高一数学易错题精选 2

高一数学易错题精选 1.(2011 山东新泰一中)若集合 M={4,5,7,9} ,N={3,4, 7,8,9} ,全集 U=M∪N,则集合 Cu(M∩N)中的元素共有( A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 )

2.(2009 无锡)设集合 A={x|1/32≤2 的(-x)次方≤4} ,B={x|x ?-3mx+2m?-m-1<0}. (1)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集的个数; (2)若 B=空集,求 m 的取值范围; (3)若 B 是 A 的子集,求 m 的取值范围. 解: (1)A={x|1/32≤2 的(-x)次方≤4}={x|-2≤x≤5} 则集合 A 的非空真子集数=2×2×2×2×2×2×2×2-2=254 (2)当 B=空集时,b?-4ac=9m?-4(2m?-m-1)≤0 即(m+2)?≤0 解得 m=-2(大于大的取两边,小于小的取中间) (3)已知 A={x|-2≤x≤5},又∵B 是 A 的子集 则 当 B=空集即 m=-2 时,B=空集且 B 是 A 的子集 当 B≠空集即 m≠-2 时, ①当 m<-2 时,B=(2m+1,m-1) 要使 B 是 A 的子集, 2m+1≥-2 且 m-1≤5 则 所以 m 的值不存在 ②当 m>-2 时,B=(m-1,2m+1) 要使 B 是 A 的子集,则 m-1≥-2 且 2m+1≤5 解得-1≤m≤2 解得-3/2≤m≤6,

综上所述,知 m 的取值范围是:m=-2 或-1≤m≤2 3.设函数 y=ax+2a+1,当-1≤x≤1 时,y 的值有负有正,则实数 a 的范围为 答案为(-1,-1/3) 4.计算题:y=5/2x?-4x+3(求值域) 解:∵2x?-4x+3≥1 ∴0<1/2x?-4x+3≤1 ∴0<y≤5 5.设 f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 x·f(x) <0 的解集是 答案为(-3,0)或(0,3) 6.设函数 f(x)=x?-x+a(a>0) ,若 f(m) <0,则( ) A.f(m-1) <0 系不确定 7. 2008 年江西卷) ( 已知函数 f(x)=2mx?-2 (4-m) x+1, g(x)=mx, 若对于任意实数 x,f(x)与 g(x)至少有一个为正数,则实数 m 的 取值范围是( A.(0,2) ) C.(2,8) D.(- ∞,0) B.f(m-1) >0 C.f(m-1)=0 D.f(m-1)与 0 的关

B.(0,8)

8.(2011 海州高一模拟)若方程 5x?-7x-a=0 的一个根在区间(-1, 0)内,另一 个 在区间( 1 ,2 ) 内,求实数 a 的取值范围

答案为(0,6)

9.(2010 全国卷)直线 y=1 与曲线 y=x?-|x|+a 有四个交点,则 ade 取值范围是 答案为(1,5/4) 10.(2010 苏州押题)关于 x 的不等式 x?+9+|x?-3x|≥kx 在[1,5] 上恒成立,则实数 k 的范围为 答案为 k≤6 11. ( 2010 泰 兴 高 一 期 末 ) 下 列 几 个 命 题 , 其 中 正 确 的 是

①把函数 y=2(x-2)图像上的所有的点向左平移两个单位可以 得到函数 y=2(x)的图像; ②函数 y=(根号 x?-1)+(根号 1-x?)是偶函数,但不是奇函数; ③函数 f(x)的值域是[-2,2],则函数 f(x+1)的值域为[-3,1]; ④一条曲线 y=|3-x?|和直线 y=a(a∈R)的公共点个数是 m,则 m 的值不可能是 1. 答案为①④ 12.下列说法正确的是( )

A.矩形的中心投影一定是矩形 B.两条相交直线的平行投影不可能平行 C.梯形的中心投影一定是梯形 D.平行四边形的中心投影一定是梯形 13.两条不平行的直线,其平行投影不可能是( A.两条平行直线 B.一点和一条直线 ) D.两

C.两条相交直线

个点 14.下面说法正确的是( )

A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B.两条相交直线的直观图可能是平行直线 C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D.平行四边形的直观图仍然是平行四边形 15. 集合部分错题库 1.若全集 U ? ?0,1, 2,3?且CU A ? ?2? ,则集合 A 的真子集共有( A. 3 个 个 2.已知集合 M={(x,y)|x+y=3},N={(x,y)|x-y=5},那么集 合 M∩N 为 A.x=4,y=-1 D.{(4,-1)} 3.已知集合 A={x|x2-5x+6<0},B={x|x< a 2 },若 A B,则实 B.(4,-1) C.{4,-1} B. 5 个 C. 7 个 ) D. 8

数 a 的范围为 A.[6,+∞ ) 1,+∞) 4.满足{x|x2-3x+2=0} M {x∈N|0<x<6}的集合 M 的个数为 A.2 B.4 C.6 B.(6,+∞) C.(-∞,-1) D.( -

D.8 5.图中阴影部分所表示的集合是( A B. ( A ? B) ? ( B ? C) C. ( A ? C) ? (CU B) D. B ? [CU ( A ? C)] . )

B ? [CU ( A ? C)]

6.高一某班有学生 45 人,其中参加数学竞赛的有 32 人,参加物 理竞赛的有 28 人,另外有 5 人两项竞赛均不参加,则该班既 参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人. 7. 已 知 集 合 A ? ? x x ? N , 12 ? N ? 用 列 举 法 表 示 集 合 A 为 ? ?
? 6? x ?

8. 已知集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R? ,a 为实数 (1)若 A 是空集,求 a 的取值范围 (2)若 A 是单元素集,求 a 的值 (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围

9.判断如下集合 A 与 B 之间有怎样的包含或相等关系: (1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z}; (2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.

10.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若 B ? A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真子集个数; (3)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取 值范围.

函数概念部分错题库 1、与函数 y ? ?2x3 有相同图象的一个函数是( A. y ? ? 2x3 C.
y ? ?x ?2x



B. y ? x ?2x D. y ? x 2 ?
2 x

2、为了得到函数 y ?

f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适

当平移,这个平移是( A.沿 x 轴向右平移 1 个单位

) B.沿 x 轴向右平移 个单位

1 2 1 C.沿 x 轴向左平移 1 个单位 D.沿 x 轴向左平移 个单位 2 f (2 x ) 3、若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x) ? 的定义域是 x ?1

A. [0,1] 4、 若函数 y ? ( )

B. [0,1)

C.

[0,1) ? (1,4]

D. (0,1)

1 1 则函数 F ( x) ? f ( x) ? 的值域是 f ( x) 的值域是 [ , 3] , 2 f ( x)

A. [ 1 , 3]
2

B. [2, 10 ]
3

C. [ 5 , 10 ]
2 3

D. [3, 10 ]
3

5、已知函数 f(x)=
1 3

x2 1 ,那么 f(1)+f(2)+f( )+f(3) 2 2 1? x

+f( )+f(4)+f( )=_____. 6 、 已 知 f ( x) ? ? 。 7、已知 ? x ? 2 ?2 ?
y2 ? 1 ,求 x 2 ? y 2 的取值范围。 4

1 4

?1, x ? 0 , 则 不 等 式 x ? ( x ? 2 ) ? f (x ? 2 )? 的 解 集 是 5 ?? 1, x ? 0

8、已知 f (

2 ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

函数性质部分错题库 1.函数 f ( x) ? 1 ? 2. 函 数
1 x?m 2 f ( x) ? x ?1

在 (1, ??) 上递减,则 m 的范围是____________. 的定义域是
(?? , 1 ) ?

