东北育才学校高中部2016届高三第三次模拟数学试题(理科)


东北育才学校高中部 2016 届高三第三次模拟数学试题(理科) 时间:120 分钟 试卷满分:150 分命题:高三数学备课组 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 16 ? 0} , B ? {?5, 0,1} ,则 A. A

B??

B. B ? A

C. A

B ? {0,1}

D. A ? B

2.命题“若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题 A.若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 C.若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? 0 3.复数 z ?| A. 2 ? i 4. ? (3x 2 ? sin x)dx 等于
?1 1

B.若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 D.若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? 0

3 ?i ,则复数 z 的共轭复数为 | ?i ( i 为虚数单位) i
B. 2+i C. 4 ? i D. 4 ? i

A.0 B. 2sin1 C. 2cos1 D.2 2 ? 5.数列 an 的前 n 项和为 S n ? 2n ? 3n(n ? N ) ,若 p ? q ? 5 ,则 a p ? aq ? A.20 B.15
x

C.10

D.-5

1? ,则 log a 6.函数 f ( x) ? a ? a (a ? 0, a ? 0) 的定义域和值域都是 ?0,
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5 48 ? log a ? 6 5

7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 部分图象如图所示,若 x1 , x2 ? ( ?

?
2

)的

? ?

, ) ,且 6 3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ?
A. 1 B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 Q (1,1) 的直线 l 与曲线 y ?

x 交于 M、N 点,则 x ?1

ON ? OQ ? MO ? OQ ?
A.2 B.4 C.6 D.8

?x ? 1 ? 1 ? 9.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,向量 a ? ( y ? 2 x, m), b ? (1, ?1) ,且 a // b ,则 m 2 ? ? ?2 x ? y ? 10
的最小值为

A.-2

B.2

C.6

D.-6

10.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且

2 S ? (a ? b) 2 ? c 2 , 则 tan C 等于 3 4 4 3 A. B. C. ? D. ? 4 3 3 4 1 2 11.已知关于 x 的不等式 x ? bx ? c ? 0 (ab ? 1) 的解集为空集,则 a 1 a (b ? 2c) 的最小值为 T? ? 2(ab ? 1) ab ? 1
12.已知 f ( x) ?| x ? e | ,方程 f ( x) ? tf ( x) ? 1 ? 0 ? t ? R ? 有四个实数根,则 t 的取值范
x

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4

2

围为

e2 ? 1 A. ( , ??) e

? e2 ? 1 ? B. ? ??, ? ? e ? ?

? e2 ? 1 ? , ?2 ? C. ? ? e ? ?

? e2 ? 1 ? D. ? 2, ? e ? ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知圆 O : x ? y ? 4 ,直线 l 与圆 O 相交于点 P、Q ,且 OP ? OQ ? ?2 ,则弦 PQ
2 2

的长度为



14.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x ? ), f (2014) ? 2, 则

3 2

f (?1) =



15.设 f ? x ? 是定义在 R 上的恒不为零的函数,对任意实数 x, y ? R ,都有

1 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? x ? y? ,若 a1 ? , an ? f ? n ? ? n ? N ? ? ,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 2
的取值范围是 . 16.已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x ) ? ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? log a (4 ? x), (0 ? a ? 1) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [0,3] 的最小值为 ?2 ,求实数 a 的值.

1 sin 2 x, x ? R ,则函数 f ( x) 的最大值与最小值的差是 2

18.(本小题满分12分) 已知 a ? (1, a ), b ? (sin x, cos x) .函数 f ( x) ? a ? b 的图象经过点 ? ? , 0? . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 的最小正周期与单调递增区间.

? π ? 3

? ?

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an }的前n项和是S n ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 3 (1 ? S n ?1 )(n ? N * ) ,求适合方程 数 n 的值.

1 an ? 1(n ? N * ). 2

1 1 ? ? b1 b2 b2 b3

?

1 25 的正整 ? bn bn ?1 51

20.(本小题满分 12 分) 定长为 3 的线段 AB 的两个端点 A, B 分别在 x 轴, y 轴上滑动,动点 P 满足 BP ? 2 PA . (Ⅰ)求点 P 的轨迹曲线 C 的方程; (Ⅱ)若过点 ?1, 0 ? 的直线与曲线 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 x ? ln . 2 1? x

(Ⅰ)求证: f ( x) 图象关于点 ( , ) 中心对称;

1 1 2 2

(Ⅱ)定义 S n ?

? f (n) ? f (n) ? f (n) ?
i ?1

n ?1

i

1

2

? f(

n ?1 ) ,其中 n ? N * 且 n ≥ 2 ,求 S n ; n

(III)对于(Ⅱ)中的 S n ,求证:对于任意 n ? N * 都有 ln S n ? 2 ? ln S n ?1 ?

