山东省济南市2018届高三数学上学期开学考试试题理2017091801294

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

山东省济南市 2018 届高三数学上学期开学考试试题 理
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A = A.3

{( x, y) x

2

+ y 2 = 1 , B = {( x, y) y = x} ,则 A

}

B 中元素的个数为(

)

B.2

C.1

D.0

2.若集合 A = x ? R ax 2 3x + 2 = 0 中只有一个元素,则 a = ( A.

{

}

)

9 2

B.

9 8

C. 0

D.0 或

9 8
)

3.已知命题 p : " x ? R , e x - x - 1 > 0 ,则 ?p 是( A. " x ? R, e x C. $ x0 ? R, ex0
x - 1< 0

B. $ x0 ? R, ex0 D. " x ? R, e x

x0 - 1 ? 0
x - 1? 0

x0 - 1 < 0

1 1 1 1 1 4.数列 1 , 3 , 5 , 7 ,…, ( 2n - 1) + n ,…的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2
A.n2 +1 -

)

1 2n

B.2n2 - n +1 -

1 2n

C. n2 +1 -

1 2
n- 1

D.n2 - n +1 -

1 2n

5.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共 灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏灯,且相邻两层中的 下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的顶层共有灯( A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏
x2 - 5x + 6 的定义域为( x- 3

)

D.9 盏 ) D. ( - 1,3)

6.函数 f ( x) = 4 - x + lg A. ( 2,3)

B. ( 2, 4]

C. ( 2,3)

( 3,4]

( 3,6]

7.在 △ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 △ ABC 为锐角三角形,且满足
sin B (1 + 2cos C) = 2sin A cos C + cos Asin C ,则下列等式成立的是(

)

A. a = 2b

B. b = 2a

C. A = 2B )

D. B = 2A

8.函数 f ( x) = 2x log0.5 x - 1 的零点个数为( A.1 B.2 C.3 D.4

1

骣 1 9.已知函数 f ( x) = 3x - 琪 琪 3 桫

x

,则 f ( x) (

) B.是偶函数,且在 R 上是增函数 D.是偶函数,且在 R 上是减函数 )

A.是奇函数,且在 R 上是增函数 C. 是奇函数,且在 R 上是减函数 10.函数 y = log 2 x +1 的图象大致是(

(

)

A.

B.
2

C. )

D.

ì x 2 , x ? 0,1 ? [ ] ,则 11.设 f ( x) = í ? ? 2 - x, x ? ( 1, 2]

ò f ( x) dx 等于(
0

A.

3 4

B.

4 5

C.

5 6

D.不存在 )

骣 p 12.函数 f ( x) = cos 2 x + 6cos 琪 琪 - x 的最大值为( 2 桫

A.4

B.5

C.6

D.7

13.已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 A. 57 B. 61

p ,若 a = 2 , b = 3 ,则 2a - 3b = ( 3
C. 57 D.61

)

14.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 = 4S4 ,则 a10 等于( A.

)

17 2

B.

19 2

C.10

D.12

15.设 {an } 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和,已知 a2 a4 = 1 , S3 = 7 ,则 S5 等于 ( A. )

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 16.函数 f ( x) = sin 2 x + 3 cos x -

3 4

骣 轾p 琪 x? 犏 0, 琪 臌2 桫 犏

的最大值是



17.已知函数 f ( x) = x3 + 3ax2 + 3( a + 2) x +1既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是 _______.
2

18.已知 △ ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 PA ? PB PC 的最小 值是_______. 19.函数 f ( x) = x3 - 6x2 + 9x +16 的单调递增区间是 20.设等比数列 {an } 满足 a1 + a2 = - 1 , a1 - a3 = - 3 ,则 a4 = . .

(

)

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 21. △ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,已知 sin ( A + C) = 8sin 2 (1)求 cos B ; (2)若 a + c = 6 , △ ABC 的面积为 2,求 b . 22.已知 {an } 为等差数列,前 n 项和为 S n n ? N * , {bn } 是首项为 2 的等比数列,且公比大 于 0, b2 + b3 = 12 , b3 = a4 - 2a1 , S11 = 11b4 . (1)求 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a2n b2n - 1} 的前 n 项和 n ? N * . 23.已知函数 f ( x) = ax + ln x, x ? [1, e] . (1)若 a = 1 ,求 f ( x) 的最大值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 24.设函数 f ( x) =
x2 - k ln x, k > 0 . 2

B . 2

(

)

(

)

(1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)证明:若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 1, e ù ú 上仅有一个零点. ?

(

3

数学试题(理科)参考答案 一、选择题 1-5:BDBAB 二、填空题 16. 1 20. - 8 三、解答题 21.(1)由题设及 A + B + C = p , sin B = 8sin 2 17. a > 2 或 a < - 1 18. 6-10:CABAB 11-15:CBBBB

3 2

19. ( - ? ,1) , ( 3, +?