,则 [ 2, 5)

其值域是

____________. 3.设函数 f ( x) 的定义域为 R ,有下列三个命题: 1. 若存在常数 M ,使得对任意的 x ? R ,有 f ( x) ? M ,则 M 是 函数 f ( x) 的最大值; 2. 若存在 x0 ? R ,使得对任意的 x ? R ,且 x ? x0 ,有 f (x) ? f (x 0) , 则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的最大值; 3. 若存在 x0 ? R , 使得对任意的 x ? R , f ( ) ? ( ) 0 , f ( x0 ) 是 有 x fx 则

函数 f ( x) 的最大值; 这些命题中,真命题有____________. 4.已知函数 f ( x) 在区间[a,c]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增, 则 f ( x) 在区间[a,b]上的最小值是____________. 5.已知函数 f ( x) 在 R 上是奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? 时, f ( x) ? 2 x2 ,则 f (7) ? ____________. 6.如果函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??, 0) 上是减函数,且
f (2) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是____________. f ( x) ,当 x ? (0,2)

7.已知函数 f ( x) , g ( x) 均为奇函数,且 F ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ? 2 在 (0, ??) 上有最大值 5 (ab ? 0) , F ( x) 在 (??, 0) 上的最小值为____________. 则 8.已知定义在 (?5,5) 上的偶函数 数, 若 f (a ? 1) ?
f (2a ? 1) ,则 a 的取值范围是____________.
f ( x) 在区间 [0,?? )上是单调增函 f ( x) 在区间 [0,?? )上是单调增函

9.已知定义在 (?5,5) 上的奇函数 数,

若 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 ,则 a 的取值范围是____________. 10.设函数 f ( x) 对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? 时 f ( x) ? 0 ,
f (1) ? ?2 。 f ( x) ? f ( y) ,且 x ? 0

1. 证明 f ( x) 是奇函数。 2. 若 f (2 x ? 5) ? f (6 ? 7 x) ? 4 ,求 x 的取值范围。

指数函数部分错题库 1.下列各式中正确的是(
1 2 1 2 1 1 A. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 2 5 2 2 1 1 1 1 2 C. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 5 2 2

)
1 1 1 2 1 2 B. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 2 2 5 2 2 1 1 1 1 D. ( ) 3 < ( ) 3 < ( ) 3 5 2 2
1 1 + ] a ?1 2 (
x

2 .若a> 0,且a≠1,f(x) 是奇函数,则g(x) =f(x)[

)

A.是奇函数 C.是偶函数

B.不是奇函数也不是偶函数 D.不确定

3. 函数 y=2-x 的图像可以看成是由函数 y=2-x+1+3 的图像平 移后得到的,平移过程是( )
y ? bx y ? ax

A.向左平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 B.向左平移 1 个单位,向下平移 3 个单位 C.向右平移 1 个单位,向上平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,向下平移 3 个单位 4.设 a, b, c, d 都是不等于 1 的正数, y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 在同一坐标系中的图像如图所示,则 a, b, c, d 的大小顺序是(
A. a ? b ? c ? d B. a ? b ? d ? c C. b ? a ? d ? c

y

y ? cx y ? dx

x o



D. b ? a ? c ? d

5.若 ? 1 ? x ? 0 ,那么下列各不等式成立的是(
A.2 ? x ? 2 x ? 0.2 x D.2 x ? 2 ? x ? 0.2 x B.2 x ? 0.2 x ? 2 ? x



C.0.2 x ? 2 ? x ? 2 x

6.若方程 (

1 x 1 ) ? ( ) x ? a ? 0 有正数解,则实数 a 的取值范围是 4 2

7.已知函数 f ( x) ? (

1 1 ? )x3 2 ?1 2
x

(1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性; (3)证明: f ( x) ? 0 8.设 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

9.函数 y ? a x?2 ? 1.(a ? 0 且 a ? 1) 的图像必经过点(
A.(0,1) B.(1,1)
2 ?1)x



C.(2,0)

D.(2,2) 范

10.函数f(x) = 2 (a

是定义域为R上的减函数,则实数a的取值



围是( A.a∈R 1≤a≤1

) B.a∈R 且 a≠±1 C.-1<a<1 D.-

对数函数部分错题库 1、计算下列各式的值: (1) 2(lg
2)2 ? lg 2 ? lg5 ? (lg 2)2 ? lg 2 ?1

(2) 1 log
2

2

(2 x ? 2 x2 ? 1) ? log 2 ( x ? 1 ? x ? 1)

(3) 5log2 7?log7 8?log5 3

2、设函数 f ( x) ? log1 | log1 x | , (1)求 f ( x) 定义域; (2)若 f ( x) >0,
2 2

求 x 的取值范围;

3、 函数 f ( x) = lg 1 ? 2

x

? a ? 4x 3

在 (?? , 1] 上有意义, 求实数 a 的取值范围。

4、已知 f ( x) = log ? a
a

x

? 1? (a>0且

a≠1)

(1)求定义域; (2)讨论 f ( x) 的单调性;

5、若方程 ? lg ax ? ? lg ax ? =4所有解都大于1,求 a 的取值范围。
2

幂函数易错题库 1. 下 列 命 ( ) 题 中 正 确 的 是

A.当 n=0 时,函数 y=xn 的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) C.幂函数的图象不可能出现在第四象限 D.若幂函数 y=xn 是奇函数,则 y=xn 在其定义域上一定 是增函数 2. ( )
函数f ?x ? ? x 的图像是
2 3

3. 已知幂函数 f(x)= xn 满足 3f(2)= f(4),则 f(x)的表达式为 ________. 4. 求下列函数的定义域、值域和单调区间.

5. 比例下列各组数的大小. (1) ? 8
? 7 8

1 和?( )8 9

7



(2) (4.1) 5 , (3.8)

2

?

2 3

和(?1.9) 5 .

3

6. 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. (1)y=x ; (2)y=x ; (3)y=x-2.
?
2 5

3 4

7.已知函数y ? x m

2

? 2 m ?3 m 3

0 ? m ? ? ? 的图像关于y轴对称,且在(,? ?)上单调递减,求满足
*

? a ? 1?

?

m 3

? ? 3 ? 2a ?

?

的a的范围。

答案: 集合部分 1-5 DDACA (2)a=0or1 (3)a=0

6.20 7. ?0, 2,3, 4,5? 8.(1)a>1

9.解:(1)因 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故 A、B 都是 由奇数构成的,即 A=B. (2)因 A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}, 又 x=4n=2·2n, 在 x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在 x=4n 中,2n 只能 是偶数. 故集合 A、B 的元素都是偶数.但 B 中元素是由 A 中部分元素构 成,则有 B A. 10.解:(1)当 m+1>2m-1 即 m<2 时,B= ? 满足 B ? A. 当 m+1≤2m-1 即 m≥2 时,要使 B ? A 成立, 需?
?m ? 1 ? 2m ? 1, 可得 ?m ? 1 ? 5

2≤m≤3.综上所得实数 m 的取值范围 m≤3.

(2)当 x∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5}, 所以,A 的非空真子集个数为 2 8-2=254. (3)∵x∈R,且 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},又没有元素 x 使 x ∈A 与 x∈B 同时成立. 则①若 B≠ ? 即 m+1>2m-1,得 m<2 时满足条件; ②若 B≠ ? ,则要满足条件有: ?
?m ? 1 ? 2m ? 1, ?m ? 1 ? 2m ? 1, 或? 解之,得 ?m ? 1 ? 5 ?2m ? 1 ? ?2

m>4. 综上有 m<2 或 m>4.

函数概念部分 1-4 5、
7 2

CDBB 6、 ? x | x ? 3 ? ? ?
? 2? 28 7、 ?1, ? ? ? ? 3?

8、 f ( x) ? lg

2 ( x ? 1) x ?1

函数性质部分

指数函数部分

对数函数部分

1.(1)原式 ? lg 2(2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2) 2 ? 2 lg 2 ? 1 ? lg 2(lg 2 ? lg 5) ? | lg 2 ? 1| ? lg 2 ? 1 ? lg 2 ?1

(2)原式 ? log 2 ( x ? 1) ? 2 x 2 ? 1 ? x ? 1 ? log 2 ? log 2 ? log 2 ?1

? ?

x ?1 ? x ?1

?

? ?

x ?1 ? x ?1

?

2

? log 2

?

x ?1 ? x ?1

x ? 1 ? x ? 1 ? log 2

?

?

x ?1 ? x ?1

?

? log 2 2

(3)原式 ? 5 ? 5log5 3 ? 33 ? 27
3

lg 7 lg 8 lg 3 ? ? lg 2 lg 7 lg 5

?x ? 0 2、解: (1)依题意有 ? log x ? 0 ? x ? 0 且 x ? 1 。 ? 1 ? 2 ?

(2)由 f ( x) ? 0 ? log

1 2

log 1 x ? 0 ? 0 ? log 1 x ? 1
2 2

? ?1 ? log 1 x ? 0 或 0 ? log 1 x ? 1
2

2

?

1 ? x ? 1或1? x ? 2 2
x

3、解:依题意可知,当 x ? (?? , 1] 时, 1 ? 2 即 a ? ? ?? 1 ? ? ?
? ?
x

? 4x a ?0 3

x ?1? ? ? ? ? ? 对 x ? (?? , 1] 恒成立 ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ?

记 g ( x) ? ? ?? 1 ? ? ?

?1? ?? ? ?? 4 ? ? 2 ? ?

x

x

? ? , x ? (?? , 1] ,则 a ? g ( x)max ? ?

