专题25 平面解析几何(三)

第五节

椭圆

考纲解读 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用. 3.理解数形结合的思想. 考向预测 1.椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容;直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点. 2.各种题型都有涉及,作为选择题、填空题属中低档题,作为解答题则属于中高档题.

(二)课前自主预习
知识梳理 1.椭圆的概念 在平面内到两定点 F1、F2 的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫 .这两定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫 . 集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数: (1)若 ,则集合 P 为椭圆; (2)若 ,则集合 P 为线段; (3)若 ,则集合 P 为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质

范围 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点

顶点 性质 轴 焦距 离心率 长轴 A1A2 的长为 ;短轴 B1B2 的长为 |F1F2|=

e= c2=

a,b,c
的关系

(三)基础自测
1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. 4 5 B. 3 5 2 C. 5 D. 1 5 )

[答案] B [解析] 本题考查了离心率的求法,这种题目主要是设法把条件转化为含 a,b,c 的方程式,消去 b 得到关于 e 3 2 2 2 2 2 2 的方程,由题意得:4b=2(a+c)? 4b =(a+c) ? 3a -2ac-5c =0? 5e +2e-3=0(两边都除以 a )? e= 或 e=- 5 1(舍),故选 B.

x2 y2 2.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离 a b
心率为( A. 2 2 ) B. 3 3 1 C. 2 D. 1 3

[答案] B [解析] 考查椭圆的性质及三角形中的边角关系运算. 把 x=-c 代入椭圆方程可得 yc=± ,∴|PF1|=
2 2

b2 a

b2 a

2b 3b 2 2 ∴|PF2|= ,故|PF1|+|PF2|= =2a,即 3b =2a

a

a

又∵a =b +c ,∴3(a -c )=2a ,

2

2

2

2

2

2

c 2 1 3 ∴( ) = ,即 e= . a 3 3
3.设 0≤α <2π ,若方程 x sinα -y cosα =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 α 的取值范围是(
2 2

)

? 3π ? ?7π ? A.?0, ?∪? ,2π ? 4 ? ? 4 ? ?
C.?

B.? D.?

?π ,3π ? ? 4 ? ?2 ?3π ,3π ? 2 ? ? 4 ?

?π ,3π ? 4 ? ?2 ?
x2 y2
1 - cosα

[答案] C [解析] 化为 1 sinα + 1 1 =1,∴- > >0,故选 C. cosα sinα

x → 2 4.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P,则|PF2|=( 4
A. 3 2 B. 3 7 C. 2 D. 4

2

)

[答案] C [解析] 设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,由椭圆的方程可得 F1(- 3,0)即垂线的方程为 x=- 3,

x ? ? 4 +y2=1 由? ? ?x=- 3 x2 y2
5 3

2

1 1 7 得 y=± ,∴|PF1|= ,由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=4,所以|PF2|= ,故选 C. 2 2 2

5. 过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为__________. 5 4 [答案]

[解析] 如图,过点 B 作 BC⊥AO,右焦点为 F1(1,0), ∴AB 的方程为 y=2(x-1)=2x-2,必过短轴的一个端点.

y=2?x-1? ? ? 2 2 ?x y + =1 ? ?5 4

5 1 1 5 5 2 2 ,? 4x +5?4(x-1) =20,解得 x=0 或 x= .∴S△OAB= ·|OA|·|BC|= ×2× = . 3 2 2 3 3

x2 y 2 1 6.(教材改编题)若椭圆 + =1 的离心率为 ,则实数 m=________. 2 m 2
[答案] 3 8 或 2 3
2

c2 b2 m 1 2 1 3 8 [解析] e = 2=1- 2,则 1- = 或 1- = ,解得 m= 或 m= . a a 2 4 m 4 2 3
1 7.求以坐标轴为对称轴,一焦点为(0,5 2),且截直线 y=3x-2 所成弦的中点的横坐标为 的椭圆方程. 2 [解析] 根据题意设所求椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0). ∵c=5 2,∴a =b +50.
2 2

x2 y2 b a

y=3x-2 ? ? 2 由?x y2 =1 2+ 2 ? ?b b +50
2 2 2

,消去 y 得

10(b +5)x -12b x-b (b +46)=0. 设直线与椭圆相交于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则 x1,x2 是上述方程的根,且有 Δ >0. 即 Δ =40b +2184b +9200b >0 恒成立.
6 4 2

2

2

6b ∵x1+x2= , 2 5?b +5? ∴

2

x1+x2 1
2
2

6b 1 = ? = , 2 2 5?b +5? 2
2

2

∴b =25,∴a =75. 所求椭圆方程为 + =1. 25 75

x2

y2

(四)典型例题
1.命题方向:椭圆的定义 [例 1] 求过点 A(2,0)且与圆 x2+4x+y2-32=0 内切的圆的圆心的轨迹方程. [分析] 两圆内切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,据此可以找到动圆圆心满足的条件. [解析] 将圆的方程化为标准形式(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为 B(-2,0),半径为 6,作图知: 设动圆圆心 M 的坐标为(x,y), 由于动圆与已知圆相内切,设切点为 C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离,即|BC|-|MC|=|BM|, 而|BC|=6,∴|BM|+|CM|=6, 又|CM|=|AM|,∴|BM|+|AM|=6,

根据椭圆的定义知点 M 的轨迹是以点 B(-2,0)和点 A(2,0)为焦点、线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆. ∴a=3,c=2,b2=a2-c2=5. ∴所求圆心的轨迹方程为 + =1. 9 5 [点评] (1)本题利用平面几何知识,挖掘动点运动的几何意义,这类求轨迹方程的方法叫定义法. (2)平面内一动点与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a,当 2a>|F1F2|时,动点的轨迹是椭圆;当 2a=|F1F2| 时,动点的轨迹是线段 F1F2;当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 跟踪练习 1: 椭圆 + =1 的焦点为 F1、F2,AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则△ABF2 的周长是( 9 25 A.20 B.12 C.10 D.6

x2 y2

x2

y2

)

[答案] A [解析] 椭圆焦点在 y 轴上, a=5, △ABF2 的周长 l=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20. 2.命题方向:求椭圆的标准方程 4 2 [例 2] 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 5和 5,过 P 作长轴的垂线恰 3 3 好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.

