广东省佛山一中珠海一中金山中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题文

广东省佛山一中、珠海一中、金山中学 2018-2019 学年高二数学下学期 期中试题 文

一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

⒈设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | (x ? 2)(x ?1) ? 0},则 A ? B ?( )

A.?

B. [1, 2)

C. (0,1]

D. (0,2)

⒉已知复数 z ? 2 ? i ,则 z 的共轭复数是( ) 1?i

A.1? i

B. ?1? 2i

C. 1? 2i

D. 2 ? 3i

⒊设 F1 、 F2 分别为双曲线 x 2

?

y2 3

? 1的左右焦点,点 P 为左支上一点,且

PF1

? 4,

则 PF2 的值为( )

A. 1

B.2

C.5

D. 6

⒋角 A 是△ABC 的一个内角,若命题 p:A< ,命题 q:sinA< ,则 p 是 q 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

⒌如右图是某个几何体的三视图,则这个几何体体积是( )

A. 2 ? ? 2

B. 2 ? ? 3

C. 4 ? ? 3

D. 2 ? ? 32

?x ? y ? 0

⒍已知 x, y 满足约束条件 ??x ? y ? 2 ,则 z ? 2x ? y 的最大值为(

)

?? y ? 0

A.1

B.2

C.3

D.4

⒎已知椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的上下顶点分别为 A,B,右顶点为 C,右焦点为 F ,

若 AC ? BF ,则该椭圆的离心率为( )

1 / 12

A. 2 ? 1 2

B. 3 ?1 2

C. 1 2

D. 5 ?1 2
⒏执行如下图所示的程序框图,若输出 k 的值为 5,则判断框内可填入的条件是( )

A. s ? 7 10

B. s ? 7 10

C. s ? 1 2

9.函数 f ?x? ? x2 ?sin x 在??2, 2? 上的图象大致为( )

D. s ? 3 5

A.

B.

C.

D.

10. 对 于 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 方 式 的 “ 分 裂 ” 23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ?11, 43 ? 13 ?15 ?17 ?19 ,…,仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m

2 / 12

的值为( ) A.6

B.7

C.8

D.9

⒒如右图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 6cm,该纸片上的正方形 ABCD 的中心为 O.E,F,G,H

为圆 O 上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH 分别是以 AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角

形.沿虚线剪开后,分别以 AB,BC,CD,DA 为折痕折起△ABE,

△BCF,△CDG,△ADH,使得 E,F,G,H 重合得到一个四棱

锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍时,该四棱锥的外接球

的表面积为( )

A. 16? 3

B. 25? 3

C. 64? 3

D. 100? 3

⒓ 若 存 在 唯 一 的 正 整 数 x0 , 使 关 于 x 的 不 等 式

x3 ? 3x2 ? ax ? 5 ? a ? 0 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

(

)

A. (0, 1) 3

B. (1 , 5] 34

C. (1 , 3] 32

D. (5 , 3] 42

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.已知函数 f (x) ? 2e x ? ax ( e 为自然对数的底数),且函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线

斜率为 1,则 a ? _______

14. 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 2 , 若 a2 , a4 , a8 成 等 比 数 列 , 则 数 列 {an} 的 前 n 项 和 S n =_______
⒖直线 l : ax ? y ? 3 ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 相交于 M、N 两点,

若 MN ? 2 3 ,则实数 a 的取值范围是



16. 在 ?ABC 中 , 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c , 若 2sin C cosB ? 2sin A ? sin B , 且
?ABC的面积 S ? 3 c ,则 ab 的最小值为_______ 4
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
S n 为数列?an ?的前 n 项和,已知 an ? 2 ,且 4Sn ? an2 ? 4n ?1. (1)求证:?an ?为等差数列;

3 / 12

? ? (2)设 bn

?

1 an an?1

,求数列

bn

的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分)

某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机使用者( 200 名女性, 300 名男性)

进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:

女性用户:

分值区 [50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90) [90,100]



频数

20

40

80

50

10

男性用户:

分值区 [50, 60) [60, 70) [70,80) [80,90) [90,100]



频数

45

75

90

60

30

⑴男性用户的频率分布直方图如右下图,请完成女性用户的频率分布直方图,并比较女性用

户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具体值,给出结论即可);









男性用户

⑵如果评分不低于 70 分,就表示该用户对手机“认可”,否则就表示“不认可”,完成下列

2?2 列联表,并回答是否有 95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关;

“认可”手机 “不认可”手
机 合计 附:

女性用户

男性用户

P(K 2 ? k0 ) 0.15 0.10 0.05

k0

2.072 2.706 3.841

0.025 5.024

合计
500 0.010 6.635

K

2

?