?? 1 ? x ? 1 ? x ? ? g ( x) ? ? ?? ? ? ? ? ? 在 ( ?? , 1] 上为增函数 ?? 4 ? ? 2 ? ? ? ?
3 ?1 1? ? 当 x ? 1 时, g ( x)max ? ? ? ? ? = ? 4 4 2? ? ?a ? ? 3 4
x x

4、解: (1)由 a ? 1 ? 0 得 a ? 1 当 a ? 1 时, x ? 0 当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 ? 定义域是: a ? 1 时, x ? ? 0, ?? ? ; 0 ? a ? 1 时, x ? ? ??, 0? (2)当 a ? 1 时,设 0 ? x ? x 则a ? a 即 a ?1 ? a ?1
1 2

x2

x1

x2

x1

?a ? 1
2

? log a (a x2 ? 1) ? log a (a x1 ? 1)
1

即 f (x ) ? f (x ) ?a ? 1 时, f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上是增函数

当 0 ? a ? 1 时,设 x ? x ? 0 则有 a ? a ? log (a ? 1) ? log (a ? 1) 即 f (x ) ? f (x ) ? 当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 ? ??, 0 ? 上也是增函数
1 2

x1

x2

x1

x2

a

a

2

1

5、解:方程 (lg ax)(lg ax ) ? 4 变形为 (lg a ? lg x) ? (lg a ? 2lg x) ? 4
2

即: 2lg

2

x ? 3lg a ? lg x ? lg 2 a ? 4 ? 0

设 ? ? lg x ,则 ? ? R 故原题化为方程所有的解大于零
?9 lg 2 a ? 8lg 2 a ? 32 ? 0 即 ?3lg a ? 0 ? ? 2 ?lg a ? 4 ? 0

解得 0 ? a ?

1 100

幂函数部分 1.答案:C 解析:A 中,n=0,y=1(x≠0). 1 B 中,y= 不过(0,0)点.

x

D 中,y= 不是增函数.故选 C.

1

x

2.答案:C 3.

∴x∈R,且 0< <1,故选 C. 3

2

解析:由题意知 3×2n=4n,∴3=2n,∴n=log23. 1 4.解: (1)2x-1≥0, ≥ . ∴定义域为[ , x +∞), 值域为[0, +∞). 在 2 2 1

[ ,+∞)上单调递增. 2 (2)x+2≠0,x≠-2,∴定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞),值 域为(-1,+∞). 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减. 5.解析:(1)? 8 则 (1) 8
8
7 ? 7 8

1

1 ? ?( ) 8 8

7

,函数 y ?

7 x8

在(0, +∞)上为增函数,又 1 ? 1 ,
8 9

1 ? ( )8, 9
? 7 8

7

从而 ? 8

1 ? ?( ) 8 . 9
2
2

7

(2) (4.1) 5 > 1 5 = 1;0< (3.8) 3 < 1 3 = 1; (?1.9) 5 <0,∴ (?1.9) 5 <
?
?

2

2

3

3

?

(3.8)

2 3

< (4.1) 5 .
2

2

6.解: (1)函数 y=x 5 ,即 y= 5 x 2 ,其定义域为 R,是偶函数,它 在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)函数 y=x ,即 y= 4 1 3 ,其定义域为(0,+∞) ,它既
? 3 4

x

不是奇函数,也不是偶函数,它在(0,+∞)上单调递减. (3)函数 y=x-2,即 y=
1 x2

,其定义域为(-∞,0)∪(0,

+∞) ,是偶函数.它在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减. 7.解:先根据条件确定 m 的值,再利用幂函数的增减性求 a 的 范围. ∵函数在(0, +∞)上递减, ∴m2-2m-3<0, 解得-1<m<3. 又 m∈N*,∴m=1,2. 又函数图象关于 y 轴对称,∴m2

-2m-3 为偶数,故 m=1,

∴a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 3-2a>0>a+1, 解得 <a< 或 a<-1. 3 2 2 3

江苏省黄埭 2010—2011 学年下学期高一数学复习 易错 85 题训练 1. 在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为 错误分析:错误认为 2.
???? ??? ? ? BC,CA ? ?C ? 60? ,从而出错.

。 ? 20

O 为平面上的定点,A、B、C

是平面上不共线的三点,若 三角形。

( OB - OC )·( OB + OC -2 OA )=0,则?ABC 是 以 BC 为底边的等腰三角形

错因:学生对题中给出向量关系式不能转化:2 OA 不能拆成 ( OA + OA )。 3. O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满 足
OP ? OA ? ? ( AB | AB | ? AC | AC | ), ? ? [0,?? ) ,则

P 的轨迹一定通过△ABC 的

心。内心 错误原因:对 OP ? OA ? ? (
AB | AB | ? AC | AC | ), ? ? [0,?? ) 理解不够。不清楚

AB | AB |

?

AC | AC |

与∠BAC 的角平分线有关。
? ?

4. 若向量 a = ?x, 2 x ? ,b = ?? 3x, 2? ,且 a、 b 的夹角为钝角,则 x 的取值 范围是______________. ? ? ?, ? 1 ? ? ? ? 1 ,0 ? ? ? 4 ,?? ? . ? ? ? ? ? ? ?
? 3?
? 3 ? ?3 ?

? 错误分析: 只由 a , b 的夹角为钝角得到 a ? b ? 0, 而忽视了 a ? b ? 0 不是
? ? ? ? ? ? a , b 夹角为钝角的充要条件,因为 a , b 的夹角为 180? 时也有 a ? b ? 0, 从

? ?

?

? ?

而扩大 x 的范围,导致错误. 5. 已 知
O

为 坐 标 原 点 , om ? ?? 1,1?, nm ? ?? 5,5?, 集 合
?A

A ? or | rn ? 2 , op, oq

?

?

, 且 mp ? ? mq?? ? R, 且? ? 0?,则 mp? mq ?

。46 错误原因:看不懂题意,未曾想到数形结合的思想。 6. 在 ?ABC 中,已知 AB ? ?2,3?, AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 的一个内角为直角, 则实数 k 的值为 .
k?? 2 11 或 k ? 3 ? 13 或 k ? . 3 3 2

错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸 情况的讨论. 7. 已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0),A(3,0),B(0,3), 且 P 在线段 AB 上, AP =t AB (0≤t≤1)则 OA · OP 的最大值为 。9 错因:学生不能借助数形结合直观得到当?OP?cos?最大时,
OA · OP

即为最大。

8. 已知向量 M={ a ? a =(1,2)+?(3,4) ??R}, N={ a ? a =(-2,2)+

?(4,5) ??R },则 M?N=

。 ?(?2,?2)?

错因:学生看不懂题意,对题意理解错误。 10. 过△ABC 的重心作一直线分别交 AB,AC 于 D,E,若 AD ? x AB,
1 1 AE ? y AC ,( xy ? 0 ),则 ? 的值为 x y

。4

分析:特殊值法。 11. 已知 k ? Z , AB ? (k ,1), AC ? (2, 4) ,若 AB ? 10 ,则△ABC 是直 角三角形的概率是
???? ?

??? ?

??? ?

???? ?



3 7

分 析 : 由 AB ? 10 及 k ? Z 知 k ? ??3, ?2, ?1,0,1,2,3? , 若
??? ? ??? ? AB ? (k , 与AC ? 1 ) ? ? ? B ? C ? A ?

垂 ) ( 2 , 4直





2k ?

3? k0?

? ;

2若 ?

? ? ? ???? ? ? ? ? ? B ? A 与 AB 3 ?k ,1) 垂直,则 k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? ?1或3 , ( 2 C ,? ? (k )
3 7

所以△ABC 是直角三角形的概率是 . 12. 不等式 ( x ?1) x ? 2 ? 0 的解集 ?1,??? ? ?2? 13. 函数 y=lg(-x2+5x+24)的值小于1,则 x 的取值范围为 ___ (?3,?2) ? (7,??) ______ 14. 设 k∈R , x1 , x2 是方程 x2-2kx+1-k2=0 的两个实数根, 则 x 12 +x 2 的最小值为__________1 2 15. 已知 A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若 A∩M=φ, 则实数 P 的取值范围__________. 【解】分A= ? 与A ? φ两情况,最终可求出 p ? ?6 . 16. 若不等式(a2-3a+2) x2+(a-1)x+2>0 恒成立,则 a 的取值范 围__________.

解: ?

?a 2 ? 3a ? 2 ? a ? 1 ? 0 或 ?2 ? 0

?a 2 ? 3a ? 2 ? 0 15 解得: a ? 或a ? ? 7 ?? ? 0

17. 已知两个点A(-3,-1)和B(4,-6)分布在直线-3x+2y+a=0 的 两侧,则 a 的取值范围为 (-7,24) 18. 给出平面区域如图所示, 若使 标函数 Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则 为 ______
3 5
O y C(1, 22 ) 5 A(5,2) B(1,1) x



a值

19. 若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 4 y 的最小值是______(答: 2 2 ) ; 20. 若 a , b 是正常数, a ? b , x, y ? (0, ??) ,则 a
x y
2

x

?

b 2 ( a ? b) 2 ? y x? y

,当且仅
9 x 1 ? 2x

当 a ? b 时上式取等号. 利用以上结论, 可以得到函数 f ( x) ? 2 ? (
1 x ? (0, ) 2

)的最小值为
1 5

,取最小值时 x 的值为

.25 ,

21. 已知关于 x 的不等式组 1 ? kx2 ? 2 x ? k ? 2 有唯一实数解,则实数
k 的取值集合

.{

1? 5 , 2} 1? 2

22. 已知 cos? ? tan? ? 0,那么角?是 第 角.

