2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 2.1.2 第1课时 指数函数的图象及性质含答案

2.1.2 指数函数及其性质 指数函数的图象及性质 1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌 第 1 课时 学习目标 握并能应用指数函数的性质(重、难点). 预习教材 P54-P56,完成下面问题: 知识点 1 指数函数的概念 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的 定义域是 R. 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) ) ) (1)函数 y=-2x 是指数函数.( (2)函数 y=2x+1 是指数函数.( (3)函数 y=(-3)x 是指数函数.( 提示 (1)× 因为指数幂 2x 的系数为-1,所以函数 y=-2x 不是指数函数; (2)× 因为指数不是 x,所以函数 y=2x+1 不是指数函数; (3)× 因为底数小于 0,所以函数 y=(-3)x 不是指数函数. 知识点 2 指数函数的图象及性质 a>1 0<a<1 图 象 定义域:R 值域:(0,+∞) 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 性质 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是增函数 【预习评价】 (1)函数 y=2-x 的图象是( ) 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 在 R 上是减函数 (2)函数 f(x)=ax+1-2(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点________. 解析 ?1? ? ? (1)y=2-x=? ?x 是(-∞,+∞)上的单减函数,故选 B. ?2? (2)令 x+1=0,则 x=-1,f(-1)=a0-2=-1,则 f(x)的图象恒过点(-1, -1). 答案 (1)B (2)(-1,-1) 题型一 【例 1】 指数函数的概念及应用 (1)给出下列函数: ①y=2· 3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个 数是( A.0 ) B.1 C.2 D.4 ? 3? 5 ? ? (2)已知函数 f(x)是指数函数,且 f?- ?= ,则 f(3)=________. ? 2? 25 解析 (1)①中,3x 的系数是 2,故①不是指数函数;②中,y=3x+1 的指数是 x+1,不是自变量 x,故②不是指数函数;③中,3x 的系数是 1,幂的指数是自变 量 x,且只有 3x 一项,故③是指数函数;④中,y=x3 的底为自变量,指数为常数, 故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数. 3 3 ? 3? ? ? (2)设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),由 f?- ?=a-2 =5-2 ,故 a=5,故 f(x)=5x, ? 2? 所以 f(3)=53=125. 答案 (1)B (2)125 判断一个函数是指数函数的方法 规律方法 (1)看形式:只需判断其解析式是否符合 y=ax(a>0,且 a≠1)这一结构特征. (2)明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不 具备,则该函数不是指数函数. 【训练 1】 若函数 y=a2(2-a)x 是指数函数,则( B.a=1 D.a>0 且 a≠1 ) A.a=1 或-1 C.a=-1 解析 a2=1, ? ? 由条件知?2-a>0, ? ?2-a≠1, 解得 a=-1. 答案 题型二 C 指数函数图象的应用 【例 2】 (1)函数 f(x)=2ax+1-3(a>0, 且 a≠1)的图象恒过的定点是________. ?1? ? ? (2)已知函数 y=3x 的图象,怎样变换得到 y=? ?x+1+2 的图象?并画出相应 ?3? 图象. (1)解析 因为 y=ax 的图象过定点(0,1),所以令 x+1=0,即 x=-1,则 f(x) =-1,故 f(x)=2ax+1-3 的图象过定点(-1,-1). 答案 (-1,-1) ?1? ? ? (2)解 y=? ?x+1+2=3-(x+1)+2. ?3? 作函数 y=3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y=3-x 的图象, 再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y=3-(x+1)的图象, 最后再向上平移 2 个单位长度就得到函 数 ? y=3-(x+1)+2= ?1? ?x+1 ?3? +2 的图象,如图所示. ? ? 规律方法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1),求指数型函数图象所过的定点 时,只要令指数为 0,求出对应的 y 的值,即可得函数图象所过的定点. (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 【训练 2】 (1)函数 y=2|x|的图象是( ) (2)函数 f(x)=ax-b 的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 解析 2x,x≥0, ? ? ? (1)y=2|x|=?? ?1?x ? ,x<0, ? ?? ?2? 故选 B. (2)从曲线的变化趋势,可以得到函数 f(x)为减函数,从而有 0<a<1;从曲线位 置看,是由函数 y=ax(0<a<1)的图象向左平移|-b|个单位长度得到,所以-b>0, 即 b<0. 答案 题型三 【例 3】 A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] (1)B (2)D 指数型函数的定义域、值域问题 (1)函数 f(x)= 1-2x+ 1 x+3 的定义域为( ) B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1] ?1? ? ? (2)函数 f(x)=? ?x-1,x∈[-1,2]的值域为________. ?3? (3)函数 y=4x+2x+1+1 的值域为________. ? ?1-2x≥0, (1)由题意得自变量 x 应满足? ? ?x+3>0,

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