1 1 ? 3. 2 n n

22.(本小题满分 12 分)
x x 已知函数 f ? x ? ? e sin x ? cos x, g ? x ? ? x cos x ? 2e ,其中 e 是自然对数的底数.

π (Ⅰ)判断函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 内的零点的个数,并说明理由; 2 ? π? ? π? (Ⅱ) ?x1 ? ?0, ? , ?x2 ? ?0, ? ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,试求实数 m 的取值 2 ? ? ? 2? 范围;

(Ⅲ)若 x ? ?1 ,求证: f ( x) ? g ( x) ? 0

东北育才高中部第三次模拟数学(理科)答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求. 1.C 2.D 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 9.D 10.C 11.D 12.B 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 2 3 14.-2 15. [ ,1)

1 2

16. e

2

? e?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (Ⅰ)由 ?

?x ? 2 ? 0 ?4 ? x ? 0

得? 2 ? x ? 4

? f ( x) 的定义域为 (?2,4)
(Ⅱ) f ( x) ? log a ( x ? 2)(4 ? x) ( x ? ?0,3?) 令 t ? ( x ? 2)(4 ? x) ? ?( x ? 1) ? 9
2

……………4 分

当 0 ? x ? 3?5 ? t ? 9 当0 ? a ?1 则 log a 9 ? log a t ? log a 5

…………7 分

? f ( x) min ? log a 9 ? ?2
a2 ? 1 9
又0 ? a ?1

?a ?

1 3

综上得 a ?

1 3

………………10 分

18.解: (1)因为函数 f ( x) ? a ? b ? sin x ? a cos x 的图象经过点 ? ? , 0? ,

? π ? 3

? ?

所以 f ? ?

? ?? ? π? ? π? ? ? 0 .即 sin ? ? ? ? a cos ? ? ? ? 0 . ? 3? ? 3? ? 3?

即?

3 a ? ? 0. 2 2
……………………………4 分

解得 a ? 3 . (2)由(1)得,

?1 ? 3 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2 ? sin x ? cos x ? ?2 ? 2 ? ?
? ?? ? ? 2 ? sin x cos ? cos x sin ? 3 3? ? π? ? ? 2sin ? x ? ? . 3? ?
所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? . 因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k ? ? 所以当 2kπ ? ………………………6 分

……………………8 分

? ?

? ?? , 2k ? ? ? ? k ? Z ? , 2 2?

π π π ? x ? ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 f ? x ? 单调递增, 2 3 2 5π π 即 2kπ ? ? x ? 2kπ ? ? k ? Z ? 时,函数 f ? x ? 单调递增. 6 6
所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? 2kπ ? 19.(Ⅰ) n ? 1 时, a1 ?

? ?

5π π? , 2kπ ? ? ? k ? Z ? . ………12 分 6 6?

1 2 a1 ? 1,a1 ? 2 3

1 ? S n ? 1 ? an ? 1 1 ? 2 n ? 2 时, ? ,S n ? S n ?1 ? (an ?1 ? an ) ,? an ? an ?1 (n ? 2) 2 3 ?S ? 1 ? 1 a n ?1 n ?1 ? ? 2

?an ? 是以

2 1 2 1 1 为首项, 为公比的等比数列, an ? ? ( ) n ?1 ? 2( ) n 3 3 3 3 3

…………6 分

(Ⅱ) 1 ? S n ?

1 ( )n?1 1 1 an ? n ,bn ? log 3 (1 ? S n ?1 ) ? log 3 3 ? ?(n ? 1) 2 3

………8 分

1 1 1 ? ? bn bn ?1 n ? 1 n ? 2
1 1 ? ? b1 b2 b2 b3 ? 1 1 1 1 1 ? ( ? )?( ? )? bn bn ?1 2 3 3 4 ?( 1 1 1 1 ? )? ? n ?1 n ? 2 2 n?2
…………10 分

1 1 25 ? ? ,n ? 100 2 n ? 2 51

…………12 分

20.解: (Ⅰ) 设A ( x0 , 0) , B (0,y0 ) , P ( x, y ) , 由 BP ? 2 PA 得,( x, y ? y0 ) ? 2( x0 ? x, ? y ) ,

3 ? ? x ? 2( x0 ? x) ? x0 ? x 即? ?? 2 ,————————————————————2 分 ? y ? y0 ? ?2 y ? y ? 3 y ? 0
又因为 x0 2 ? y0 2 ? 9 ,所以 ( x) 2 ? (3 y ) 2 ? 9 ,化简得: 程。

3 2

x2 ? y 2 ? 1 ,这就是点 P 的轨迹方 4

——————————————————4 分

(Ⅱ)当过点(1,0)的直线为 y ? 0 时, OM ON ? (2, 0) (-2, 0) ? ?4 当过点(1,0)的直线不为 y ? 0 时可设为 x ? ty ? 1 ,A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 )联立