[分析] 方法一:用待定系数法,设出椭圆方程的两种形式后,代入求解.方法二:先由椭圆定义,确定半长轴 a 的大小,再在直角三角形中,利用勾股定理求 c,然后求 b.

x2 y2 y2 x2 [解析] 方法一:设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ 2=1(a>b>0),两个焦点分别为 F1、F2,则 a b a b
由题意知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5,∴a= 5.

x2 y2 b2 在方程 2+ 2=1 中,令 x=±c,得|y|= . a b a
依题意知 =

b2 2 10 2 5,∴b = . a 3 3
2 2 2 2

x 3y 3x y 即椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 5 10 10 5
方法二:设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,则 4 5 2 5 |PF1|= ,|PF2|= . 3 3 由椭圆的定义,知 2a=|PF1|+|PF2|=2 5,即 a= 5. 由|PF1|>|PF2|知,PF2 垂直于长轴. 60 20 2 2 2 故在 Rt△PF2F1 中,4c =|PF1| -|PF2| = = , 9 3 5 10 2 2 2 2 ∴c = ,于是 b =a -c = . 3 3 又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上,也可以在 y 轴上,故所求的椭圆方程为

x2 3y2
5 +

3x y =1 或 + =1. 10 10 5

2

2

[点评] 根据条件求椭圆的标准方程的思想是“选标准、定参数”,关键在于焦点的位置是否确定.若不能确定 应设方程为 2+ 2=1,或 2+ 2=1.当方程有两种形式时,应分别求解. 跟踪练习 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 A(2,-6);

x2 y2 a b

y2 x2 a b

x2 y2 y2 x2 [解析] (1)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1,或 2+ 2=1. a b a b
由已知 a=2b,且椭圆过点(2,-6),① 2 ?-6? ?-6? 2 从而有 2+ =1 或 + 2=1,② 2 2
2 2 2 2

a

b

a

b

由①②得 a =148,b =37 或 a =52,b =13. 故所求的方程为 + =1 或 + =1. 148 37 52 13

2

2

2

2

x2

y2

y2

x2

(2)经过点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)两点.

x2 y2 y2 x2 [解析] (1)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1,或 2+ 2=1. a b a b
由已知 a=2b,且椭圆过点(2,-6),①

2 ?-6? ?-6? 2 从而有 2+ =1 或 + 2=1,② 2 2

2

2

2

2

a

b

a

b

由①②得 a =148,b =37 或 a =52,b =13. 故所求的方程为 + =1 或 + =1. 148 37 52 13
2 2

2

2

2

2

x2

y2

y2

x2

(2)设椭圆的标准方程为 mx +ny =1(m>0,n>0), 点 P(-2 3,1),Q( 3,-2)在椭圆上, 1 ? ?m=15 ,解得? 1 ? ?n=5

? ?12m+n=1 代入上述方程得? ?3m+4n=1 ?



∴所求椭圆的方程为 + =1. 15 5

x2

y2

3.命题方向:椭圆的几何性质

x2 y2 [例 3] 如右图,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴端 a b
点 A 及短轴端点 B 的连线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任一点,

F2 是右焦点,F1 是左焦点,求∠F1QF2 的取值范围;
(3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭圆的 方程.

[分析] 从 OM∥AB 入手,寻求 a、c 间的关系,可以求得离心率 e. [解析] (1)∵MF1⊥x 轴,∴xM=-c,代入椭圆方程得 yM= ,∴kOM=- . 又∵kAB=- 且 OM∥AB, ∴- =- ,故 b=c,从而 e=

b2 a

b2 ac

b a

b2 ac

b a

2 . 2

(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ . ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c,

∴cosθ =

r12+r22-4c2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 a2 a2 = = -1≥ 2r1r2 2r1r2 r1r2 r1+r2
? 2

-1=0.
2

?

当且仅当 r1=r2 时,上式等号成立, π ∴0≤cosθ ≤1,故 θ ∈[0, ]. 2

x2 y2 (3)∵b=c,a= 2c,∴设椭圆方程为 2+ 2=1. 2c c
∴直线 PQ 的方程 y= 2(x-c). ∴|PQ|= 8c 2 4?2c 6 2c [( ? - ]?1+2?= . 5 5 5
2

2 6 又点 F1 到 PQ 的距离 d= c. 3 1 1 2 6 6 2 4 3 2 ∴S△F1PQ= d|PQ|= ? c? c= c, 2 2 3 5 5 由 4 3 2 c =20 3得 c2=25,故 2c2=50. 5

∴所求椭圆方程为 + =1. 50 25 [点评] 解焦点三角形问题时,使用三角形边角关系定理,通过变形使之出现|PF1|+|PF2|,便于运用椭圆定义,得

x2

y2

a、c 的关系.
跟踪练习 3 设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|, |AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. [解析]联立椭圆方程与直线方程, 化简得(a +b )x +2a cx+a (c -b )=0, -2a c a ?c -b ? 则 x1+x2= 2 . 2 ,x1x2= a +b a2+b2 因为直线 AB 斜率为 1, 所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2? -4x1x2], 4 4ab 2 2 得 a= 2 2,故 a =2b , 3 a +b 所以 E 的离心率 e= =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

c a

a2-b2 2 = . a 2

(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知

x0=

x1+x2
2

-a c 2 c = 2 =- c,y0=x0+c= . a +b2 3 3

2

由|PA|=|PB|得 kPN=-1.即

y0+1 =-1, x0

得 c=3,从而 a=3 2,b=3. 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9 4.命题方向:直线与椭圆的位置关系 [例 4] 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3,最小值为 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求 证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

x2

y2

[解析] (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由已知得:a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1,∴b =a -c =3. ∴椭圆的标准方程为 + =1. 4 3
2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2

y=kx+m ? ? 2 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由?x y + =1 ? ?4 3
(3+4k )x +8mkx+4(m -3)=0, ∴Δ =64m k -16(3+4k )(m -3)>0 即 3+4k -m >0
2 2 2 2 2 2 2 2 2

得,

x1+x2=-

8mk 4?m -3? , 2,x1?x2= 2 3+4k 3+4k
2 2

2

3?m -4k ? 2 2 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k x1x2+mk(x1+x2)+m = , 2 3+4k 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), ∴kADkBD=-1,即

y1 y2 ? =-1. x1-2 x2-2
2

∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0. ∴ 3?m -4k ? 4?m -3? 16mk + + 2 2 2+4=0. 3+4k 3+4k 3+4k
2 2 2 2

∴7m +16mk+4k =0. 2k 2 2 解得 m1=-2k,m2=- ,且均满足 3+4k -m >0. 7 当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾; 2k ? 2? ?2 ? ?2 ? 当 m2=- 时,l 的方程为 y=k?x- ?,直线过定点? ,0?.所以,直线 l 过定点,定点坐标为? ,0?. 7 ? 7? ?7 ? ?7 ? 跟踪练习 4

x y → 设椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60°,AF a b

2

2

→ =2FB. (1)求椭圆 C 的离心率; 15 (2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程. 4 [分析] 本小题考查直线与椭圆的位置关系,椭圆的性质、弦长公式、向量运算,也考查运算能力与推理能力. 解题思路是(1)利用代数法求直线与椭圆的交点坐标,结合向量条件求出离心率.(2)利用弦长公式,确定参数 a、b 的关系,再利用(1)的结果,确定 a、b 的值,写出椭圆方程. [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a -b .
2 2

? ?y= 3?x-c? 联立?x2 y2 2+ 2=1 ? ?a b
2

得(3a +b )y +2 3b cy-3b =0.

