北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案

北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学 AII》期末试题
120 分钟 班 级 提号 子题 得分 签名 一 1-5 二 6-10 11 12 姓 名 三 13 14 15 满分 100 2004.6 学 号 四 16 五 17 平时 总分

一.填空题 (每小题 4 分,共 20 分)
1.设函数 f ( x, y, z) ? e yz , 其中 z ? z ( x, y ) 是由 x ? y ? z ? xyz ? 0 确定的函数,则
x 2

fx' (0, 1, - 1) =



2.设曲线 l 的方程为: x ? 2 cos ? , y ? sin ? , z ? ? ( 0 ? ? ? ? ),已知 l 上点 P 处

的切线平行于平面 x ? 2 z ? 4 ,则点 P 的坐标为



3.设 L 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,其周长记为 a ,则 ? (3x 2 ? 4 y 2 )ds ? L 4 3



4.求积分 ?L

y dx ? 2xydy ,其中 L 是沿 y ? x 2 由 A(0, 0) 到 B(1, 1) 的一段。 x ?1


2y 5.求函数 z ? xe 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, ? 1) 方向的方向导





A 1

二.单项选择题 (每小题 4 分,共 20 分)
6.设分段光滑的有向闭曲线 L 为有界闭区域 D 的正向边界,函数 P( x, y ) ,

Q( x, y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数,则 ? Qdx ? Pdy =
L





(A).

?? ( ?x ? ?y )dxdy
D

?P

?Q

(B).

?? ( ?x ? ?y )dxdy
D

?Q

?P

(C). ? 7 . 设 区 域

?? ( ?x ? ?y )dxdy
D

?P

?Q

(D) ?

?? ( ?x ? ?y )dxdy
D

?Q

?P

D:

x ? y ?1 , 则 二 重 积 分

?? ( x ? y )dxdy
D

的 值 为




(A) ?

4 3

(B) ?

3 4

(C)

4 3

(D)

3 4

8.设函数 y1 ( x) 为方程 y? ? P( x) y ? Q( x) 的一个特解, C 为任意常数,则该方程的通解 可以表示为【


? P ( x ) dx y ? y1 ? e ? ? P ( x ) dx y ? y1 ? Ce ?

(A)

(B)

(C)

? P ( x ) dx y ? y1 ? e ? ?C

(D)

y ? y1 ? Ce ?

P ( x ) dx

9. 幂级数

? (?1)n ?1
n ?1

?

xn 的收敛半径为 n!
(B) –1


(C) ? ?


(D) 0

(A) 1

10.求圆 r ? 1 之外和圆 r ?
?
2 3 cos ?

2 cos? 之内的公共部分的面积 S【 3
(B)



(A)

? ?

6 0

d? ? d? ?

0

rdr

2 ? 6 d? ?
0

?

2 3

cos ?

1

rdr

?

2 3

(C)

6 0

cos ?

1

rdr

(D) 2

?

?

6 0

d? ?

2 3

cos ?

0

rdr

A 2

三.计算题 (共 44 分 )
11.求积分

?? xyd? , 其中 D 是由抛物线 y
D
?

2

? x 及直线 y ? x ? 2 所围成的闭区域(10 分)

( x ? 1) n 12.求幂级数 ? 的收敛域(10 分) 。 2n n n ?1
13 . 计 算 曲 面 积 分

?? (8 y ? 1) xdydz? 2(1 ? y )dzdx ? 4 yzdxdy ,
2 ?

其中 ? 是由曲线

?z ? y ? 1 ? 它的法向量与 y 轴正向的 (1 ? y ? 3) 绕 y 轴旋转一周所围成的曲面, ? ?x ? 0 ?
夹角恒大于

? (7 分) 。 2

14.求幂级数

?

2n ? 1 2 n x 的和函数(7 分) n! n ?1
?

15.求微分方程 y' '? y'?2 y ? x ? 1 ? e x 的通解( 10 分) 。

四.证明题 ( 6 分 )
16.设 n 为大于 2 的正整数,函数 f (x) 在 [ a, b] 上连续, 求证:

? dx ? ( x ? y)
a a

b

x

n?2

f ( y )dy ?

