2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:2.4.2(共27张PPT)_图文

2.4.2 抛 物线的简



习 目 标



维 脉 络

1.掌握抛物线的简 单几何性质. 2.能运用抛物线的 抛物线的简单几何性质 几何性质解决有关 几何性质及应用 问题. 直线与抛物线的位置关系及应用 3.掌握直线与抛物 线的位置关系.

1

2

1.抛物线的简单几何性质
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

标准方程

图形 对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 开口方向 x轴 F
p

x轴 F - 2 ,0 x=2 向左
p p

y轴 F 0, 2 y=-2 向上
p p

y轴 F 0,- 2 y=2 向下
p p

,0 2
p

原点(0,0) x=-2 e=1 向右

1

2

名师点拨 1.抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有较大差别, 它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条 准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而 称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线. 2.抛物线的焦点始终在对称轴上,抛物线的顶点就是抛物线与对 称轴的交点,抛物线的准线始终与对称轴垂直,抛物线准线与对称 轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.

1

2

【做一做1】 (1)顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4 的抛物线方程是( ) A.x2=16y B.x2=8y C.x2=±8y D.x2=±16y (2)若点(a,b)是抛物线x2=2py(p>0)上的一点,则下列点一定在抛 物线上的是( ) A.(a,-b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(b,a)

1

2

解析:(1)由已知得2=4,2p=16,所以抛物线方程为 x2=±16y.
(2)抛物线x2=2py关于y轴对称,所以点(a,b)关于y轴的对称点(-a,b) 一定在抛物线上. 答案:(1)D (2)B



1

2

2.直线与抛物线的位置关系 设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程 联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0. (1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若k=0,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对 称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛 物线相切的必要不充分条件. 特别提醒 直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公 共点;直线与抛物线只有一个公共点时,直线与抛物线不一定相切, 也有可能是相交,这时直线与抛物线的对称轴平行.

1

2

【做一做2】 (1)直线y=2x-1与抛物线x2= y的位置关系是( 2 A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 (2)过点(1,1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

1

)

= 2-1, 1 2 解析:(1)由 2 1 得 x -x+2=0. = 2 ,
因为Δ=-1<0,所以直线与抛物线相离. (2)因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以与y2=x只有一个公共点的直 线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线. 答案:(1)C (2)B

1

2

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. ( ) (2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. ( ) (3)直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( ) (4)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√

探究一

探究二

探究三

抛物线几何性质的应用

【例 1】

2 已知双曲线2

?

2

2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛

物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若双曲 线的离心率为 2,△AOB 的面积为√3,则抛物线的焦点坐标为 ( ) A.(2,0) B.(1,0) C.(8,0) D.(4,0)

探究一

探究二

探究三

2 解析:因为 =2,所以 2 x=-2,所以

=

2 +2 2 2 = 4, 于是 b = 3 a , 则 2 √3 - 2 ,- 2

= √3,故

双曲线的两条渐近线方程为 y=±√3x.而抛物线 y2=2px(p>0)的 准线方程为 A
√3 -2, 2

,B


,

则 AB=√3p,又三角形的高为2, 则 因为 p>0,所以 p=2, 故抛物线焦点坐标为(1,0).
答案:B

1 S△AOB= · ·√3p=√3,即 p2=4. 2 2

探究一

探究二

探究三

反思感悟 利用抛物线的几何性质解决问题时,要熟练掌握各种 形式的抛物线方程与其几何性质之间的对应关系,能够熟练地写出 其焦点坐标与准线方程.

探究一

探究二

探究三

变式训练1若点A(6,4)在抛物线x2=-2py(p>0)的准线上,则点A与 抛物线焦点F之间的距离等于 .

解析: 因为点 A(6,4)在抛物线 x2=-2py(p>0)的准线上,所以准 线方程为 y=4,所以焦点为 F(0,-4),所以|AF|= 62 + (4 + 4)2 =10.
答案:10

探究一

探究二

探究三

直线与抛物线的位置关系

【例2】 已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有: (1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?
思路分析将直线方程与抛物线方程联立,消去y得到关于x的方程 后,讨论根的情况,得到公共点的个数情况.

= + 1, 解由 2 得 k2x2+(2k-4)x+1=0.(*) = 4, 当 k=0 时,方程变为-4x+1=0,x=4,此时 y=1. 所以直线 l 与 C 只有一个公共点 轴.
1 ,1 4 1

,此时直线 l 平行于 x

探究一

探究二

探究三

当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程,且Δ=(2k-4)2-4k2×1=1616k, ①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交; ②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切; ③当Δ<0时,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离. 综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点; (2)当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点; (3)当k>1时,直线l与C没有公共点.