2

2

2

2

4

- 3b ?c+2a? - 3b ?c-2a? 解得 y1= ,y2= . 2 2 2 2 3a +b 3a +b → → 因为AF=2FB,所以-y1=2y2. 即 3b ?c+2a? - 3b ?c-2a? c 2 =2? .得离心率 e= = . 2 2 2 2 3a +b 3a +b a 3 1 1+ |y2-y1|, 3
2 2 2

2

(2)因为|AB|= 所以 2

4 3ab 15 ? 2 2= . 4 3 3a +b

c 2 5 5 15 由 = 得 b= a.所以 a= ,得 a=3,b= 5. a 3 3 4 4
椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

x2 y2

(五)思想方法点拨:
1.椭圆的标准方程 (1)椭圆的标准方程在形式上可统一为 Ax2+By2=1,其中 A、B 是不等的正常数.A>B>0 时,焦点 y 轴上;B>A>0 时, 焦点在 x 轴上. (2)椭圆的标准方程的求法 ①定义法:根据定义,直接求出 a2,b2,写出椭圆方程. ②待定系数法. 步骤: ⅰ.定型:是指确定类型,确定椭圆的焦点在 x 轴还是 y 轴上,从而设出相应的标准方程的形式. ⅱ.计算:根据已知条件,建立关于 a、b、c 的方程组,求出 a2、b2,从而写出椭圆的标准方程. 2.直线与椭圆的位置关系 把椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)与直线方程 y=kx+b 联立取消去 y,整理成形如 Ax +Bx+C=0 的形式,对此一元

x2 y2 a b

2

二次方程有: (1)Δ >0,直线与椭圆有两个公共点 P、Q,此时弦长求法:①求 P、Q 两点的坐标,利用两点间距离公式; ②由根与系数关系得到弦长公式|PQ|= ?1+k ?[?xP+xQ? -4xPxQ]. (2)Δ =0,直线与椭圆有一个公共点. (3)Δ <0,直线与椭圆无公共点.
2 2

(六)课后强化作业
一、选择题 1.设椭圆 2+ A.2 [答案] B [解析] 由椭圆定义知 2a=3+1=4,故 a=2. ∴m =a =4,b =m -1=3. 1 2 2 2 ∴c =a -b =1,即 c=1.∴e= . 2 2.已知椭圆的方程为 2x +3y =m(m>0),则此椭圆的离心率为( A. 1 3 B. 3 3 C. 2 2 D. 1 2
2 2 2 2 2 2

x2 y2 =1(m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3,到右焦点的距离为 1,则该椭圆的离心率为( m m2-1
B. 1 2 C. 3 2 D. 2 2

)

)

[答案] B [解析] 由选项知 e 与 m 无关,令 m=6,则 a =3,b =2,c =1, ∴e= =
2 2 2

c a

3 . 3
2 2

一般解法:2x +3y =m(m>0)化为 + =1, 2 3

x2 y2 m m

m m m 1 2 2 ∴c = - = .∴e = .故选 B. 2 3 6 3
→ → 3.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1?MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( A.(0,1) [答案] C [解析] 依题意得,c<b,即 c <b ,∴c <a -c 2c <a ,故离心率 e= <
2 2 2 2 2, 2 2

)

1 B.(0, ] 2

C.(0,

2 ) 2

D.[

2 ,1) 2

c 2 2 ,又 0<e<1,∴0<e< . a 2 2

4.如图 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆 的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )

x2 y2 a b

A.

3 2

B.

1 2

C.

2 2

D. 3-1

[答案] D [解析] 连接 AF1,由圆的性质知,∠F1AF2=90°,又∵△F2AB 是等边三角形,∴∠AF2F1=30°,

c 2c 2c ∴AF1=c,AF2= 3c,∴e= = = = 3-1.故选 D. a 2a c+ 3c
5.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹 是( ) A.圆 [答案] A [解析] ∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a. 即|F1Q|=2a. ∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a, 故动点 Q 的轨迹是圆. 6.已知椭圆 x +2y =4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( A.3 2 [答案] C [解析] 依题设弦端点 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1 +2y1 =4,x2 +2y2 =4, ∴x1 -x2 =-2(y1 -y2 ), ∴此弦斜率 k=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

) D. 3 6 2

B.2 3

C.

30 3

y1-y2 x1+x2 1 =- =- , x1-x2 2?y1+y2? 2

1 ∴此弦所在直线方程 y-1=- (x-1), 2 1 3 2 2 即 y=- x+ 代入 x +2y =4, 2 2 整理得 3x -6x+1=0, 1 ∴x1?x2= ,x1+x2=2. 3 ∴|AB|= ?x1+x2? -4x1x2? 1+k =
2 2 2

1 4-4? ? 3

1 30 1+ = . 4 3

7.椭圆 2+ 2=1(a>b>0,c =a -b )的右焦点为 F,直线 x= 与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的 垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( A.?0, )

x2 y2 a b

2

2

2

a2 c

? ?

2? ? 2?

? 1? B.?0, ? ? 2?
a2 c

C.[ 2-1,1)

?1 ? D.? ,1? ?2 ?

[答案] D [解析] 由题意得|PF|=|AF|= -c,∵a-c≤|PF|≤a+c,

a 1 ∴a-c≤ -c≤a+c, ≤e<1. c 2 x2 y2 1 → → 8.(文)已知 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,若PF1?PF2=0,tan∠PF1F2= ,则此椭圆的离心 a b 2
率为( A. ) 1 2 B. 2 3 1 C. 3 D. 5 3

2

[答案] D → → [解析] ∵PF1?PF2=0,∴PF1⊥PF2, 1 1 又 tan∠PF1F2= ,令 PF2= PF1=x, 2 2 3x a= ? ? 2 ,∴? 5 ? ?c= 2 x

? ?3x=2a 则? 2 2 ?5x =4c ?