?a

?

n ?ad ? bc?2 b??c ? d ??a ? c??b

?

d

?

,其中

n

?

a

?

b

?

c

?

d

.

4 / 12

19.(本小题满分 12 分)

如右图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上除 A 、 B 外的一点,

D

DC ? 平面 ABC,四边形 CBED为平行四边形, CD ? 1, AB ? 4.

⑴求证: ED ?平面 ACD ;

C

E

⑵当三棱锥 E ? ADC 体积取最大值时,求此刻点 C 到平面 ADE 的距离.

A

?

B

O

⒛(本小题满分 12 分)

已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F, 点 M (2, y0 ) 在该抛物线上,且 MF ? 2 .

⑴求抛物线 C 的方程; ⑵直线 l : y ? kx ? 2 与 y 轴交于点 E,与抛物线 C 相交于 A , B 两点, 自点 A , B 分别向直线
y ? ?2 作垂线,垂足分别为 A1, B1 ,记 ?EAA1, ?EA1B1, ?EBB1的面积分别为 S1, S2 , S3 . 试证明: S1S3 为定值.
S22
21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? ln x ? 1 ax2 ? x , a ? R.. 2

⑴求函数 f (x) 的单调区间;

⑵ 是否存在实数 a ,使得函数 f (x) 的极值大于 0 ?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请

说明理由.

请考生从第 22、23 两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做

的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线

C1



? ? ?

x y

? ?

4 ? cos t, ?3 ? sin t,

( t 为参数),

C2



? ? ?

x y

? ?

6 cos? , 2sin? ,

(?

为参数).

(1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

( 2 ) 直线 C3 的极坐标方程为 ? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 2 3 ,若 C1 上的点 P 对应的参数



t

?

?

? 2

,Q

为 C2

上的动点,求线段

PQ

的中点

M

到直线 C3

距离的最小值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲

已知函数 f (x) ? x ? 3 ? m, m ? 0, f (x ? 3) ? 0 的解集为 ???, ?2? ?2, ??? .

(1)求 m 的值;

5 / 12

(2)若 ?x ? R ,使得 f (x) ? 2x ?1 ? t2 ? 3 t ?1 成立,求实数 t 的取值范围. 2

2017 级高二下学期期中佛山一中、珠海一中、金山中学三校联考

文科数学参考答案 1-12:CCDAA DDBBC DB

13. ?1;

14. n2 ? n ; 15. a ? ? 3 ; 16..3 4

17.(1)? 4Sn ? an2 ? 4n ?1,



?当 n ? 2 时,

4Sn?1

?

a2 n?1

?

4(n

?1)

?1



…………2 分

②-①得 4an ? an2 ? an2?1 ? 4 ,

…………3 分

即(an

?

2) 2

?

a

2 n?1



…………4 分

∵ an ? 2 ,∴ an ? 2 ? an?1

…………5 分

即 an ? an?1 ? 2 ,

∴ ?an ?为等差数列

…………6 分

(2)由已知得 a12 ? 4 ?1 ? 4a1 ,

即 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0

解得 a1 ? 1 (舍)或 a1 ? 3

∴ an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1

∴ bn

?

1 an an?1

?

(2n

1 ?1)(2n ? 3)

?

1( 1 ? 2 2n ?1

1) 2n ? 3

…………7 分 …………8 分 …………9 分
…………10 分

∴ Tn

?

1 [(1 23

?

1) ? (1 55

?

1) ? (1 77

?

1) ???( 1 ?

9

2n ?1

1 )] 2n ? 3

? 1 (1 ? 1 ) 2 3 2n ? 3

…………11 分

?n 6n ? 9

…………12 分

6 / 12

18.解:⑴女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:

女性用户

男性用户 …………3 分

由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.

…………5 分

⑵ 2?2 列联表如下图:

女性用户

男性用户

合计

“认可”手机 140

180

320

“ 不 认 可 ” 手 60

120

180



合计

200

300

500

…………7 分

K

2

?