象限

解: cos ? ? tan ? ? cos ? ? ?

sin ? ? sin ? ? 0 且 cos ? ? 0 cos ?

? 角?是第三或第四象限角

说明:本题考查了正、余弦函数与正切函数转化关系以及由三角 函数值判断角所在的象限. 23. .
解: ?sin ? ? cos? ? ? 1 ? sin 2? ? ?
2





s 2? ?

2 , ? ? ?0, ? ?, 则n ? ? c ?i ? i s 3

o

n

s

5 3

? sin ? ? cos? ? ?

15 3 2 ? 0, ? ? ?0, ? ? 3

又 ? sin 2? ? 2 sin ? cos? ?

? sin ? ? 0, cos? ? 0 ? sin ? ? cos? ? 15 3

说明:本题考查了倍角公式的应用,在公式应用是注意符号 的取舍,特别关注的是角的范围. 24. .
解: 4 ? ? cos4 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 3 ? 2 sin 2 ? ? 1 ? ? cos 2? ? ? 5





c

3 2? ? , 则 s o 5

4

4 ? ? c s i?的

o

n 值

s

?

??

?

说明:本题通过降冪联想到三角函数的基本公式
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 和倍角公式进行化简求值.

25. 要 得 到 函 数 y ? sin x的图像, 需 将 函 数 只 .

?? ? y ? co?x ? ? s 3? ?

的图像

解:y ? cos? x ? ? ? ? sin? x ? ? ? , ? ? ? ? 图像向右平移 个单位就得到 y ? sin x
? 3? ? 6?

? 6

的图像. 说明:本题考查三角函数的平移变换,掌握“左加右减”法则, 以及正余弦之间的转化是解决问题的关键.
? 26. 已 知 f ?x ? ? s i n ?x ? ? ??? ? ? ? 3? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 0?, f ? ? ? f ? ?, 且f ?x ?在 区 间 , ? ? ?6? ?3? ?6 3?

有最

小值,无最大值,则? ?
?? ? ? ? 解:由题意得: ? 6 3 f ? 2 ? ? ? ? 3? ? ?? ? ? 2k? 4 3 2 14 ? ? ? 8k 3
又? 2?


? ? ? ? f ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3? ? ?4? ?4 ? ?

? ? 12
?? ?

?

?

?
3

?

?
6

?

?
6

14 3

说明:本题考查正弦的对称轴及周期,以及正弦图像的知识。 27. 将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ………………

15

按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为

解:前 n-1 行共有正整数

n2 ? n 1+2+…+(n-1)个,即 2 n2 ? n 2

个,

因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第
n2 ? n ? 6 2 .

+3 个,即为

点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于 求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推 理能力。 28. 数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+1,则 an=______ 答案:an= ? ?
2
n ?1 n?2

?2 n ? 1

点评:误填 2n-1,忽略“an=Sn

-Sn-1”成立的条件: “n≥2” 。 29. 已知{an}为递增数列,且对于任意正整数 n,an+1>an 恒成立, an=-n2+λn 恒成立, 则λ的取值范围是________ 答案:λ>3 点评:利用二次函数单调性讨论较繁,且易错, 利用 an+1>an 恒成立较方便。

30. 已知数列—1,a1,a2,—4 成等差数列,—1,b1,b2,b3,—4 成等比数列,则
1 2

a2 ? a1 b2

的值为________

答案: 忽略 b2 为等比数列的第三项,b2 符号与—1、—4 同号 31. 数列 {an } 的前 n 项和 sn ? n 2 ? 2n ? 1, 则a1 ? a3 ? a5 ? ? ? ? ? a25 ? 答案:350 首项不满足通项。

32. 在等差数列 {an }中a10 ? 0, a11 ? 0, 且a11 ?| a10 | ,则在 Sn 中最大的负 数为 答案:S19 33. 在 等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。

1 和 n ? 1之间插入 n

n 个正数,使这 n+2 个正数成等比数列,

则插入的 n 个正数之积为______ 答案:
( n ?1 2 ) 无法探求问题实质,致使找不到解题的切入点 n
n

34. 已知 f (n ? 1) ?

f ( n) ? 1 (n?N*), f (1) ? 2 ,则 f (2007) ? f ( n) ? 1

_______

解:

f (n ? 1) ? 1 ?1 f (n) ? 1 f (n ? 1) ? 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ?? , , f (n ? 2) ? ? f (n) ? 1 f (n ? 1) ? 1 f (n ? 1) f ( n) ?1 f (n ? 1) ? 1
1 ? f (n), f (n ? 2)

? f (n ? 4) ? ?

即 f (n) 是以周期为 4 的数列,
1 1 ?? f (1) 2

所以 f (2007) ? f (2004? 3) ? f (3) ? ?

35. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2—16n—6,求数列{|an|}的前 n 项和 Sn’

答案:Sn’=

—n2+16n+6 n2—16n+134

n≤8 时 n>8 时 运用或推导公式

时,只考虑一般情况,忽视特殊情况,导致错解。 36. 在数列 {an } 中,1 ? 3 , 且对任意大于 1 的正整数 n , ( a,n a)n?1 点 a 在直线 x ? y ? 3 ? 0 上,则 an =__________________ 解:点 ( an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 3 ? 0 ,即 所以
a n ? a n?1 ? 3 ,又 a1 ? 3 ,

?a ?是以
n

3

为首项,

3

为公差的等差数列,故

an ? 3 ? (n ?1) ? 3 ,

即 an ? 3n 2 37. 已知 12 ? 2 2 ? 32 ? ?? n 2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ,则
6

数列 1? 2,2 ? 3,3 ? 4, ?, n(n ? 1) 的前 n 项和为: 解:数列 1? 2,2 ? 3,3 ? 4, ?, n(n ? 1) 的通项为: an ? n(n ? 1) ? n 2 ? n . 所以: S n ? a1 ? a2 ? ?? an ? (12 ? 2 2 ? ?? n 2 ) ? (1 ? 2 ? ?? n) ?
n(n ? 1)(n ? 2) 1 1 n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 6 2 3

38. 设 f ( x) ? ( x ?1) 3 ? 1 ,利用课本中推导等差数列的前 n 项和的公式 的方法,可求得 f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为: 解:课本中推导等差数列的前 n 项和的公式的方法即为“倒序 相加法” . 令 f (?4) ? f (?3) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) ? S 则也有 f (6) ?
f (5) ? ? ? f (0) ? ? ? f (?3) ? f (?4) ? S

① ②

由 f ( x) ? f (2 ? x) ? ( x ?1)3 ? 1 ? (1 ? x)3 ? 1 ? 2 可得: f (?4) ? f (6) ?
f (?3) ? f (5) ? ? ? 2 ,于是由①②两式相加得

2S ? 11? 2 ,所以 S ? 11

39. 对正整数 n,设曲线 y ? xn (1 ? x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交点 的纵坐标为
an

,则数列

{

nan } n ?1

的前 n 项和的公式是

解: y ? x n ? x n?1 , k ? y '

x ?2

? n2 n?1 ? (2n ? 2) ? 2 n?1 ? ?(n ? 2)2 n?1 ,切点为 (2,?2 n ) ,

切线方程点斜式为: y ? 2 n ? ?(n ? 2)2 n?1 ( x ? 2) ,令 x ? 0 得 an ? (n ? 1)2 n , 令 bn ? nan ,则 bn ? n ? 2 n ,令 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
n ?1

由错位相减法可得: S n ? 2 ? (n ? 1)2 n?1 40. 数列 {an } 满足 an?1 ? {
2a n ,0 ? an ? 1 2

1 2a n ? 1, ? a n ? 1 2

,若 a1 ? ,则 a2 0 0 4的值为
6 7

答案:C

方法:找规律,解数列常见方法

41. 设{a n }是等差数列, n }为等比数列,其公比 q≠1, {b 且 b i >0(i=1、2、3 …n) 若 a 1 =b 1 ,a 11 =b 11 则 a 与 b 的大小
6 6

关系为 错因:学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基 本不等式。 42. 某人为了观看 2008 年奥运会, 2001 年起每年 5 月 10 日 从 到银行存入 a 元定期储蓄,若年利率为 p 且保持不变,并且 每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期,到 2008 年 将所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)

为 正确答案:


a [(1 ? p) 8 ? (1 ? p) ] p

错因: 学生对存款利息的

计算方法没掌握。 43. 定义一个“等积数列” 在一个数列中,如果每一项与它后一 : 项的积都是同一常数,那么这个数列叫“等积数列” 这个常数叫 , 做这个数列的公积. 已知数列 {a n } 是等积数列,且 a1 ? 2 ,公积为 5,则这个数列 的前 n 项和 S n 的计算公式为:
2 2 2



解:这个数列为 2, 5 ,2, 5 ,2, 5 ,…,若 n 是偶数,则
Sn ? n n 5 9n ,若 n 是奇数,则 S n ? n ? 1 ? 2 ? n ?1 ? 5 ? 9n ?1 .故 ?2? ? ? 2 2 2 4 2 2 2 4

? 9n n是正偶数 , ? ?4 Sn ? ? ? 9n ? 1 n是正奇数 . ? 4 ?