∴e= =

c a

5 .故选 D. 3

x2 y2 (理)设 M 为椭圆 2+ 2=1 上一点,F1、F2 为椭圆的焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,则椭圆的离心率为 a b
( ) A. 3 2 B. 6 3 1 C. 2 D. 6 4

[答案] B 2c |MF1| |MF2| |MF1|+|MF2| 2a [解析] 由正弦定理得 = = = = , sin90° sin15° sin75° sin15°+sin75° sin15°+sin75°

c 1 1 6 ∴e= = = = . a sin15°+cos15° 2sin60° 3
二、填空题 9.若直线 y=kx+1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆 + =1 恒有公共点,则 t 的取值范围是________. 5 t [答案] [1,5)

x2 y2

[解析] 用数形结合法,∵y=kx+1 恒过定点(0,1),只要使(0,1)恒在椭圆内或椭圆上,就能满足题设条件. 1 ? ? ≤1 ∴? t ? ?0<t<5

,∴1≤t<5.

10.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________. [答案] 2-1

[解析] 令 AB=2,则 AC=2 2, ∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2? a=1+ 2, 可得 e= =

c a

1 2+1

= 2-1.

→ → 11.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D,且BF=2FD,则 C 的离心 率为________. [答案] 2 3

→ → [解析] 解法 1:设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,如图,B(0,b),F(c,0),D(xD,yD),则BF=(c,-b),FD=(xD-

c,yD),
→ → ∵BF=2FD, 3 ? ?x =2c ,∴? b ? ?y =-2
D D

? ?c=2?xD-c? ∴? ?-b=2yD ?

.



?3c?2 ?-b?2 ?2 ? ? 2? ? ? ? ?
a
2



b

2

1 3 2 =1,即 e = ,∴e= . 3 3
2 2

解法 2:|BF|= b +c =a, → → 作 DD1⊥y 轴于点 D1,则由BF=2FD得, |OF| |BF| 2 3 3 = = ,所以|DD1|= |OF|= c, |DD1| |BD| 3 2 2
2 3c 3c ?a 3c? 即 xD= ,由椭圆的第二定义得|FD|=e? - ?=a- 2 2a ?c 2 ? 2

3c 2 2 又由|BF|=2|FD|,得 c=2a- ,整理得 3c -2a +ac=0.

2

a

2 2 2 两边都除以 a ,得 3e +e-2=0,解得 e=-1(舍去),或 e= . 3 三、解答题 12.已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程;

(2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由. [解析] 解法 1:

x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且可知左焦点为 f ′(-2,0). a b
?c=2 ? 从而有? ? ?2a=|AF|+|Af ′|=3+5=8,

解得?

?c=2, ? ? ?a=4.

又 a =b +c ,所以 b =12, 故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t. 2 3 ? ?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1 ?
2 2

2

2

2

2

x2

y2

得 3x +3tx+t -12=0.

2

2

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ =(3t) -4?3(t -12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 |t| =4,从而 t=±2 13. 9 +1 4
2 2

由于±2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在. 解法 2:

? 2+ 2=1, x2 y2 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且有:?a b a b ? ?a2-b2=4.
解得 b =12 或 b =-3(舍去).从而 a =16. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)同解法 1: [点评] 求圆锥曲线的标准方程可以用定义法,也可以用待定系数法,两种方法比较.定义法计算简单,但又不 易想到,待定系数法计算较多.但方法易于掌握,是常规方法.对于探究性问题,我们的方法都是假设存在.若真的 存在,则一定能确定参数的值.若不存在,则一定能推出矛盾,所以可以大胆假设. 13.已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是(- 2,0),( 2,0),离心率是 两点 M、N,以线段 MN 为直径作圆 P,圆心为 P. (1)求椭圆 C 的方程; 6 ,直线 y=t 与椭圆 C 交于不同的 3
2 2 2

?4

9

x2

y2

(2)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标. [解析] 本题考查了圆和椭圆的标准方程. (1)∵ =

c a

6 且 c= 2,∴a= 3,b=1. 3

∴椭圆 C 的方程为 +y =1. 3 (2)由题意知点 P(0,t)(-1<t<1),

x2

2

y=t ? ? 2 由?x 2 +y =1 ? ?3

得 x=± 3?1-t ?

2

∴圆 P 的半径为 3?1-t ?, 又∵圆 P 与 x 轴相切, ∴t= 3?1-t ?,解得 t=± 故 P 点坐标为?0,±
2

2

3 , 2

? ?

3? ?. 2?

14.设 F1、F2 分别是椭圆 +y =1 的左、右焦点. 4 → → (1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求PF1?PF2的最大值和最小值; (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点),求直线 l 的斜 率 k 的取值范围. [解析] (1)方法 1 易知 a=2,b=1,c= 3, 所以 F1(- 3,0),F2( 3,0).设 P(x,y),则

x2

2

PF1?PF2=(- 3-x,-y)?( 3-x,-y)
1 2 =x +y -3=x +1- -3= (3x -8). 4 4
2 2 2





x2

→ → 因为 x∈[-2,2],故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时,PF1?PF2有最小值-2;当 x=±2,即点 P 为椭圆长轴 → → 端点时,PF1?PF2有最大值 1. 方法 2 易知 a=2,b=1,c= 3, 所以 F1(- 3,0),F2( 3,0),设 P(x,y),则

PF1?PF2=|PF1|?|PF2|cos∠F1PF2=|PF1|?|PF2|?













→ 2 → 2 → 2 |PF1| +|PF2| -|F1F2| → → 2|PF1|?|PF2|

1 2 2 2 2 2 2 = [(x+ 3) +y +(x- 3) +y -12]=x +y -3.(以下同方法一) 2 (2)显然直线 x=0 不满足题设条件,可设直线 l ? y=kx+2.