1 b n ?1 ?a (b ? y) f ( y)dy n ?1

五.综合题 (10 分)
17 . 设 曲 线 C 的 起 点为 A , 终 点为 B ,

f (? ) ? 1 , 求 函 数 f (x) , 使 曲 线 积分

C

?[sin x ? f ( x)] x dx ? f ( x)dy 与路径无关,并求当 A,B 两点分别为 (1, 0) 和 (? , ? ) 时

y

的曲线积分的值。

A 3


一.填空题 (1) 1; (2) ( 2 , 二.选择题 6.C 三.计算题
2





案(a)

3 2 ? 2 , ) ; (3) 12a; (4) ; (5) ? 10 2 4 2

7.C

8.B

9.C

10.B

11.解:

蝌xyd s
D

=

蝌[ - 1
2

y+ 2 y
2

xy dx ] dy

x2 y ? 1 = ? [ ] 2 ydy ?1 2 y

?

1 2 5 2 5 ??1[ y( y ? 2) ? y ]dy = 5 8 2

12. 解: 令 t ? x ? 1 , 则原级数化为

a tn 1 ? 2n n , ? ? nlim an?1 ? 2 , 收敛半径 R ? 2 , 收 ?? n ?1 n

?

敛区间 t ? 2 ,即 ? 1 ? x ? 3 , 当 x ? 3 时级数发散,当 x ? ?1 时级数收敛,故原级数收 敛域为 [?1, 3) 。

? 13.解: í

ìz = ? ?x = 0 ? ? ?

y- 1

绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为: y - 1 = z 2 + x 2 ,

I =

蝌 邋+
=
*

*


*

蝌 邋+
蝌 ?
*

dv 蝌蝌 =
W

2p 0

d q蝌 r d r
0

2

3 1+ r 2

dy = 2p

=-32 p

I= 2p - (- 32p) = 34 p

A 4

14 . 解 :

因 收 敛 半 径 R ? ? , 收 敛 域 为 (??, ? ?) , 令 S ( x) ?

?

2n ? 1 2 n x n! n ?1
?

( ? ? ? x ? ? ?) ,

2n ? 1 2 n t dt ? 0 0 n! n ?1 ? ? 2 1 1 ? ? x 2 n ?1 ?x[? x 2 n ? 1] ?x(e x ? 1) n ?1 n! n ?1 n

?

x

S (t )dt ? ? ?

?

x

[? S (t )dt]'? [ x(e x ? 1)]' , 故 S ( x) ? ex (2x2 ? 1) ? 1, ? ? ? x ? ? ?
2

x

2

0

15.解:特征方程 r ? r ? 2 ? 0 , r1 ? 1, r2 ? ?2 , 齐次方程通解为 Y ? c1e x ? c2e?2 x ,
2

为求原方程的特解 y? 。 ,考虑两个方程,

y' '? y'?2 y ? x ? 1(1)和 y' '? y'?2 y ? e x (2) 对于前一方程, 因 0 不是特征根,可设 ,
? ? y1 ? ax ? b ;对于后一个方程,因 1 是特征根, 可设 y2 ? cxex

原方程的特解 y? ? y1 ? y2 ? ax ? b ? cxex 。

?

?

代入原方程可得 a ? ?1/ 2, b ? ?3 / 4, c ? 1/ 3 原方程的通解为

1 3 1 y ? c1e x ? c2e ?2 x ? x ? ? xe x . 2 4 3

四.证明题 16. 证明:

?

b

a

dx ? ? x ? y ?
x a

n?2

f ? y ? dy ? ? dy ? f ? y ?? x ? y ?
b b a y

n?2

dx ?

1 b n ?1 ?a ?b ? y ? f ? y ? dy n ?1

五.综合题 17. 解:利用曲线积分与路径无关,得到:

1 1 1 f ' ( x) ? (sin x ? f ( x)) ,整理得到一阶微分方程 f ' ( x) ? f ( x) ? sin x x x x 1 解之得: f ( x) ? (c ? cos x) ,将 f (? ) ? 1 代入得 c ? ? ? 1 x 1 ? f ? x? ? ?? ? ? o sx 1 c ? x
A 5


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