44. 函数 y ? x ln x 的单调减区间为
1 e



解答:y ' ? 1 ? ln x , y ' ? 0 ? x ? , 令 函数 y ? x ln x 的定义域为 ?0,??? ? 函数 y ? x ln x 的单调减区间为 ? 0, ?
1? ? ? e?

说明:此题考查基本函数的导数及导数的运算法则 45. 一个膨胀中的球形气球,其体积的膨胀率恒为 0.3m 3 / s ,则但 其半径增至 1.5m 时,半径的增长率是 解答:
3 10?

.

说明:考查对导数概念的理解能力
2) 46. 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ?1 在 (0, 内单调递减,则实数 a 的范围为

____________. 解答:法 1: (分离参数法) ∵函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ?1 在 (0, 内单调递减, f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ≤ 0 在 (0, ∴ 2) 2) 内恒成立. 即 a≥
3 x 2

2) 在 (0, 内恒成立.∵ t ?

3 x 在 ? 0,? 上的最大值为 2 2

3 ? 2 ? 3 ,∴ a ≥ 3 . 2

法 2: (数形结合法)∵ f ?( x) ? 3x2 ? 2ax (为二次函数)如图 3,
2) 要使 3x2 ? 2ax ≤ 0 在 (0, 内恒成立,只需对称轴 ?
?2 a ≥1, 2?3

即 a≥3. 说明:此题考查利用导函数的正负判断原函数的单调性 47. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ?
f ?( x) 的图象如下图所示,则

y ? f ( x) 的图象最有可能的是:_______(序号)
y
y y y y

2

O

1

2

x

O 1

2

x

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(1) (4) 解答: (3)

(2)

(3)

说明:此题考查了原函数与导函数图像之间的关系

48. 已知函数 f ( x) ? x( x ? c)2 在 x ? 3 时取得极大值,则 c ? 解答:9 说明:考查对极大值含义的理解 49. 已 知 集 合

P ? { y | y ? ? x2 ? 2,x ? R}, ? { y | y ? ? x ? 2, x ? R}, P ? Q ? Q 则

?y y ? 2?

说明:理解代表元的意义,这是个易错点,需要强化.如 {y|y=x2}、 {x|y=x2}、 {(x,y)|y=x 2}就表示完全不同的三个集 合,它们分别表示[0,+∞ ) ,R 两个数集及抛物线 y=x2 上的 点集。避免如下错误:{y|y=x 2}∩{y|y=2x}={(2,2)、(4,4)}。 50. 已知集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? , B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? .若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是(2,3). 解:集合 A ? ? x | x ? a ≤ 1? ={x| a-1≤x≤a+1},B ? ? x x 2 ? 5 x ? 4 ≥ 0? ={x|

x≥4 或 x≤1 }.又 A ? B ? ? ,∴
范围是(2,3)。 说明:通过数轴进行集合包含关系的运算,要注意端点的“开闭”. 变式: 若 A ? B ? ? ? 51. 设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a ] 上的最大值与最小值之 差为 ,则 a ? 4
1 2
? 解: a ? 1 ,函数 f ( x) ? loga x 在区间 [a, 2a] 上的最大值与最小值分别

?a ? 1 ? 4 ,解得 ? ? a ?1 ? 1

2<a<3,实数 a 的取值



loga 2a,log a a ? 1 ,它们的差为

1 2

, ∴

log a 2 ?

1 , a ? 4. 2

说明:注意底数的取值范围,它影响函数的单调性. 变式: 将条件 a ? 1 去掉. 52. “ x ?1 ? 2 成立”是“ x( x ? 3) ? 0 成立”的必要不充分条件 说明:小范围可以推大范围, 大范围不能推小范围. 53. 已知 p : 不等式 | x | ? | x ? 1 | >m的解集为R,q : f ( x) ? ?(7 ? 3m) x 是减函数, 如果两个命题有且只有一个正确,则实数 m 的取值范围为 ?1,2? 说明:会在数轴上理解绝对值的几何意义,分类讨论思想. 54. 函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R, 且x ? 1} ,已知 f ( x ? 1) 为奇函数, 当 x ? 1 时, ( x) ? 2x2 ? x ? 1, 则当 x ? 1 时, f ( x) 的递减区间是 [ f
7 , ??) 4

说明:函数的单调性、奇偶性是高考函数题的重点考查内容, 本题主要考查对单调性和奇偶性的理解,判断函数奇偶性 和求函数单调区间的基本方法以及函数解析式的求解方法 的掌握. 55. 设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x? ? f ? x ? 2? ? 13 ,若 f ?1? ? 2 , 则 f ?99? ?
13 2

说明:函数的周期性是高考函数题的重点考查内容,几个重要 的周期公式要熟悉,如: (1)f(x+a)=f(x-a),则 T=2a. (2)f(x+a)=-
1 ,则 f ( x)

T=2a 等.

56. 若 f(x)=log a (2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围

是 分析:本题必须保证:①使 log a (2-ax)有意义,即 a>0 且 a≠1, 2-ax>0.②使 log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数.由于所给函 数可分解为 y=log a u, u=2-ax, 其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数, 所以必须 a>1;③[0,1]必须是 y=log a (2-ax)定义域的子集. 解:因为 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,所以 f(0)>f(1), 即 log a 2>log a (2-a).

说明: 本题综合了多个知识点, 需要概念清楚, 推理正确. (1) 复合函数的单调性;(2)真数大于零. 57. 已知 f(x+199)=4x 2 +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为 2 . 分析:由 f(x+199)的解析式求 f(x)的解析式运算量较大,但这里 我们注意到,y=f(x +100)与 y=f(x),其图象仅是左右平移关系, 它们取得

求得 f(x)的最小值即 f(x+199)的最小值是 2. 说明:函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的, 是“互相利用”关系,函数图象在判断函数奇偶性、单调性、 周期性及求最值等方面都有重要用途. 变求 f(sinx)的最小值为_____

58. 方程 lgx+x=3 的解所在区间为 (k ? 1 , k ? 1 )(k ? Z ) ,则 k 的值为
2 2

分析:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的 图象.它们的交点横坐标 x0 ,显然在区间(1,3)内,由于画图精 确性的限制,单凭直观就比较困难了.实际上这是要比较 x0 与 2 的大小.当 x=2 时,lgx=lg2,3-x=1.由于 lg2<1,因此 x0 >2, 从而判定 x0 ∈(2,3) 说明:本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解 所在的区间.数形结合,要在结合方面下功夫.不仅要通 过图象直观估计,而且还要计算 x0 的邻近两个函数值,通 过比较其大小进行判断. 59. 若关于 x 的不等式 4 x ? 2 x?1 ? a ? 0 在 ?1,2? 上恒成立,则实数 a 的取 值范围为 a ? 0 说明:换元法,恒成立问题的常规解法,转化为二次函数的最 值. 60. 设
(?1, 0)
f ( x) ? lg( 2 ? a ) 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 1? x

解:依题意,得
f ( x) ? lg 1? x 1? x

f (0) = 0 , 即 lg( 2 ? a) = 0 , 所 以 , a

=-1,


1? x ? 1 ,解得:-1<x<0. 1? x

又 f ( x) ? 0 ,所以, 0 ?