500(140?120 ?180? 60)2 200? 300? 320?180

?? 152.250?8 24

5?.23.0884,1

…………9 分

又 P(k 2 ? 3.841) ? 0.05 且 5.208>3.841

…………10 分

所以有 95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关.

…………12 分

19. 解 : ⑴ ? AB 是 圆 O 直 径 , C 是 圆 O 上 除 A 、 B 外 的 一 点

? BC ? AC

…………1 分

? DC ? 平面 ABC, BC ? 平面ABC

? CD ? BC 又? CD ? AC ? C , AC,CD ? 平面ABC

…………2 分

? BC ? 平面 ACD 又?四边形 CBED为平行四边形

…………3 分

? BC// DE ,

…………4 分

? ED ?平面 ACD

…………5 分

⑵由⑴知 ED为三棱锥 C ? ADE的高

? DC ? 平面 ABC ? CD ? AC 又?四边形 CBED为平行四边形.? BC ? DE

…………6 分

7 / 12

? VE? ACD

?

1 3

?

S

?ACD

? DE

?

1?1? 32

AC ? CD ? DE

? 1 ? AC? BC 6

? 1 ? (AC2 ? BC2 ) ? 1 ? AB2 ? 4 ,

12

12

3

等号当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时成立

此时, AD ? 12 ? (2 2)2 ? 3 ,

S ?ADE

?

1 2

?

AD? DE

?

3

2

设点 C 到平面 ADE 的距离为 d ,

则 VC ? ADE

?

1 3

S

?ADE

?d

?

4 3

?d ? 4 ? 4 ?2 2

S?ADE 3 2

3

20.解:⑴抛物线 C 焦点为 F (0, p ), 准线方程为 y ? ? p

2

2

?点 M (2, y0 ) 在该抛物线上 ? 4 ? 2 py0 ①

依定义及

MF

?

2得

y0

?

p 2

?

2



由①②解得 p ? 2

?抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y

…………7 分, …………8 分 …………9 分, …………10 分
…………12 分. …………1 分
…………2 分 …………3 分
…………4 分

?y ? kx? 2

⑵由

? ?x

2

?

4y

消 y 得 x2 ? 4kx? 8 ? 0

设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k, x1x2 ? ?8 则 A1(x1,?2), B(x2 ,?2)

?

S1S3

?

1 2

( y1

?

2)

x1

?

1 2

( y2

?

2)

x2

?

1 4

(kx1

?

4)(kx2

?

4)

x1 x2

?

1 4

[k

2 x1x2

?

4k ( x1

?

x2

)

? 16]

x1 x2

? 1 [?8k 2 ? 4k ? 4k ?16]?8 4

8 / 12

…………5 分 …………6 分 …………7 分

? 16(k 2 ? 2)

又?

S22

?[1 2

x2

?

x1

? 4]2

?

4( x2

?

x1 )2

? 4[( x2 ? x1)2 ? 4x1x2 ] ? 4(16k 2 ? 32)

? 64(k 2 ? 2)

?

S1S3 S22

?

1 4

21. 解:⑴函数 f ? x? 的定义域为 ?0, ??? .

f ?? x? ? 11 ??aaxx??11???aaxx22??xx??11

xx

xx

① 当 a ? 0 时, f ?? x? ? 1? x ,∵ x ? 0, ∴ f ' ? x? ? 0
x

∴ 函数 f ? x? 单调递增区间为 ?0, ??? .

…………9 分 …………10 分 …………11 分 …………12 分 …………1 分
…………2 分

② 当 a ? 0 时,令 f ?? x? ? 0 得 ax2 ? x ?1 ? 0 , ? ? 1? 4a .

(ⅰ)当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时, f ?? x? ? 0 ,
4
∴ 函数 f ? x? 的单调递增区间为 ?0, ??? .

…………3 分

(ⅱ)当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,方程 ax2 ? x ?1 ? 0 的两个实根分别为 4

x1

?

?1? 1? 4a 2a

, x2

?

?1? 1? 4a 2a

.

若0

?

a

?

1 4

,则

x1

?

0,

x2

?

0

,此时,当

x ??0, ???

时,

f

??x?

?

0.

