6)B

(7)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

2019.05
(4)C (8)D

( 9 )1, 2

(10) 0, 1

(11) b
(13) 2 三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分)

(12) 24 (14) y ? x ?1 (答案不唯一),① ②
∴∴∴。,、

4

解:(Ⅰ)在 △ABC 中,因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? π , 3

所以由正弦定理 sin B ? sin A

b

a

得 sin B ? bsin A ? 8 ? 3 ? 4 3 a 72 7

(Ⅱ)方法 1:

因为 a ? 7 , b ? 8 ,所以 B ? A ? π ,所以 C ? π ? π ? π ? π ,

3

33 3

即 C 一定为锐角, 所以 B 为△ABC 中的最大角

所以 △ABC 为锐角三角形当且仅当 B 为锐角

因为 sin B ? 4 3 ,所以 cos B ? 1

7

7

因为 sinC ? sin(A ? B)

? sin AcosB ? cos Asin B

?5 3 14

所以

S△ ABC

?

1 absin C 2

?

1 2

?7?8?

53 14

? 10

3

方法 2:

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

得 49 ? 64 ? c2 ? 2?8? c ? 1 2
即 c2 ? 8c ?15 ? 0

解得 c ? 5 或 c ? 3

当 c ? 3 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 ,与 △ABC 为锐角三角形矛盾,舍去
2ac
当 c ? 5 时, cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 0 ,所以 B 为锐角,
2ac
因为 b ? a ? c ,所以 B 为最大角,所以 △ABC 为锐角三角形

所以

S△ABC

?

1 bcsin 2

A

?

1 2

?8?5?

3 ? 10 2

3.

所以 △ABC 的面积为10 3

(16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)方法 1:

5

由题设得

??? aa32

? ?

a1 a2

? ?

6 18

因为?an? 为等比数列,

所以

??? aa22

? a1 ? q ? a1q

6 ?

18

所以 q ? 3

又因为 a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6 所以 a1 ? 3 所以 an ? 3n
经检验,此时 an?1 ? an ? 3n?1 ? 3n ? 2 ? 3n 成立,且?an? 为等比数列
所以 a3 ? 33 ? 27 方法 2: 因为 an ? an?1 ? 2 ? 3n?1(n ? 2)
an?1 ? an?2 ? 2 ? 3n?2 an?2 ? an?3 ? 2 ? 3n?3

a3 ? a2 ? 2 ? 32 a2 ? a1 ? 2 ? 31 把上面 n ?1个等式叠加,得到
? ? an ? a1 ? 2? 3 ? 32 ? ... ? 3n?1 ? 3n ? 3
所以 an ? a1 ? 3 ? 3n (n ? 2) 而 a1 ? a1 ? 3 ? 31 也符合上式 所以 an ? a1 ? 3 ? 3n (n ? N*)
因为数列?an? 是等比数列,设公比为 q
6

所以对于 ?n ? N* ,有

an?1 an

?

a1 ? 3 ? 3n?1 a1 ? 3 ? 3n

?

q

恒成立

所以 a1 ? 3 ? 3n?1 ? q(a1 ? 3 ? 3n ) ? 0

即 3n (3 ? q) ? (a1 ? 3)(1 ? q) ? 0

所以 q ? 3 , (a1 ? 3)(1 ? q) ? 0

而显然 q ? 1不成立,所以 a1 ? 3

所以 an ? 3n

所以 a3 ? 33 ? 27 方法 3:

由题设得:

???an ? an?1 ??an?1 ? an

? ?

2 ? 3n?1 2 ? 3n

,其中 n ? 2

因为?an? 为等比数列,

所以 an?1 ? q 对于 ?n ? N* 恒成立 an

所以

???an ?? an

? an?1 ? q ? an?1q

2 ? 3n?1 ? 2 ? 3n

所以 q ? 3

又因为 a2 ? a1 ? a1q ? a1 ? 6

所以 a1 ? 3

所以 a3 ? a1q2 ? 27 方法 4:
因为?an? 为等比数列,

所以,对于

?n ? N* ,有

a2 n?1

?

an an ? 2

恒成立

由 an?1 ? an ? 2 ? 3n ,

得 an?1 ? an ? 2 ? 3n , an?2 ? an?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 8 ? 3n

7

? ? ? ? 所以

an ? 2 ? 3n

2
? an

an ? 8 ?3n

所以 an ? 3n

所以 q ? 3 , a3 ? 27

(Ⅱ)因为 an ? a1qn?1 ? 3n

所以 an?1 ? a1qn ? 3n?1

Sn

?