A(x1,y1),B(x2,y2).

y=kx+2, ? ? 2 联立?x 2 +y =1, ? ?4

消去 y,整理得

1 2 2 (k + )x +4kx+3=0. 4 ∴x1+x2=- 4k
2

1 k+ 4

,x1x2=

. 1 k+ 4
2

3

1 2 2 2 由 Δ =(4k) -4(k + )?3=4k -3>0, 4 得 k> 3 3 ,或 k<- .① 2 2

→ → 又 0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?OA?OB>0. → → ∴OA?OB=x1x2+y1y2>0. 又 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k x1x2+2k(x1+x2)+4 = -8k -k +1 + +4= . 1 1 1 k2+ k2+ k2+ 4 4 4 ∴ -k +1 + >0. 1 1 2 2 k+ k+ 4 4 3
2 2 2

3k

2

2

2

即 k <4.∴-2<k<2.② 故由①②得-2<k<- 3 3 或 <k<2. 2 2
2 2

15.如图所示,已知圆 C ?(x+1) +y =8,定点 A(1,0),C(-1,0),M 为圆上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在

CM 上,且满足AM=2AP,NP?AM=0,NP?AM点 N 的轨迹为曲线 E.经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线与曲线 E 有两个
不同的交点 P 和 Q. (1)求曲线 E 的方程; (2)求 k 的取值范围; → → → (3)设曲线 E 与 x 轴、y 轴正半轴的交点分别为 D、B,是否存在常数 k,使得向量OP+OQ与DB共线?如果存在, 求 k 的值;如果不存在,请说明理由. → → [解析] (1)∵AM=2AP,∴P 为 AM 的中点. → → → → 又∵NP?AM=0,∴NP⊥AM ∴NP 为 AM 的垂直平分线 ∴|NA|=|NM|,∵|NC|+|NM|=2 2 ∴|NC|+|NA|=2 2>2 ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0)A(1,0)为焦点的椭圆,且 2a=2 2,2c=2



→ →



→ →

∴a= 2,c=1,b =1,∴E 的方程为 +y =1 2 (2)由已知条件设直线 l 的方程为 y=kx+ 2,代入椭圆方程得 +(kx+ 2) =1, 2 1 2 2 整理得( +k )x +2 2kx+1=0① 2 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 1 2 2 2 Δ =8k -4( +k )=4k -2>0 2 解得 k<- 2 2 或 k> , 2 2 2 2 )∪( ,+∞) 2 2

2

x2

2

x2

2

∴k 的范围为(-∞,-

(3)设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2) 4 2k 由方程①得 x1+x2=- 2② 1+2k 又 y1+y2=k(x1+x2)+2 2③ 而 D( 2,0)、B(0,1) →

DB=(- 2,1)
→ → → ∴OP+OQ与DB共线等价于 x1+x2=- 2(y1+y2) 将②③代入上式得 k= 由(2)知 k<- 2 . 2

2 2 或 k> 2 2

故没有符合题意的常数 k.

第六节 (一)高考目标

双曲线

考纲解读 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质. 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用. 3.理解数形结合的思想. 考向预测 1.双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点;直线与双曲线的位置关系有时也考查,但 不作为重点. 2.主要以选择、填空题的形式考查,属于中低档题目.

(二)课前自主预习
知识梳理 1.双曲线的概念 我们把平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的 等于常数(大于零且小于 )的点集合叫做双曲线,这两个定点 叫双曲线的 ,两焦点间的距离叫 . 集合 P={M|||FM1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0: (1)当 时,P 点的轨迹是 ; (2)当 时,P 点的轨迹是 ; (3)当 时,P 点 . 2.双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)

标准方程 焦点 焦距 范围 性质 对称性 顶点 轴 离心率

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1
,F2 |F1F2|= |x|≥a,y∈R 关于 (-a,0),(a,0) 实轴长 和

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 F1
,F2

c2=
|y|≥a,x∈R 对称 (0,-a),(0,a) ,虚轴长

e=

c (e>1) a

3.基础三角形 如图,△AOB 中,|OA|=a,|AB|= ,|OB|=c,tan∠AOB=,△OF2D 中,|F2D|= .

(三)基础自测
1.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( A. 6 B. 5 C. 6 2 D. 5 2 )

[答案] D [解析] 本题考查了双曲线的渐近线方程,离心率的计算,在解题时应首先考虑根据题意求得参数 a,b 的关系, 然后利用 c =a +b 求得离心率,题目定位于简单题. 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),所以其渐近线方程为 y=± x,因为点(4,-2)在渐近线上,所以
2 2 2

x2 y2 a b

b a

b 1 c2-a2 1 5 5 2 2 2 2 = ,根据 c =a +b ,可得 2 = ,解得 e = ,e= ,故选 D. a 2 a 4 4 2
2.设 P 是双曲线 2- =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x-2y=0,F1,F2 分别是双曲线的左、右焦点,若 a 9 |PF1|=3,则|PF2|等于( A.1 或 5 [答案] C 3 [解析] 由渐近线方程 y= x,且 b=3,得 a=2, 2 由双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=4, 又|PF1|=3,∴|PF2|=7. 3.设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线 的离心率为( A. 3 2 ) B.2 5 C. 2 D.3 ) B.6 C.7 D.9

x2 y2

x2 y2 a b

[答案] B [解析] 考查三角形中的边角关系及双曲线离心率的求法. 2 3 4 由题意可得 c= b,即 c2= b2, 3 3 4 2 2 c 2 2 2 2 又 b =c -a ,∴c = (c -a ),解得 e= =2. 3 a

y → → 2 4.设 F1,F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在该双曲线上,且PF1?PF2=0,则 P 点的纵坐标为( 9
A. 9 10 10 9 10 B.± 10 9 10 C.- 10 3 10 D.± 10

2

)

[答案] B [解析] 数学高考命题重视知识的相互渗透,往往在知识点的交汇处设计试题.平面向量作为代数和几何的纽带,素 有“与解析几何交汇,与立体几何联姻,与代数牵手”之美称,它与解析几何一脉相承,都涉及到数和形,对于解析 几何中图形的重要位置关系(如平行、相交、三点共线、三线共点等)和数量关系(如距离、面积、角等),都可以通过

向量的运算而得到解决. → → 设 P(x0,y0),由题意可知 F1(- 10,0),F2( 10,0),则PF1=(- 10-x0,-y0),PF2=( 10-x0,-y0), 10y0 81 9 10 2 PF1?PF2=x +y0 -10= -9=0,y0 = ,y0=± . 9 10 10 → →
2 0 2 2

5.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物线 y =16x 的焦点相同,则 双曲线的方程为__________. [答案]

x2 y2 a b

2

x2
4



y2
12

=1

[解析] 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质. 由抛物线 y =16x 的焦点坐标为(4,0),得 c=4. 又由双曲线的渐近线方程为 y=± 3x 得 = 3? b= 3a, 又∵c =a +b ,解得 a=2,b=2 3. 3 6.双曲线的渐近线方程为 y=± x,则双曲线的离心率为________. 4 [答案] 5 5 或 4 3
2 2 2 2 2 2

b a

3 b 3 a 3 b 3 c -a 9 [解析] ∵双曲线的渐近线方程为 y=± x,∴ = 或 = .当 = 时, 2 = , 4 a 4 b 4 a 4 a 16

c 5 a 3 a 9 c 5 ∴e= = ;当 = 时, 2 ,∴e= = . 2= a 4 b 4 c -a 16 a 3
7.如图,已知圆 A 的方程为(x+3)2+y2=4,定点 C(3,0),求过定点 C 且和圆 A 外切的动圆的圆心 P 的轨迹方程.