探究一

探究二

探究三

反思感悟 研究直线与抛物线的位置关系问题主要采用代数方法, 即当直线斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,抛物线的方程为 y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一 元二次方程形式Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).

≠ 0, ②有一个 > 0. 交点,即 A=0(直线与抛物线的对称轴平行,即相交); ≠ 0, (2)直线与抛物线相切?有一个公共点,即 = 0. ≠ 0, (3)直线与抛物线相离?没有公共点,即 < 0. (1)直线与抛物线相交?①有两个交点,即

探究一

探究二

探究三

变式训练2设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l 与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )

A. - ,

1 1 2 2

B.[-2,2]

C.[-1,1]

D.[-4,4]

解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,整理得ky28y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当k≠0时,由Δ=6464k2≥0,解得-1≤k≤1,所以-1≤k≤1. 答案:C

探究一

探究二

探究三

抛物线在实际问题中的应用

【例3】

如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O'P=1 m,水从喷头P喷出 后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2 m,点P距 抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计多少米?(精确到1 m) 思路分析可以以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直 角坐标系,则易得点P的坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,设 抛物线与水面的交点为B,则由点B的纵坐标求出点B的横坐标即可 得解.

探究一

探究二

探究三

解如图所示,建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 依题意有 P(-1,-1)在抛物线上,代入得 p= . 故得抛物线方程为 x2=-y.
1 2

又点 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x=√2,即 |AB|=√2 m,则|O'B|=|O'A|+|AB|=(√2+1) m,因此所求水池的直 径为 2(1+√2) m,约为 5 m,即水池的直径至少应设计为 5 m.

探究一

探究二

探究三

反思感悟 解决实际问题时,首先找到合适的数学模型,把它转化 为数学问题,通过我们学过的数学知识进行求解.利用抛物线模型 解决问题时,关键是建立坐标系得到抛物线的标准方程,一般都是 将抛物线的顶点作为坐标原点,将对称轴作为x轴或y轴建立坐标系, 其次要注意抛物线上关键点的坐标,并善于运用抛物线的对称性进 行求解.

探究一

探究二

探究三

变式训练3

如图是抛物线形拱桥,当水面到直线l时,拱顶离水面2 m,水面宽 为4 m.水位下降1 m后,水面宽为 m.

探究一

探究二

探究三

解析:建立如图所示的平面直角坐标系.

设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得 p=1,则抛物线方程为 x2=-2y.当 y=-3 时,x=±√6,故水面宽为 2√6 m.

答案:2√6

1

2

3

4

1.已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对 称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为( ) A.1 B.1或4 C.1或5 D.4或5

解析: 因为点 M 到对称轴的距离为 4,所以点 M 的坐标可设为(x,4) 或(x,-4). 又因为点 M 到准线的距离为 5, 42 = 2, = 4, = 1, 所以 解得 或 = 2 = 8. + 2 = 5,
答案:B

1

2

3

4

2.直线 y=2x+4 与抛物线 y=x2 交于 A,B 两点,则△ABO 的面积为 ( ) A.2√5 B.4√5 C.6√5 D.8√5

= 2 + 4, 2 解析:由 得 x -2x-4=0,所以 2 = , x1+x2=2,x1x2=-4,|AB|=√1 + 2 (1 + 2 )2 -41 2 =10,原点到直 线的距离
答案:B
4 1 4 d= ,S△AOB=2×10× =4√5. √5 √5

1

2

3

4

3.已知抛物线 C 的方程为 x2= y,过点 A(0,-1)和点 B(t,3)的直线与 抛物线 C 没有公共点,则实数 t 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-2√2)∪(2√2,+∞)
4

1 2

)
2

B. -∞,4

√2



√2

2

,+∞

D.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

解析:据已知可得直线 AB 的方程为 y= x-1,联立直线与抛物线 = -1, 2 4 方程,得 消元整理,得 2x - x+1=0,由于直线与抛物线无 1 2 = 2 , 公共点,即方程 2x t<-√2.
答案:D
2

4 - x+1=0

无解,因此 Δ=

4 2 - -8<0,解得

t>√2或

1

2

3

4

4.

如图所示,等边三角形OAB的边长为8 √3 ,且其三个顶点均在抛物 线E:x2=2py(p>0)上,求抛物线E的方程.

1

2

3

4

解依题意,|OB|=8√3, ∠BOy=30°. 设 B(x,y), 则 x=|OB|sin 30°=4√3,y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4√3,12)在 x2=2py 上,所以(4√3)2=2p×12,解得 p=2. 故抛物线 E 的方程为 x2=4y.


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