)

B ,故 sin B = 4(1 - cos B) , 2

上式两边平方,整理得 17cos2 B - 32cos B +15 = 0 , 解得 cos B = 1 (舍), cos B = (2)由 cos B =

15 . 17

15 8 1 4 得 sin B = ,故 S△ABC = ac sin B = ac , 17 17 2 17 17 2

又 S△ ABC = 2 ,则 ac =

由余弦定理及 a + c = 6 得:
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B

= ( a + c) - 2ac (1 + cos B)
17 = 36 - 2 创 2 骣 15 琪 1+ 琪 桫 17

2

=4.
所以 b = 2 . 22.(1)设等差数列 an 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q . 由已知 b2 + b3 = 12 ,得 b1 q + q 2 = 12 ,而 b1 = 2 ,所以 q2 + q - 6 = 0 , 又因为 q > 0 ,解得 q = 2 ,所以 bn = 2n . 由 b3 = a4 - 2a1 ,可得 3d - a1 = 8 ①. 由 S11 = 11b4 ,可得 a1 + 5d = 16 ② 联立①②,解得 a1 = 1 , d = 3 ,由此可得 an = 3n - 2 .

(

)

4

所以,数列 {an } 的通项公式为 an = 3n - 2 ,数列 {bn } 的通项公式为 bn = 2n . (2)解:设数列 {a2n b2n - 1} 的前 n 项和为 Tn . 由 a2n = 6n - 2 , b2n- 1 = 2? 4n- 1 ,有 a2nb2n- 1 = ( 3n - 1) ? 4n , 故 Tn = 2? 4 5? 42 8? 43 … +( 3n - 1) ? 4n ,

4Tn = 2? 42 5? 43 8? 44 … +( 3n - 4) ? 4n

( 3n - 1) ? 4n+1 , ( 3n - 1) ? 4n+1

上述两式相减,得 - 3Tn = 2? 4 3? 42 3? 43 … + 3? 4n
12 ? 1 4n 1- 4

=

(

) - 4 - ( 3n - 1) ? 4

n +1

= - ( 3n - 2) ? 4n+1 8 .
得 Tn =

3n - 2 n+1 8 . ?4 3 3 3n - 2 n+1 8 . ?4 3 3

所以,数列 {a2n b2n - 1} 的前 n 项和为

1 x +1 23.解:(1)若 a = 1 ,则 f ( x) = x + ln x , f '( x) = 1 + = , x x
∵ x ? [1, e] ,∴ f '( x) > 0 ,∴ f ( x) 在 [1, e] 上为增函数, ∴ f ( x) max = f ( e) = e +1 . (2)∵ f ( x) ? 0 ,即 ax + ln x ? 0 对 x ? [1, e] 恒成立,

ln x , x ? [1, e] , x ln x - 1 ln x 令 g ( x) = , x ? [1, e] ,则 g '( x) = , x x2
∴a? ∵ x ? [1, e] ,∴ g '( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 [1, e] 上递减, ∴ g ( x) min = g ( e) = 24.解:(1)由 f ( x) =

1 ,∴ a ? e

1 . e

x2 k x2 - k - k ln x ( k > 0) ,得 x > 0 且 f '( x) = x - = , 2 x x

由 f '( x) = 0 ,解得 x = k (负值舍去),
f ( x) 与 f ' ( x) 在区间 ( 0, +?

) 上的变化情况如下表:

5

x
f ' ( x) f ( x)

( 0, k )
-

k

(
+ ↗
k , +?

k , +?

)

0
k ( 1 - ln k ) 2



所以 f ( x) 的单调递减区间是 0, k ,单调递增区间是

(

)

(

),
k ( 1 - ln k ) 2

f ( x) 在 x = k 处取得极小值 f

( k) =
2

k ( 1 - ln k ) 2

.
k =

(2)证明:由(1)知, f ( x) 在区间 ( 0, +? 因为 f ( x) 存在零点,所以
k ( 1 - ln k )

) 上的最小值为 f (

)



? 0 ,从而 k ? e ,

( ) ( e) = 0 , 所以 x = e 是 f ( x) 在区间 ( 1, e ù ú ? 上的唯一零点. 1 e- k 当 k > e 时, f ( x) 在区间 ( 1, e ) 上单调递减,且 f (1) = > 0 , f ( e ) = <0 , 2 2 所以 f ( x) 在区间 ( 1, e ù ú ? 上仅有一个零点, 综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 ( 1, e ù ú ? 上仅有一个零点.
当 k = e 时, f ( x) 在区间 1, e 上单调递减,且 f

6


相关文档

山东省济南市2018届高三数学上学期开学考试试题文2017091801295
山东省济南市2018届高三数学上学期开学考试试题理
山东省济南市2018届高三数学上学期12月考试试题理
山东省济南市届高三数学上学期开学考试试题理
【最新】山东省济南市届高三数学上学期开学考试试题理
山东省济南市2018届高三数学第一学期阶段考试试题 理 精
山东省济南市2018届高三数学上学期12月考试试题理201712280278
山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题理
山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题理2017090201169
山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题理201710280262
学霸百科
电脑版 | 学霸百科