2

[解析] 依题意得|PA|-|PC|=2.又|PA|>|PC|,且|AC|=6>2.由双曲线的定义,知点 P 的轨迹是以 A,C 为焦点 的双曲线的右支,故点 P 的轨迹方程为 x - =1(x≥1). 8
2

y2

(四)典型例题
1.命题方向:双曲线的定义及标准方程 [例 1] 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [分析] 设动圆 M 的半径为 r,则|MC1|=r+r1,|MC2|=r-r2,则|MC1|-|MC2|=r1+r2=定值,故可用双曲线定 义求解轨迹方程.

[解析] 如图,设动圆 M 的半径为 r,

则由已知得|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2. ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b =c -a =14, ∴点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14
2 2 2

x2

y2

跟踪练习 1: 由双曲线 - =1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2 构成△PF1F2,求△PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点坐标 N. 9 4 [分析] 要求切点 N 的坐标,关键在于求 N 到两焦点距离之差.根据圆的切线长定理,转化为 P 到两焦点距离之差. [解析] 由双曲线方程知 a=3,b=2,c= 13. 如右图,根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a. 由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a① |NF1|+|NF2|=2c.② 2a+2c 由①②得|NF1|= =a+c, 2 ∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点 N 的坐标为(3,0). 根据对称性,当 P 在双曲线左支上时,切点 N 的坐标为(-3,0). 2.命题方向:双曲线的几何性质 [例 2] 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线方程;

x2 y2

→ → (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:MF1?MF2=0; (3)求△F1MF2 的面积. [分析] 由离心率为 2可看出它是等轴双曲线;从此隐含条件入手,可使运算变得简单. [解析] (1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x -y =λ (λ ≠0). ∵过(4,- 10)点,∴16-10=λ ,即 λ =6, ∴双曲线方程为 x -y =6. (2)证明 方法 1:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6, ∴c=2 3,∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3
2 2 2 2

m

m

kMF1?kMF2=

=- . 9-12 3
2 2

m2

m2

∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m =6,m =3. 故 → → ∴MF1?MF2=0. → → 方法 2:∵MF1=(-3-2 3,-m),MF2=(2 3-3,-m), → → 2 2 ∴MF1?MF2=(3+2 3)?(3-2 3)+m =-3+m , ∵M 点在双曲线上,∴9-m =6,即 m -3=0, → → ∴MF1?MF2=0 (3)解:△F1MF2 的底|F1F2|=4 3, △F1MF2 的高 h=|m|= 3,∴
2 2

=-1,∴MF1⊥MF2.

s

?

F 1M F 2 =6.

[点评] 双曲线的标准方程和几何性质中涉及到很多基本量,如“a,b,c,e”等,树立基本量思想对于确定双曲线 方程和认识其几何性质有很大帮助. 跟踪练习 2 双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到 4 直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5 [解析] 直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0,由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1=

x2 y2 a b

x y a b

b?a-1? b?a+1? 2ab 2ab ,同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= ,s=d1+d2= 2 = . 2 2 2 2 2 c a +b a +b a +b

4 2ab 4 2 2 2 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c -a ≥2c . 5 c 5

于是得 5 e -1≥2e ,即 4e -25e +25≤0, 5 2 解得 ≤e ≤5. 4 由于 e>1,所以 e 的取值范围是 5 ≤e≤ 5. 2

2

2

4

2

3.命题方向:直线与双曲线 2 2 [例 3] 已知曲线 C ? x -y =1 及直线 l ? y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A、B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. [解析]
?x -y =1, ? (1)由? ?y=kx-1. ?
2 2

?1-k ≠0, ? 消去 y,得(1-k )x +2kx-2=0.由? 2 2 ?Δ =4k +8?1-k ?>0, ?
2 2

2

得 k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 2k 2 由(1)得 x1+x2=- 2,x1x2=- 2. 1-k 1-k 又 l 过点 D(0,-1), 1 1 1 ∴S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|+ |x2|= |x1-x2|= 2. 2 2 2 -2 k 2 8 2 2 ∴(x1-x2) =(2 2) ,即( 2) + 2=8. 1-k 1-k ∴k=0 或 k=± 跟踪练习 3 已知中心在坐标原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; → → (2)若直线 l ? y=kx+ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA?OB>2(其中 O 为原点),求 k 的取值范围. [解析] (1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 由已知得 a= 3,c=2,∴b=1. 故所求双曲线方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 可得(1-3k )x -6 2kx-9=0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得
2 2

6 . 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

?1-3k ≠0 ? ?Δ =?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0

2



1 2 2 故 k ≠ 且 k <1① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k -9 则 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1-3k 1-3k → → 由OA?OB>2 得 x1x2+y1y2>2, 而 x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)=(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2 -9 6 2k 3k +7 =(k +1)? 2k? . 2+ 2+2= 2 1-3k 1-3k 3k -1
2 2 2

3k +7 1 2 于是 2 >2,解此不等式得 <k <3② 3k -1 3 1 2 由①②得 <k <1. 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3

2

(五)思想方法点拨:
1.双曲线方程中的 a、b、c、e 与坐标系无关,只有焦点坐标、顶点坐标有关.因此确定一个双曲线的标准方程需要 三个条件:两个定形条件 a、b,一个定位条件焦点坐标. 求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方法. 注意:当焦点位置不确定时,方程可能有两种形式,根据条件,可分别设出两种标准方程,或者将方程统一设为 mx2 +ny2=1(mn<0). 2.直线和双曲线的位置关系,在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式,求解问题的类型 也相同.唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时,不一定相切. 3.注意总结椭圆、双曲线相似的地方,例如过焦点弦问题、通径长、弦长、焦点三角形的周长、面积等,这里面蕴 含圆锥曲线的许多共性问题,注意总结以提高解题能力. 4.几种特殊情况的标准方程的设法 ①与双曲线 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ ≠0). ②渐近线为 y=± x 的双曲线方程为 2- 2=λ (λ ≠0). ③与双曲线 2- 2=1 共焦点的双曲线方程为

x2 y2 a b

x2 y2 a b

n m

x2 y2 m n

x2 y2 a b

x2

a2-λ



y2 b2+λ x2
2

=1(-b <λ <a ). +

2

2

④与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程为 5.双曲线的渐近线的斜率与离心率的互化

x2 y2 a b

y2 b -λ
2

a -λ

=1(b <λ <a ).