说明:f(x)是奇函数且在 x=0 有定义,则 f(0)=0. 61. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为 1200 辆,6000 辆 和 2000 辆。为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽 取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取 , 辆。 ,z

解:1200 + 6000 + 2000 = 9200;46 : 9200 = 1 : 20; 1 1 1 ? 1200 ? 20 = 6,6000 ? 20 = 30,2000 ? 20 = 10。 命题意图:本题考查分层抽样 62. 甲、 乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如 下(单位:t / hm2) 品种 甲 乙 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 甲 。 10.2 9.8

其中产量比较稳定的小麦品种是

1 解:?甲 = 5 ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0, x 1 ?乙 = 5 ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0; x 2 1 s甲 = 5 ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02,
2 s 乙 = 5 ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 。

1

命题意图:本题考查从样本数据中提取基本的数字特征(如 平均数、标准差) ,并作出合理的解释. 63. 图 1 是某县参加 2007 年高考的学生身高条形统计图, 从左到右的各条形表示的学生人数依次记为 A1、A2、…、 A10(如 A2 表示身高(单位:cm)?150,155? 内的学生人数) 。 图 2 是统计图 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法 流程图。现要统计身高在 160~180cm(含 160cm,不含 180cm))的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写 的条件是__________________

【解】 i ? 8

方法一: S ? A4 ? A5 ? A6 ? A7 ;

方法二:现要统计的是身高在 160-180cm 之间的学生的人数, 即是要计算 A4、A5、A6、A7 的和,故流程图中空白框应是 i<8,当 i<8 时就会返回进行叠加运算,当 i ? 8 将数据直接输

出,不再进行任何的返回叠加运算,此时已把数据 A4、A5、 A6、A7 叠加起来送到 S 中输出,故 i ? 8 。 64. 执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ? ______ .

【标准答案】4. 【试题分析】
1 1 1 ? ? ? 0.8 ,因此输出 n ? 4. 2 4 8

【高考考点】程序框图 【易错提醒】没有注意到控制变量 n ? n ? 1 在 S ? S ? n 之后误填 3。 .... .. 2
1

65. 给出下列程序:

i←1
While i<7

i←i+2
s←2i+3 End While Print s End 其运行后,输出结果为 . 【答案】2

66. 设 ? ? ( , ? ) , 则 直 线 x c o s ? y s in ? 1 ? 0 的 倾 斜 角 是 ? ? 2

?

??

?
2

67. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 2a cos? ? 2ay sin ? ? a 2 sin 2 ? ? 0 截 x 轴所得 弦长为 16,则 a 的值是
?8
? ?

68. 已知函数 f(x)=m?x-1?(m?R 且 m?0)设向量 a ? (1, cos 2? ), ? (2,1) , b
?
? 1 ? c ? (4 sin? ,1) , d ? ( sin? ,1) ,当??(0, 4 2

)时,比较 f( a ? b )与 f( c ? d )的大
? ? ? ?

小。 解: a ? b =2+cos2?, c ? d =2sin2?+1=2-cos2?
? ? ? ?

f( a ? b )=m?1+cos2??=2mcos2?
? ?

f( c ? d )=m?1-cos2??=2msin2?
? ?

于是有 f( a ? b )-f( c ? d )=2m(cos2?-sin2?)=2mcos2?
? ? ? ?

∵??(0, ? )
4

∴2??(0,

? 2

)

∴cos2?>0
? ? ? ?

∴当 m>0 时,2mcos2?>0,即 f( a ? b )>f( c ? d ) 当 m<0 时,2mcos2?<0,即 f( a ? b )<f( c ? d )
? ? ? ?

69. 已知向量 a ? (mx 2 ,?1), b ? (

1 , x) (m mx ? 1

为常数) ,且 a , b 不共线,

若向量 a , b 的夹角< a , b >为锐角,求实数 x 的取值范围. 解:要满足< 只须
a ? b a , b a ? b

>为锐角 >0 且
a ?? b

(? ?R )

mx 2 ?x mx ? 1 2 2 = mx ? mx ? x mx ? 1 = x ?0 mx ? 1

=

即 x (mx-1) >0

1°当 m > 0 时 x<0 或 x ? 1 2°m<0 时 x ( -mx+1) <0
x? 1 或x ? 0 m
m

3°m=0 时只要 x<0 综上所述:m> 0 时, x ? (??,0) ? ( 1 ,??)
m

m = 0 时, x ? (??,0) m < 0 时, x ? (??, 1 ) ? (0,??)
m

70.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ? , ?
2

?

?

? ?

?

2 5 5



?

?
2

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 13

的值.

解(Ⅰ)? a ? ? cos ?, ? ?,? ? cos ?, ? ? , sin b sin
? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, ? ? sin ? ? . sin
? ? 2 5 ? a ?b ? , 5 ?

?

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 5

,



2 ? 2 c o? ? ? ? ? ?s

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

,?

?
2

4 . 5

? cos ?? ? ? ? ?

3 . 5

? ? ? 0,? 0 ? ? ? ? ? ? .

? cos ?? ? ? ? ?

3 4 ,? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 5 12 ? sin ? ? ? ,? cos ? ? . 13 13

? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? ?

? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ?

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? . 5 13 5 ? 13 ? 65

71. (1).已知函数 y=x+
5 4

16 (x>-2), x+ 2

求此函数的最小值.

(2)已知 x< , 求 y=4x-1+

1 的最大值; 4x - 5

(3)已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=20 , 求 xy 的最大值; (4)已知 x , y∈R+ 且 x+2y=1 , 求
1 1 + 的最小值. x y

答案: (1) y 的最小值为 6(x=2) . (2) y 的最大值为2(x=1). (3) xy 的最大值为 (4)
20 7

(x=2,y=

10 ). 7

1 1 2 + 的最小值为 3 ? 2 2 ( x ? 2 ? 1, y ? 1 ? x y 2

).

变:已知 x>0 , y>0 , 且 5x+7y=xy , 求 x+y 的最小值; 72. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3, 深为 3m, 如果池底每 1m2 的造价为 150 元, 池壁每 1m2 的造价 为 120 元, 问怎样设计水池能使总造价最低, 最低总造价是多少 元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函 数关系式,然后求函数的最值,其中用到了均值不等式定理. 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元, 根据题意,得

l = 240000 + 720 ( x +

1600

x

) ≥ 240000 + 720 ×

2



1600

x
1600 ,即 x=40

=240000+720×2×40=297600 当 x= 时,l 有最小值 297600

x

因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造 价最低,最低总造价是 297600 元. 73. 解关于 x 的不等式 a ? x ? 0(a ? R)
x?2

2 74. 已知函数 f ( x) ? 4sin x sin ( ? ) ? cos 2 x

? x 4 2

? (1)设 ? ? 0 为常数,若 y ? f (? x) 在区间 ? ?

? 2? ? , ? 上是增函数, ? 2 3?

求 w 的取值范围 (2)设集合 A ? ? x 的取值范围。 答案: (1)
? 1 ? cos( ? x) 2 f ( x) ? 4sin x ? ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 2
? 2 3 ?

? ? 2? ? ? x ? ? ; B ? x f ( x) ? m ? 2 3? ? 6

?

? ,若 A ? B ,求实数 m

? f (? x) ? 2sin ? x ? 1 在 ?? ? , 2 ? ? 上是增函数。 ? ?
2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 3? ? ?? , ? ? ?? , ? ,即 ? ,?? ? ? 0, ? 3 2? ? 2 3 ? ? 2? 2? ? ? 4?

(2)由 f ( x) ? m ? 2 得: ?2 ? f ( x) ? m ? 2 ,即 f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2
? A ? B,?当 ? X ? ? 时, f ( x) ? 2 ? x ? f ( x) ? 2 恒成立。
? 6
2 3

?? f ( x) ? 2?max ? m ? ? f ( x) ? 2?min

又 x??

? ? ? ? 2? ? , ? 时, f ( x)max ? f ( ) ? 3; f ( x)min ? f ( ) ? 2 2 6 ?6 3 ?

?m? ( 1 , 4 )

75. 已知二次函数 y ? f (x) 的图像经过坐标原点,其导函数为
f ' ( x) ? 6 x ? 2
y ? f (x )

,数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, S n ) (n?N*) 均在函数

的图像上.

(Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? a
3 n a n ?1
m ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 20 对所

有 n?N*都成立的最小正整数 m ; 解: (Ⅰ)依题设 f ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0) ,由 f ' ( x) ? 2ax ? b 又由 f ' ( x) ? 6 x ? 2 得
a ? 3 b ? ?2

,

,∴ f ( x) ? 3x2 ? 2x ,所以 Sn ? 3n2 ? 2n ,

当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? [3(n ? 1)2 ? 2(n ? 1)] ? 6n ? 5 , 当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 3 ?12 ? 2 ?1 ? 1 ? 6 ?1 ? 5 也符合,∴ an ? 6n ? 5(n ? N *) .
3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? a a
n

?

n n ?1

3 1 1 1 ? ( ? ) (6n ? 5)[6(n ? 1) ? 5] 2 6n ? 5 6n ? 1



1 ∴ Tn ? ?bi ? 1 [(1 ? 1 ) ? ( 1 ? 13 ) ? ? ? ( 6n1? 5 ? 6n1? 1)] ? 1 (1 ? 6n1? 1) , 2 7 7 2
i ?1

m m ∴要使 1 (1 ? 6n1? 1) ? 20 (n ? N *) 恒成立,只要 [ 1 (1 ? 6n1? 1)]max ? 20 , 2 2 m 又∵ 1 (1 ? 6n1? 1) ? 1 ,∴只要 1 ? 20 ,即 m ? 10 ,∴ m 的最小整数为 10 2 2 2

76. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 5 , S15 ? 225 . 数列
{bn } 是等比数列, b3 ? a2 ? a3 , b2b5 ? 128 (其中 n ? 1, 2,3,… ).