3(1 ? 3n) 1? 3

?

3n?1 ? 3 2

因为

Sn

?

(?3)

?

3n?1 ? 2

3

?

3

?

3n?1 ? 2

3

an?1

? Sn

?

3n?1

?

3n?1 ? 3 2

?

3n?1 ? 3 2

所以 Sn ? (?3) ? an?1 ? Sn

所以 ?3, Sn, an?1 成等差数列

8

(17)(共 14 分) 解:(Ⅰ)方法 1: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F , 因为 CE ? AD,所以 BF EC 又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, 且 AF ? FE ? ED ?1, F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF D1E 又因为 BF EC , GF BF ? F , GF,BF ? 平面 BFG , D1E, EC ? 平面 D1EC , 所以平面 BFG 平面 CED1 又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 平面 D1EC 方法 2: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F 因为 CE ? AD,所以 BF EC 又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, F 为 AE 中点 在图 2 中,连结 GF 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GF D1E 又 D1E ? 平面 D1EC , GF ?平面 D1EC 所以 GF 平面 D1EC 又因为 BF EC , EC ? 平面 D1EC , BF ? 平面 D1EC 所以 BF 平面 D1EC 又因为 GF BF ? F 所以平面 BFG 平面 D1EC 又因为 BG ? 面GFB ,所以 BG 平面 D1EC 方法 3: 在图 1 的等腰梯形 ABCD 内,过 B 作 AE 的垂线,垂足为 F ,
9

因为 CE ? AD,所以 BF EC 又因为 BC AD , BC ? CE ?1, AD=3 所以四边形 BCEF 为正方形, AF ? FE ? ED ?1,得 AE ? 2 所以 BC AE,BC= 1 AE
2 在图 2 中设点 M 为线段 D1E 的中点,连结 MG,MC , 因为点 G 是 AD1 的中点, 所以 GM AE,GM = 1 AE
2 所以 GM BC,GM =BC ,所以四边形 MGBC 为平行四边形 所以 BG CM 又因为 CM ? 平面 D1EC , BG ?平面 D1EC 所以 BG 平面 D1EC (Ⅱ) 因为平面 D1EC ? 平面 ABCE ,
平面 D1EC 平面 ABCE ? EC , D1E ? EC, D1E ? 平面 D1EC , 所以 D1E ? 平面 ABCE 又因为 AB ? 平面 ABCE 所以 D1E ? AB 又 AB ? 2, BE ? 2, AE ? 2 ,满足 AE2 ? AB2 ? BE2 , 所以 BE ? AB 又 BE D1E ? E 所以 AB ? 平面 D1EB (Ⅲ) CE ? D1E,CE ? AE , AE D1E ? E

所以 CE ? 面D1AE

线段 CE 为三棱锥 C ? D1AE 底面 D1AE 的高

所以VD1?GEC =

1 2 VC?D1AE

?

1 2

?

1? 3

1 2

?1? 2?1?

1 6

10

18. (共 13 分) 解:(Ⅰ)设事件 A 为“随机选取一天,这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不 少于 65单” 依 题 意 , 连 锁 店 的 人 均 日 快 递 业 务 量 不 少 于 65 单 的 频 率 分 别 为 : 0.2,0.15,0.05

因为 0.2 ? 0.15 ? 0.05 ? 0.4
所以 P(A) 估计为 0.4 .

(Ⅱ)设事件 B 为“从四名骑手中随机选取 2 人,至少有 1 名骑手选择方案(1)” 从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手,有 6 种情况,即

{甲,乙} ,{甲,丙},{甲,丁}, {乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}

其中至少有

1

名骑手选择方案(

1

)的情况为 ∴∴∴。,、

{甲,乙} ,{甲,丙},,{甲,丁}, {乙,丙},{乙,丁}

所以 P(B) ? 5 6
(Ⅲ)方法 1:

快餐店人均日快递量的平均数是:

30?0.05 ? 40?0.05 ? 50?0.2 ? 60?0.3? 70?0.2 ?80?0.15 ? 90?0.05 ? 62 因此,方案(1)日工资约为 50 ? 62?3 ? 236

方案 2 日工资约为100 ? ?62 ? 44? ? 5 ? 190 ? 236

故骑手应选择方案(1) 方法 2: 设骑手每日完成快递业务量为 n 件

方案(1)的日工资 y1 ? 50 ? 3n(n ? N*) ,

方案(2)的日工资

y2

?