2

2

渐近线的斜率为± 或± ,它与离心率可通过以下关系联系起来.

b a

a b

c2 a2+b2 ?b? e2= 2= 2 =1+? ?2. a a ?a?

(六)课后强化作业
一、选择题 1.双曲线方程为 x -2y =1,则它的右焦点坐标为( A.?
2 2

) D.( 3,0)

? 2 ? ,0? ?2 ?

B.?

? 5 ? ,0? ?2 ?
y2

C.?

? 6 ? ,0? ?2 ?

[答案] C [解析] 将方程化为标准方程 x - =1 1 2 1 3 6 2 ∴c =1+ = ,∴c= ,故选 C. 2 2 2 2 已知 F1、F2 为双曲线 C ? x -y =1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°,则|PF1|?|PF2|=( A.2 [答案] B [解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理,考查计算能力. 在△F1PF2 中,由余弦定理 |PF1| +|PF2| -|F1F2| ?|PF1|-|PF2|? -|F1F2| +2|PF1|?|PF2| cos60°= = 2|PF1|?|PF2| 2|PF1|?|PF2| = 4a -4c -2b +1= +1, 2|PF1||PF2| |PF1|?|PF2|
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.4

C.6

D.8

故|PF1|?|PF2|=4.

y → → → → 2 3.设 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且PF1?PF2=0,则|PF1+PF2|等于( 9
A. 10 [答案] B [解析] 由题意知:F1(- 10,0),F2( 10,0), 2c=2 10,2a=2. → → → 2 → 2 2 2 ∵PF1?PF2=0,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =40 → → 2 →2 → 2 → → ∴(PF1+PF2) =|PF1 | +|PF2| +2PF1?PF2=40 → → ∴|PF1+PF2|=2 10. 4.双曲线 mx +y =1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( 1 A.- 4 [答案] A [解析] ∵曲线 mx +y =1 是双曲线,∴m<0,排除 C、D;
2 2 2 2

2

)

B.2 10

C. 5

D. 2 5

)

B.-4

C.4

D.

1 4

1 x 2 将 m=- 代入已知方程,变为 y - =1, 4 4 虚轴长为 4,而实轴长为 2,满足题意,故选 A. 5.设 F1、F2 分别是双曲线 2- 2=1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|, 则双曲线的离心率为( A. 5 2 ) B. 10 2 C. 15 2 D. 5

2

x2 y2 a b

[答案] B [解析] ∵|AF1|-|AF2|=2a,|AF1|=3|AF2|, ∴|AF|1=3a,|AF2|=a,且|F1F2|=2c. ∴Rt△AF1F2 中(3a) +a =(2c) ∴5a =2c , ∴e= =
2 2 2 2 2

c a

10 . 2

x2 y2 x2 y2 6.若椭圆 + =1(m>n>0)和双曲线 - =1(a>0,b>0)有相同的焦点 F1、F2,点 P 是两条曲线的一个交点,则 m n a b
|PF1|?|PF2|的值为( A.m-a [答案] A [解析] 由题意|PF1|+|PF2|=2 m, ||PF1|-|PF2||=2 a,两式平方后相减, 得|PF1|?|PF2|=m-a. 7.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线 的离心率为( A. 2 [答案] D [解析] 如图,设双曲线方程为 2- 2=1, ∴F 点坐标为( a +b ,0),B 点坐标为(0,b), 渐近线方程为 y=± x, ∴kBF?? ?=-1, 即 -b ? =-1,
2 2

) 1 B. (m-a) 2 C.m -a
2 2

D. m- a

) B. 3 C. 3+1 2 D. 5+1 2

x2 y2 a b

b a

?b? ?a?
2

a +b

2

b a

∴a a +b =b , 即 ac=c -a ,
2 2

2

2

2

?c?2-c-1=0, ?a? a ? ?
即 e -e-1=0, 1+ 5 1- 5 ∴e= 或 e= (舍去). 2 2 1+ 5 ∴e= ,故选 D. 2 8.点 P 是双曲线 -y =1 的右支上一点,M、N 分别是(x+ 5) +y =1 和(x- 5) +y =1 上的点,则|PM|- 4 |PN|的最大值是( A.2 [答案] C [解析] 如图,当点 P、M、N 在如图所示位置时,|PM|-|PN|可取得最大值,注意到两圆圆心为双曲线两焦点, 故|PM|-|PN|=(|PF1|+|F1M|)-(|PF2|-|F2N|)=|PF1|-|PF2|+|F1M|+|F2N|=2a+2=6. 二、填空题 9.双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,线段 F1F2 被点( ,0)分成 3 ? 2 两段,则此双曲线的离 a b 2 心率为________. [答案] 5 21 21 ) B.4 C.6 D.8
2

x2

2

2

2

2

2

x2 y2

b

[解析] ∵( +c)?(c- )=3 ? 2. 2 2 5 21 c 5 5 21 2 2 ∴c= b,a= c -b = b,e= = = . 2 2 a 21 21 10.点 A(x0,y0)在双曲线 - =1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2x0,则 x0=________. 4 32 [答案] 2 [解析] 由 - =1 知 a =4,b =32, 4 32 ∴c =a +b =36,∴c=6. ∴右焦点为(6,0),则由题意得
2 2 2

b

b

x2

y2

x2

y2

2

2

x0 y0 ? ? 4 -32=1, ? ? ? ?x0-6?2+y02=2x0,

2

2

2 解得 x0= 或 x0=2. 5

∵点 A 在双曲线的右支上,∴x0≥2,∴x0=2. 11.在△ABC 中,BC=2AB,∠ABC=120°,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率是________.