( I ) 求 数 列 {an } 和 {bn } 的 通 项 公 式 ;( II ) 记

cn ? anbn , 求数列{cn }前n项和Tn .

解: (I)公差为 d,
?a1 ? 2d ? 5, ?a ? 1, ?? 1 ? 则 ?15a1 ? 15? 7d ? 225, ?d ? 2,
故a n ? 2n ? 1
(n ? 1, 2,3,…).

设等比数列 {bn } 的公比为 q ,
?bn ? b3 ? q n?3 ? 2n (n ? 1, 2,3,…).

?b3 ? 8, ? 则? b3 2 ? q ? b3 q ? 128, ?

?b3 ? 8, q ? 2.

n 2 3 n (II)? cn ? (2n ? 1) ? 2 , ?Tn ? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ??? (2n ?1) ? 2 ,

2Tn ? 22 ? 3 ? 23 ? 5 ? 24 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ? 1) ? 2n?1.
3 4 5 n?1 n?1 作差: ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? (2n ? 1) ? 2

23 (1 ? 2n?1 ) ? 2? ? (2n ? 1) ? 2n?1 1? 2

? 2 ? 23 (2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?2 ? 8 ? 2n?2 n ? 2n?1 ? ?6 ? 2n?1 (2n ? 3) ?

? Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 (n ? 1, 2,3,…).

点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问, 求前 n 项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与 一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现 了数学的转化思想。 77. 将全体正整数排成一个三角形数阵:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ………………

15

按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为

解:前 n-1 行共有正整数

n2 ? n 1+2+…+(n-1)个,即 2 n2 ? n 2

个,

因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第
n2 ? n ? 6 2 .

+3 个,即为

点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于 求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推 理能力。
a1 ? 3 ,公比 q 满足 q ? 0且q ? 1 。又 78. 已知等比数列 ?an ? 的首项为 1

已知 a1 , 5a3 , 9a5 成等差数列。 (1)求数列 ?an ? 的通项 (2)令
bn ? l o 3 a n g
1

,求证:对于任意
1

n? N?

,都有

1 1 1 1 ? ? ? . .?. ? 2 b1b 2 b b 2 3 bnbn ?

1

(1)解:∵ 2 ? 5a3 ? a1 ? 9a5 ∵ q ? 0且q ? 1 ∴
q?

2 4 ∴10a1q ? a1 ? 9a1q

4 2 ∴ 9q ?10q ? 1 ? 0

1 3

n?1 ?n ∴ an ? a1q ? 3

(2)证明:∵ bn ? log3 ? log3 3 ? n
n

1 an



1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? 1? ? ? ??? ? ? 1? bnbn?1 2 2 3 n n ?1 n ?1 ∴ b1b2 b2b3
1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ?1 2 b1b2 b2b3 bnbn?1

点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本 题中的第(2)问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由 n 的 范围证出不等式。 数列与程序框图的联系 79. 根据如图所示的程序框图,将输出的 x、y 值依次分别记为
x1, x2 ,?, xn ,?, x2008 ; y1 , y2 ,?, yn ,?, y2008

(Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式 xn ; (Ⅱ)写出 y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}; 的一个通项公式 yn,并证明你的结论; (Ⅲ)求 zn ? x1 y1 ? x2 y2 ??? xn yn ( x ? N ?, n ? 2008) . 解: (Ⅰ)由框图,知数列 {xn }中,x1 ? 1, xn?1 ? xn ? 2 ∴ xn ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1(n ? N*, n ? 2008) (Ⅱ)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.
n 由此,猜想 yn ? 3 ?1(n ? N*, n ? 2008).

证明:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2 ∴ yn?1 ? 1 ? 3( yn ? 1)



yn ?1 ? 1 ? 3, y1 ? 1 ? 3. yn ? 1

∴数列{yn+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列。 ∴ yn +1=3·3n-1=3n ∴ yn =3n-1( n ? N *, n ? 2008 ) (Ⅲ)zn= x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn =1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1) (3n-1) =1×3+3×32+…+(2n-1) ·3n-[1+3+…+(2n-1)] 记 Sn=1×3+3×32+…+(2n-1) ·3n,① 则 3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1 ②

①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1) ·3n+1 =2(3+32+…+3n)-3-(2n-1) ·3n+1
3(1 ? 3 n ) ? 3 ? (2n ? 1)·n ?1 n?1 3 3n?1 3n?1 =2× 1 ? 3 = 3 ? 6 ? (2n ? 1)· ? 2(1 ? n)· ? 6

∴ Sn

? (n ? 1)·n?1 ? 3. 3

又 1+3+…+(2n-1)=n2 ∴ zn ? (n ?1) ? 3
n?1

? 3 ? n2 (n ? N*, n ? 2008) .

点评:程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物, 因为程序框图中循环,与数列的各项一一对应,所以,这方 面的内容是命题的新方向,应引起重视。 80. 若 sin ? ?
5 10 , sin ? ? 且?、?为锐角,求? ? ?的值 . 5 10

5 10 , sin ? ? 5 10 2 5 3 10 ? cos? ? , cos ? ? 5 10 解: ?、?为锐角, ? ? ? sin 且 cos?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ? 1800 ,? ? ? ? ? 450 2 2

说明:本题考查用三角函数值反求角,同时运用余弦函数在 0 度到 180 度上严格单调来解题. 81. 在 ?ABC 中, A,B,C 分别对应边为 a,b,c,b=acosC,判断 ?ABC 角 的形状。
解:b ? a cosC 由正弦定理得: sin B ? sin A cos C

? B ? ? ? ? A ? C ?,? s i n ? s i ? A ? C ? ? s i n c o C ? s i n c o C ? c o A s i n B n A s A s s C
? cos A sin C ? 0

又A, C ? ?0, ? ?,? cos A ? 0, A ? ? ?ABC是直角三角形

?
2

说明:本题考查正弦定理。 82.
a, b, c 分别是 ?ABC 中角

A,B,C 的对边,其外接圆的半径为 1,

且 ?sin B ? sin C ? sin A??sin B ? sin C ? sin A? ? 3sin B sin C, 边b, c是 关于 x 的方 程:
x 2 ? 3x ? 4 cos A ? 0 两个根 ?b ? c ? ,求:角

A 的值及边 a,b,c 的值。

?sin 解: B ? sin C ? sin A??sin B ? sin C ? sin A? ? ?sin B ? sin C ? ? sin 2 A ? 3 sin B sin C
2

? sin 2 B ? sin 2 C ? sin 2 A ? sin B sin C 根据正弦定理得: 2 ? c 2 ? a 2 ? bc b ?由余弦定理得: A ? cos ? ?A ? 600 x 2 ? 3x ? 4 cos A ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? b ? c ? b ? 2, c ? 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? a ? 3 , b ? 2, c ? 1 b2 ? c2 ? a2 1 ? 2bc 2

说明:本题考查正弦定理和余弦定理及一元二次方程。 83. 在 ?ABC 中, 已知角 A、 C 所对的三边分别是 a,b,c,且 b 2 B、
?
1 ? sin 2 B 的值域。 sin B ? cos B

? ac

(1)求证: 0 ? B ? ; (2)求函数 y ?
3

解:(1)cosB=
? 0 ? ?B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? b 2 ? ac ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2

?
3

?sin B ? cos B?2 (2) y ?
? ? 7? ? ?? , ? 4 ? 4 12 ? ?? ? 2 ? ? sin ? ?B ? ? ? ? ,1? 4? ? 2 ? ? ? ?B ? ? y ? 1, 2

?? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin? B ? ? sin B ? cos B 4? ?

?

?

?

说明:本题考查余弦定理,和角公式以及三角函数值域求法。 84. 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区 间[-1,1]上有零点,求实数 a 的取值范围。 解:当 a=0 时,函数为 f (x)=2x -3,其零点 x= 不在区间[-1,
3 2

1]上。 当 a≠0 时,函数 f (x) 在区间[-1,1]分为两种情况: ① 函数在区间[─1,1]上只有一个零点,此时 ② ?? ? 4 ? 8a(?3 ? a) ? 0
? ? f (?1) f (1) ? (a ? 5)(a ? 1) ? 0



?? ? 4 ? 8a(?3 ? a) ? 0 ? 1 ? ?? 1 ? ? 2a ? 1 ?