? x2 2 2t ? ? y ?1 2 2 并 化 简 得 : (t ? 4) y ? 2ty ? 3 ? 0 , 由 韦 达 定 理 得 : y1 ? y2 ? ? 2 , ?4 t ?4 ? x ? ty ? 1 ?
y1 y2 ? ? 3 ,———————6 分 t ?4
2

OM ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? (t 2 ? 1) y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1
所以

? (t 2 ? 1)
2

?3 ?2t ?4t 2 ? 1 ?4(t 2 ? 4) ? 17 17 ? t ? 1 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4 t ?4
2 2

—10 分

又 由 ? ? 4t ? 12(t ? 4) ? 16t ? 48 ? 0 恒 成 立 , 所 以 t ? R , 对 于 上 式 , 当 t

? 0 时,

?OM ON ?

max

?

1 4

综上所述 OM ON 的最大值为 21. (Ⅰ)解: f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 …………………………………………12 分 4
1 x 1 1? x ? ln ? ? ln ?1 2 1? x 2 x

所以 f ( x) 图象关于点 ( , ) 中心对称 (Ⅱ) ∵ Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ∴ Sn ? f (1 ? ) ? f (1 ? ) ?
1 n 2 n 1 n 2 n ? f( n?2 n ?1 )? f ( ) n n

1 1 2 2

……2 分 ……① ……② ……6 分
Sn ? 2 1 ? ln(1 ? ) , S n ?1 n

2 1 ? f ( )? f ( ) n n

①+②,得 2Sn ? n ? 1 ,∴ Sn ?

n ?1 (n ≥ 2, n ? N* ) 2

(III)当 n ? N* 时,由(2)知 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ? ln 于是 ln Sn ? 2 ? ln Sn ?1 ?

1 1 1 1 1 ? 3 等价于 ln(1 ? ) ? 2 ? 3 . 2 n n n n n

…7 分

3 x 3 ? ( x ? 1) 2 , x ?1 ∴当 x ? [0, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,即函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,又 g(0)=0.

令 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(1 ? x) ,则 g ?( x) ?

于是,当 x ? (0, ??) 时,恒有 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 x3 ? x 2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立. 故当 x ? (0, ??) 时,有 ln(1 ? x) ? x 2 ? x 3 成立,取 x ? ? (0, ??) , 则有 ln( ? 1) ?
1 n 1 1 ? 3 成立. 2 n n 1 n

……12 分

π 22.解: (Ⅰ)函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1 2 理由如下: 因为 f ? x ? ? e x sin x ? cos x ,所以 f ? ? x ? ? e x sin x ? e x cos x ? sin x . π ,所以 f ?( x) ? 0 , 2 π 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上是单调递增函数 2 π π 因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f ( ) ? e 2 ? 0 , 2 根据函数零点存在性定理得 π 函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2 (Ⅱ)因为不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 等价于 f ( x1 ) ≥ m ? g ( x2 ) , π π 所以 ?x1 ? [0, ], ?x2 ? [0, ] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,等价于 2 2 f ( x1 ) min ≥ ? m ? g ( x2 ) ?min ,即 f ( x1 ) min ≥ m ? g ( x2 ) max .

因为 0 ? x ?

π π 当 x ? [0, ] 时,f ? ? x ? ? e x sin x ? e x cos x ? sin x ? 0 , 故 f ( x) 在区间 [0, ] 上单调递增, 所以 x ? 0 2 2

时, f ? x ? 取得最小值 ?1 . 又 g ? ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2e x ,由于 0 ≤ cos x ≤ 1, x sin x ≥ 0, 2e x ≥ 2 ,
π 所以 g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减, 2 因此, x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 .

所以 ?1≥ m ? ? 2 ,所以 m ≤? 2 ?1. 所以实数 m 的取值范围是 ??, ?1 ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 ? .· (Ⅲ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 f ? x ? ? g ? x ? , 只要证 e x sin x ? cos x ? x cos x ? 2e x , 只要证 e x sin x ? 2 ? ? x ? 1? cos x ,
ex cos x ? x ? 1 sin x ? 2 x e cos x 下面证明 x ? ?1 时,不等式 成立. ? x ? 1 sin x ? 2

?

?

?

?

?

由于 sin x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,只要证

令 h ? x? ?

e x ? x ? 1? ? e x ex xe x ? , ? x ? ?1? ,则 h? ? x ? ? 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取得极小值也就是最小值为 1. 令k ?
cos x sin x ? 2

,其可看作点 A ? sin x, cos x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率,

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 , 由于点 A 在圆 x ? y ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交或相切,
2 2

?

?

当直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 2 故 x ? 0 时, k ? ? 1 ? h ? 0 ? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k 2 综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分


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