∴函数 f ? x? 的单调递增区间为 ?0, ??? ,

…………4 分

若 a ? 0,则 x1 ? 0, x2 ? 0 , 此时,当 x ? (0, x1 ) 时, f / (x) ? 0 , f (x) 单调递增
当 x ? (x1,??) 时, f ?? x? ? 0, f (x) 单调递减

…………5 分

综 上 , 当 a ? 0 时 , 函 数 f ? x? 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ?1 ? 1 ? 4a ), 单 调 递 减 区 间 为
2a

9 / 12

( ?1 ? 1 ? 4a ,??) ; 2a
当 a ? 0时,函数 f ? x? 的单调递增区间为 ?0, ??? .

…………6 分

⑵ 解:由(1)得当 a ? 0时,函数 f ? x? 在 ?0, ??? 上单调递增,

故函数 f ? x? 无极值;

…………7 分

当 a ? 0时,函数 f ? x? 的单调递增区间为 (0, ?1 ? 1 ? 4a ), ,单调递减区间为
2a

( ?1 ? 1 ? 4a ,??) ; 2a



f

? x? 有极大值,其值为

f

(x1 )

?

ln

x1

?

1 2

ax12

?

x1 ,

…………8 分

其中

x1

?

?1?

1? 2a

4a

.

而 ax12

?

x1

?1

?

0 ,∴

f

(x1 )

?

ln

x1

?

x1 ?1 2

…………9 分

设函数 h(x) ? ln x ? x ?1 (x ? 0) ,则 h' (x) ? 1 ? 1 ? 0 ,

2

x2

则 h(x) ? ln x ? x ?1 在 ?0, ??? 上为增函数.
2 又 h(1) ? 0 ,故 h(x) ? 0 等价于 x ? 1.

因而

f

(x1 )

?

ln

x1

?

x1 ?1 2

?0

等价于 x1 ? 1.

…………10 分

即在 a ? 0时,方程 ax2 ? x ?1 ? 0 的大根大于 1,

设 ?(x) ? ax2 ? x ? 1 ,由于 ?(x) 的图象是开口向下的抛物线,且经过点 (0,1),对称轴

x ? ? 1 ? 0 ,则只需?(1) ? 0 ,即 a ? 2 ? 0 2a
解得 a ? ?2 ,而 a ? 0, 故实数 a 的取值范围为 (?2,0) .

…………12 分

22. 解: (1) C1 : (x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 1, ,

C2

: x2 36

?

y2 4

?1

C1 为圆心是 (4, ?3) ,半径是1的圆.

…………3 分

C2 为 中 心 在 坐 标 原 点 , 焦 点 在 x 轴 上 , 长 半 轴 长 是 6 , 短 半 轴 长 是 2 的 椭

圆.

……………4 分

10 / 12

(2)当 t ? ? ? 时, P(4, ?4) , 2

……………5 分

设 Q(6 cos? , 2sin? )

则 M (2 ? 3cos? , ?2 ? sin? ) ,

C3 为直线 x ? 3y ? (8 ? 2 3) ? 0 ,

…………7 分

(2 ? 3cos? ) ? 3(?2 ? sin? ) ? (8 ? 2 3)

M 到 C3 的距离 d ?

2

3cos? ? ?

3 sin? ? 6 2 ?

3 cos(? ? ? ) ? 6

6

? 3?

3 cos(? ? ? )

2

2

6

从而当 cos(? ? ? ) ? 1, 时, d 取得最小值 3 ? 3 6

…………10 分

23. 解: ?1? f ?x? ? x ? 3 ? m ,所以 f ? x ?3? ? x ? m ? 0 ,

m ? 0 ,?x ? m 或 x ? ?m ,
又 f ? x ?3? ? 0的解集为 ???, ?2? ?2, ???.

…………2 分

故 m=2 .

…………4 分

?2? f (x) ? 2x ?1 ? t2 ? 3 t ?1 等价于不等式
2 x ? 3 ? 2x ?1 ? ?t2 ? 3 t ? 3 ,
2

…………5 分

?

?x ? 4, x ? ?3

g(x) ?

x?3

?

2x ?1

? ???3x ? 2, ?3 ? ?

x?

1 2



????x

?

4,

x

?

1 2

…………7 分



g ( x)max

?

g(1) 2

?

7 2



…………8 分

则有 7 ? ?t2 ? 3 t ? 3 ,即 2t2 ? 3t ?1 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? 1

2

2

2

即实数的取值范围

? ??

??,

1 2

? ??

?1, ???

…………10 分

11 / 12

12 / 12


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