??100, n ? 44, n ? N* ? ??100 ? 5(n ? 44), n ?

44, n ? N*

当 n ?17 时, y1 ? y2

依题意,可以知道 n ? 25 ,所以这种情况不予考虑 当 n ? 25 时

11

令 50 ? 3n ? 100 ? 5?n ? 44?

则 n ? 85 即若骑手每日完成快递业务量在 85 件以下,则方案(1)日工资大于方案(2) 日工资,而依题中数据,每日完成快递业务量超过 85 件的频率是 0.05 ,较
低, ∴∴∴。,、
故建议骑手应选择方案(1) 方法 3: 设骑手每日完成快递业务量为 n 单,

方案(1)的日工资 y1 ? 50 ? 3n(n ? N*) ,

方案(2)的日工资

y2

?

??100, n ? 44, n ? N* ? ??100 ? 5(n ? 44), n ?

44, n ? N*

所以方案(1)日工资约为

140?0.05 ?170?0.05 ? 200?0.2 ? 230?0.3? 260?0.2 ? 290?0.15 ? 320?0.05

? 236 方案(2)日工资约为

100?0.05 ?100?0.05 ?130?0.2 ?180?0.3 ? 230?0.2 ? 280?0.15 ?330?0.05

? 194.5 因为 236 ?194.5,所以建议骑手选择方案(1).

12

19.(共 14 分) 解:(Ⅰ)因为 f (x) ? ex (ax2 ? x ?1) , 所以 f '(x) ? ex (x ? 2)(ax ?1)
所以 f '(?2) ? 0 , 所以切线的倾斜角为 0 (Ⅱ)因为 f '(x) ? ex (x ? 2)(ax ?1) 当 a ? 0 时,令 f '(x) ? 0 ,得 x1 ? ?2

当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?2)

?2

(?2, ??)

f '(x)

?

0

?

f (x)

极小值

由上表函数 f (x) 只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去

当 a ? 0 时,令

f

'(x)

?

0 ,得

x1

?

?2, x2

?

?1 a

当 a ? 0 时,

当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?2)

?2

(?2, ? 1 )

?1

(? 1 , ??) a

a

a

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

极小值

极大值

由上表函数

f

(x) 的极大值

f

(? 1)

?

?1
ea

? e0

? 1,满足题意

a

当 a ? 1 时, f '(x) ? 1 ex (x ? 2)2 ? 0 ,

2

2

所以函数 f (x) 单调递增,没有极大值,舍去

当 a ? 1 时,当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

(??, ?2)

?2

(?2, ? 1 )

?1

a

a

(? 1 , ??) a

13

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

极大值

极小值

由上表函数 f (x) 的极大值 f (?2) ? e?2 (4a ?1) ? 1 ,

解得 a ? e2 ?1 4

当 0 ? a ? 1 时,当 x 变化时, f '(x), f (x) 的变化情况如下表: 2

x

(??, ? 1 ) a

?1

(? 1 , ?2)

a

?2

a

(?2, ??)

f '(x)

?

0

?

0

?

f (x)

极大值

极小值

由上表函数

f

(x)

的极大值

f

(?

1)

?1
?e a

?1 ,不合题意

a

综上, a 的取值范围是 (??,0)

e2 (

?1,

?? )

4

14

20. (共 13 分)

解:(Ⅰ) 依题意,有 4 ? b2 ? 6

所以 b ? 2

椭圆方程为

x2 y2 ? ?1

42

焦点坐标分别为 F1(? 2,0), F2 ( 2,0), (Ⅱ)(i)方法 1:

设 P(x0 , y0 )

,则

x02 4

?

y02 2

?1

依题意 x0 ? ?2, y0 ? 0 , A(?2,0),

所以 M ( x0 ? 2 , y0 ) 22

所以直线

PA的斜率 kAp

?

y0 x0 ?

2

因为 PA ? MQ ,所以 kPA ? kMQ ? ?1

所以直线

MQ 的斜率 kMQ

?

?

x0 ? y0

2

所以直线 MQ 的方程为 y ? y0 ? ? x0 ? 2 (x ? x0 ? 2)

2

y0

2



x ? 0 ,得到

yQ

?

y0 2

?

( x0

? 2)( x0 2 y0

? 2)

因为 x02 ? y02 ? 1 42

所以

yQ

?