解 得 1 ≤ a ≤ 5 或 a=

?3? 7 2

②函数在区间[─1,1]上有两个零点,此时

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 2 a ? ? 4 4 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

0

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 或 ? ?1 ? ? 1 ? 1 解得 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

a?5 或

a<

?3? 7 2

综上所述,如果函数在区间[─1,1]上有零点,那么实数 a 的取 值范围为
?3? 7 2

(-∞,

]∪[1, +∞)

85. 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log 2 3 且对任意 x,y∈ R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证 f(x)为奇函数; (2)若 f(k·3 x )+f(3 x -9 x -2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的 取值范围. 分析:欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(-x)=-f(x)成立.在 式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中,令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出 新的问题,求 f(0)的值.令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0, f(x)是奇函数得到证明. (1) ① 令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令 y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x).即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log 2 3>0,即 f(3)>f(0),又 f(x)在 R 上是单调函 数,所以 f(x)在 R 上是增函数,又由(1)f(x)是奇函数. f(k·3 x )<-f(3 x -9 x -2)=f(-3 x +9 x +2), k·3 x <-3 x +9 x +2, 3 2 x -(1+k)·3 x +2>0 对任意 x∈R 成立. 令 t=3 x >0, 问题等价于 t 2 -(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 证 明 : f(x+y)=f(x)+f(y)(x , y ∈ R) ,

R 恒成立. 说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数,把问题转化成二次函数 f(t)=t 2 -(1+k)t+2 对于 任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研究求解.本题还有更简 捷的解法: 分离系数由 k·3 x <-3 x +9 x +2 得

上述解法是将 k 分离出来,然后用平均值定理求解,简捷、 新颖. 1. 设 a1.b1.c1.a2.b2.c2 均为非 0 实数,不等式 a1x2+b1x+c1﹥0 和 a1x2+b1x+c2 ﹥ 0 的 解 集 分 别 为 集 合 M 和 N , 那 么 a1/a2=b1/b2=c1/c2 是 M=N 的() A 充分不必要条件 C 充要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

2、若︱2x+1︱+2 ︳x-3︱﹥a/b +7,则 f(x)=ax2+bx 在下列哪个区 间是单调的 ( ) C、(1, +∞) D、(3,+ ∞)

A、 (-∞,0) B、 (0,+ ∞)

3、y=2/(2x2-5x-3),x∈(0,3)∪(3,+ ∞)值域为______ 4、函数 y=2x+k-1 的图像不经过第四象限的充要条件是______ 第一、 二章易错点

1. 集合元素的特征:确定性、无序性、互异性、故在命题时, 注意检验集合元素是否互不相同。 2. ¢ ? ? 0 ? 0? ? 0 ?

? ¢ ? ? ¢ 0? ¢ ? 空集 ? ? ¢¢ ? ? ¢ ?
3. 若 A ? B,则要考虑 A=¢和 A=B, A ? B 三种情况。 例: M= ? x∣x 2 -2x-8=0 ? N= ? x∣ax-1=0 ? 若 N? M, 设 则求满足 条件的 a 的集合。 答: ? - ,0,
1 2 1 4

?

4. C U (A∪B)= C U A∩C U B C U A∩B= C U A C U B 5. 求集合并集成交集中要先化简。 6. 若 a 为未知量前系数,要讨论 a=0 时的情况。 例: 已知 A= ? x∣x 2 -3x+2=0 ? ,B= ? x∣ax-6=0 ? 且 A∪B=A,求实数 a 的值组成集合 C。 7. 点集与数集无交集。 例:已知 A= ? y∣y=x,x ? R ? ,B= ? (x,y)∣y=x 2 , x? R ? ,则 A∩B=¢ 8. 解含绝对值不等式时,只有两边均为非负数才能平方,理论 依据∣a∣<∣b∣<=>a 2 < b 2

9. 解含参绝对值不等式时要讨论参数的正、负情况。 例:解关于 x 的不等式∣2x-1∣<2m-1(m ? R) 解:当 m≤
2 1 2

时,为¢

当 m> 1 时,为 ? x∣1-m<x<m ? 10 .已知不等式∣ax+b∣<c 的解集为(m,n)(m<n,)则 m,n 为方程∣ ax+b∣=c 的根=> ? ∣∣∣am+b∣=c ∣an+b∣=c 11.解不等式时,分母不为 0, 例:解
x ?1 ≤0 x?2

<=> ?

( x ? 1)(x ? 2) ? 0 x?2? 0

解集为 ? x∣x<2 或 x≥5 ? 12.p 或 q: ①只有 p 成立 ②只有 q 成立。③p 和 q 均成立

13.p 或 q->7p 且 7q P 且 q->7p 或 7q 都是->不都是 至少一个->一个也没有 至多一个->至少二个 任意的->某个 一定是->一定不是 14.方程 x 2 +3x+2=0 的根是 x= ? 1 是简单命题。 ? 15.原命题<=>逆否命题 逆命题<=>否命题

16.否命题 若 7p 则 7q 命题的否定 若 p 则 7q 17.(1).p=>q 且 q ? >p, A? B (2). q=>p 且 p ? >q,B ? A (3) .p<=>q, A=B

(4).P ? >q 且 q ? >p, A ? B 且 B ? A 18.函数三要素:定义域、值域、对应法则。 19.(1).已知 f(x)定义域为[a,b]求 f[g(x)]定义域。 解:a ? g(x) ? b (2).已知 f[g(x)] 定义域为[a,b]求 f(x)定义域。 解: a ? x ? b 得 g(x)值域即为 f(x)定义域。 20.已知函数 y= kx2 ? 6kx ? k ? 8 定义域为 R,求实数 m 取值。 答案:k ? [0,1] (要讨论 k=0 和 k ? 0 两种情况) 21.只有定义域不为空集时,才能可能是函数。 22.映射必须是一对一或多对一。 23.写函数时要紧跟其定义域。 24.求函数值域时最好不用判别式法。 25 分子有理化(《优》P68 倒 3)
b 26.y= 的单调区间不能写成 ? x∣x ? 0 ? 。 x

例:写出函数 f(x)= 单调区间。
1 x

答:f(x)单调区间为(-∞,0)(0,+ ∞) (只能用“和”不能用“U”) 27.换元法要注意换元,以后新元的取值范围。 28.求函数值域时要先求定义域。 29 在公共定义域上,单调性如下: 增+增=增 减-增=减 减+减=减 增-减=增

增 x 增=不确定 (y=x,y=2x,y=2x 2 ) 30.复合函数,同增异减. 31.抽象函数 反函数求法。 (1).y=f ?1 (x+1) f(y)=f[f ?1 (x+1)] f(y)=x+1 即 y=f(x)-1 即 g(x)=f(x)-1 ∴g(x)=f(x)-1 (2).y=f(x+1) f ?1 (y) f ?1 [f(x+1)] f ?1 (y)=x+1 y=f ?1 (x)-1 ∴y= f ?1 (x)-1 32.(1)y=b+
k x?a

(k≠0)的对称中心为(a,b)

(2)f(a)=b<=> f ?1 (b)=a 33.互为反函数的两图像不一定有效。 34.有效点不一定在 y=x 上,如 y= 1
x

35.若原函数图像与 y=x 有交点, ,则此点必为原反函数交点。 36.n 为奇, n a =a
n

N 为偶, n a =∣a∣= ?
n

a ,a ?0 0,a ?0 ? a ,a ?0

37. 例:
6

n

a

m

=a (m 与 n 不能直接约分。)
2

m n

6

(?2)

=(-2)
2

2 6

=(-2)

1 3

=- 3 2

(X) (√)

(?2)

2

=

6

( 2)

=2 =- 3 2

1 3

38.a 0 =1(a≠0) a ?p =
1 ap

(a≠0,p ? N * )

39.y=㏒ 2 (3x+1)原形函数为 y=㏒ 2 3x
??? ? 40.y=f(x) ?关于X轴对称? y=-f(x) ??? ? y=f(x) ?关于y轴对称? y=f(-x) ??? ? y=f(x) ?关于原点对称 ? y=-f(-x) ? y ? X对称 ? y=f ?1 (x) ?关于?? ? y=f(x) ? y ?? X对称 ? y=f(x) ?关于?? ? y=- f ?1 (-x)

41.y=f(∣x∣):偶函数 y=f(∣x∣),将 X 轴下方的翻上去。 42.㏒ a N=b,(a>0)且 a≠1,N>0) 43.既奇又偶函数一定是 f(x)=0,x ? D,D 是关于 x=0 的对称区间。

44.奇函数图像不一定过原点, 如 y= 1 ,但它在 X=0 处有定义,
x

则它必过原点。


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