[分析] 先根据余弦定理用 AB、BC 表示 AC,再根据双曲线的定义和离心率的概念求解. [答案] 2+ 7 3
2 2

[解析] 设 AB=2c(c>0),则 BC=4c,根据余弦定理 AC= ?2c? +?4c? -2?2c?4c?cos120°=2 7c,

c 2c 2c 1 2+ 7 根据双曲线定义,2a=AC-BC=2 7c-4c,故该双曲线的离心率为 = = = = . a 2a 2 7c-4c 3 7-2
三、解答题 12.求下列双曲线方程 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 . 4 (2)与双曲线 - =1 有共同的渐近线,且过点(-3,2 3). 9 16 [解析] (1)当焦点在 x 轴上时, 设所求双曲线的方程为 2- 2=1,(a>0,b>0). 2b=12, ? ? 由题意,得?c 5 = , ? ?a 4

x2

y2

x2 y2 a b

5 解得 b=6,c= a, 4

9 2 2 2 2 ∴b =c -a = a =36,a=8. 16 ∴焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 - =1. 64 36 同理,可求焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 - =1. 64 36 因此,双曲线的方程为 - =1 和 - =1. 64 36 64 36 (2)设所求双曲线方程为 - =λ (λ ≠0), 9 16 1 将点(-3,2 3)代入得 λ = , 4 1 所以双曲线方程为 - = . 9 16 4 即: - =1. 9 4 4 13.已知点 A(- 3,0)和点 B( 3,0),动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C 的轨迹与直线 y=x -2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长. [分析] 求双曲线方程,联立方程组,结合根与系数的关系求弦长. [解析] 设点 C(x, y), 则|CA|-|CB|=±2, 根据双曲线的定义, 可知点 C 的轨迹是双曲线 2- 2=1.(a>0, b>0)

x2

y2

y2

x2

x2

y2

y2

x2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

x2 y2 a b

由 2a=2,2c=|AB|=2 3,得 a =1,b =2, 故点 C 的轨迹方程是 x - =1, 2
2

2

2

y2

y ? ?x2- =1 2 由? ? ?y=x-2

2

,消去 y 并整理得 x +4x-6=0.

2

因为 Δ >0,所以直线与双曲线有两个交点. 设 D(x1,y1),E(x2,y2), 则 x1+x2=-4,x1x2=-6, 故|DE|= ?x1-x2? +?y1-y2?
2 2 2

= 2? ?x1+x2? -4x1x2=4 5. [点评] (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点 的坐标不易求时,可用弦长公式.(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况. 14.设双曲线 C: 2-y =1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,若PA= PB,求 a 的值. 12 [解析] (1)将 y=-x+1 代入双曲线 2-y =1 中得(1-a )x +2a x-2a =0①
? ?1-a ≠0 由题设条件知,? 4 2 2 ?4a +8a ?1-a ?>0 ?
2

x2 a

2

x2 a

2

2

2

2

2



解得 0<a< 2且 a≠1, 又双曲线的离心率 e= 1+a
2

a



1

a2

+1,

∵0<a< 2且 a≠1,∴e>

6 且 e≠ 2. 2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). → 5→ ∵PA= PB, 12 5 ∴(x1,y1-1)= (x2,y2-1). 12 5 ∴x1= x2, 12 ∵x1、x2 是方程①的两根,且 1-a ≠0, ∴ 17 2a 5 2 2a x2=- x2 =- 2, 2, 12 1-a 12 1-a
2 2 2 2

2a 289 消去 x2 得,- , 2= 1-a 60

17 ∵a>0,∴a= . 13 15.(文)已知椭圆 点. (1)试用 b1,b2 表示△F1PF2 的面积; (2)当 b1+b2=m(m>0)是常数时,求△F1PF2 的面积的最大值. [解析] (1)如图所示,令∠F1PF2=θ . 因|F1F2|=2c,则 a1 -b1 =a2 +b2 =c . 即 a1 -a2 =b1 +b2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 x2 y2 + = 1( a > b >0) 与双曲线 - =1(a2>0,b2>0)有公共焦点 F1、F2,设 P 是它们的一个交 1 1 a12 b12 a22 b22

由椭圆、双曲线定义,得 |PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2(令|PF1|>|PF2|), 所以|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2 |PF1| +|PF2| -4c ?(a1+a2?) +?(a1-a2?) -2?(a1 -b1 ?)-2?(a2 +b2 ?) cosθ = = 2 2 2|PF1|?|PF2| 2?a1 -a2 ? =
2 2 2 2 2 2 2 2 2

b12-b22 b12-b22 = . a12-a22 b12+b22
2b1b2 . b12+b22

所以 sinθ =

1 1 2 2b1b2 2 所以 S△F1PF2= |PF1|?|PF2|sinθ = (a1 -a2 )? 2 =b1b2 2 2 b1 +b22 (2)当 b1+b2=m(m>0)为常数时

S△F1PF2=b1b2≤(

b1+b2
2

)= , 4

2

m2

所以△F1PF2 面积的最大值为 . 4 1 (理)已知定点 A(-1,0),F(2,0),定直线 l:x= ,不在 x 轴上的动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 2 倍.设点 P 的轨迹为 E,过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点,直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N. (1)求 E 的方程; (2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由. [解析] (1)由距离公式及距离列式并化简可得.(2)写出 MN 所在直线方程,并判断 K 是否存在,然后运用韦达 → → 定理及MF?FN作出判断. 1 2 2 解:(1)设 P(x,y),则 ?x-2? +y =2|x- |, 2 化简得 x - =1(y≠0). 3 (2)①当直线 BC 与 x 轴不垂直时,设 BC 的方程为 y=k(x-2)(k≠0).
2

m2

y2

与双曲线方程 x - =1 联立消去 y 得 3 (3-k )x +4k x-(4k +3)=0. 由题意知,3-k ≠0 且 Δ >0. 设 B(x1,y1),C(x2,y2), 则 x1+x2= 4k 4k + 3 ,x1x2= 2 , 2 k -3 k -3 4k +3 8k -9k - +4)= 2 . k2-3 k2-3 k -3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

y2

y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=k2(
因为 x1,x2≠-1,所以直线 AB 的方程为 y=

y1 (x+1), x1+1

1 3y1 3 3y1 → 因此 M 点的坐标为( , ),FM=(- , ) 2 2?x1+1? 2 2?x1+1? 3 3y2 → 同理可得FN=(- , ) 2 2?x1+1? -81k k2-3 3 3 9y1y2 9 → → 因此FM?FN=(- )?(- )+ = + =0 2 2 2 2 4?x1+1??x2+1? 4 4k +3 4k 4? 2 + 2 +1? k -3 k -3 ②当直线 BC 与 x 轴垂直时,其方程为 x=2, 则 B(2,3),C(2,-3),
2

AB 的方程为 y=x+1,
1 3 → 3 3 因此 M 点的坐标为( , ),FM=(- , ). 2 2 2 2 3 3 → 同理可得FN=(- ,- ). 2 2 3 3 3 3 → → 因此FM?FN=(- )?(- )+(- )? =0. 2 2 2 2 → → 综上,FM?FN=0,即 FM⊥FN. 故以线段 MN 为直径的圆过点 F.


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