?

y0 2

, 所以 Q(0, ? y0 ) 2

所以 H 是 M,Q 的中点,所以点 M,Q 关于点 H 对称

方法 2:

设 P(x0, y0 ) ,直线 AP 的方程为 y ? k(x ? 2)

15

? x2

联立方程

? ?

4

?

y2 2

?1

?? y ? k(x ? 2)

消元得 (1 ? 2k 2 )x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0

所以 ? ?16 ? 0

所以

x0

?

(?2)

?

?8k 2 1? 2k 2

所以

x0

?

?4k 2 ? 2 1? 2k2

所以 xM

?

?4k 2 1? 2k

2



yM

?

k

?4k 2 ( 1? 2k

2

?

2)

?

1

2k ? 2k

2

所以 M ( ?4k 2 , 2k ) 1? 2k 2 1? 2k 2

因为

AP

?

MQ

,所以

KMQ

?

?

1 k

所以直线 MQ 的方程为

2k y ? 1? 2k 2

1

?4k 2

? ? k (x ? 1? 2k 2 )



x ? 0 ,得到

yQ

? 2k 1? 2k2

?

1 k

? 4k 2 1? 2k 2

? ?2k 1? 2k2

所以

?2k Q(0,1? 2k 2 )

所以 H 是 M,Q 的中点,所以点 M,Q 关于点 H 对称

方法 3:

设 P(x0 , y0 ) ,直线 AP 的方程为 x ? ty ? 2

? x2 y2

联立方程

? ?4

?

2

?1

??x ? ty ? 2

消元得, (t2 ? 2) y2 ? 4ty ? 0

因为 0 ?

y0

?

4t t2 ?

2

,所以

y0

?

4t t2 ?

2

所以 yM

?

2t t2 ? 2

xM

?

?4 , t2 ? 2

所以

M

(

t

?4 2 ?2

,

t

2

2t ?

2

)

因为

AP

?

MQ

,所以

KMQ

?

?

1 k

16

所以直线

MQ

的方程为

y

?

t

2t 2?

2

?

?t(x

?

t

?4

2

?

) 2



x

?0

,得到

yQ

?

?2t t2 ? 2

,所以 Q(0, ?2t ) t2 ? 2

所以 H 是 M,Q 的中点,所以点 M,Q 关于点 H 对称

(ii)方法 1:

因为 △APQ 为直角三角形, 且 | PQ |?| AQ | ,所以△APQ 为等腰直角三角形

所以 | AP |? 2 | AQ |

因为

P(x0 ,

y0

)



Q(0, ?

y0 2

)



(x0 ? 2)2 ? y02 ?

2

22 ? y02 4

化简,得到 3x02

? 16 x0

?12

?

0 ,解得

x0

?

2 3 , x0

?

?6 (舍)

即点 P 的横坐标为 2 3

方法 2:

因为 △APQ 为直角三角形, 且 | PQ |?| AQ | ,所以 ?AQP ? 90? ,

所以 AQ ? PQ ? 0

因为

P(x0 ,

y0

)



Q(0, ?

y0 2

)



所以

AQ

?

(2,

?

y0 2

)



PQ

?

(?x0

,

?

3y0 2

)

所以

(2,

?

y0 2

)

?

(?x0

,

?

3y0 2

)

?

0



?2x0

+

3 y02 4

=0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16 x0

?12

?

0

,解得

x0

?

2 3 , x0

?

?6 (舍)

即点 P 的横坐标为 2 3

方法 3:

因为 △APQ 为直角三角形,且 | PQ |?| AQ | ,所以 ?AQP ? 90?

17

所以| AP |? 2 | MQ |

因为

P(x0 ,

y0

)



Q(0, ?

y0 2

)



M

(

x0

? 2

2

,

y0 2

)

所以

? x0 ? 2?2 ? y02 ? 2

( x0

? 2

2)2

?

y02

化简得到 8x0 ? 3y02 ? 0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16 x0

?12

?

0 ,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P 的横坐标为 2 3

方法 4:

因为 △APQ 为直角三角形,所以 ?AQP ? 90?

所以点 A, P,Q 都在以 AP 为直径的圆上,

因为

P(x0 ,

y0

)



Q(0, ?

y0 2

)



A ? ?2, 0?

所以有 (x ? ?2 ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? (1

2

22

(x0 ? 2)2 ? y02 )2

所以

?2x0

?

3 y02 4

?0

因为 x02 ? y02 ? 1 42

化简,得到 3x02

? 16 x0

?12

?

0

,解得

x0

?

2 3

,

x0

?

?6 (舍)

即点 P 的横坐标为 2 3

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