2018版高中数学A版必修一学案:第二单元 2-1-2 第2课时 指数函数及其性质的应用 含答案 精品

第 2 课时 指数函数及其性质的应用 学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性解决 一些问题(重、难点). 考查方向 方向 1 比较两数的大小 【例 1-1】 题型一 指数函数单调性的应用 (1)下列大小关系正确的是( ) B.0.43<π0<30.4 D.π0<30.4<0.43 ) A.0.43<30.4<π0 C.30.4<0.43<π0 (2)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c 解析 B.a<c<b D.b<c<a (1)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故选 B. (2)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,故 1.50.6>0.60.6,又函数 y=0.6x 在(-∞,+∞)上是减函 数,且 1.5>0.6,所以 0.61.5<0.60.6,故 0.61.5<0.60.6<1.50.6,选 C. 答案 (1)B (2)C 方向 2 解简单的指数不等式 【例 1-2】 (2)已知 a -5x 1?3x-1 (1)不等式? ?2? ≤2 的解集为________. + >ax 7(a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围. 1?-1 1?3x-1 ?1?-1 1?x (1)解析 ∵2=? ∴原不等式可化为? ∵函数 y=? ?2? , ?2? ≤?2? , ?2? 在 R 上是减函数, ∴3x-1≥-1,∴x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}. 答案 {x|x≥0} -5x (2)解 当 a>1 时,∵a 当 0<a<1 时,∵a -5x 7 + >ax 7,∴-5x>x+7,解得 x<- ; 6 7 + >ax 7,∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 7 7 综上所述,x 的取值范围是:当 a>1 时,x<- ;当 0<a<1 时,x>- . 6 6 方向 3 指数型函数的单调性 1?x2-2x 【例 1-3】 判断 f(x)=? 的单调性,并求其值域. ?3? 1?u 解 令 u=x2-2x,则原函数变为 y=? ?3? . ∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 1?u 又∵y=? ?3? 在(-∞,+∞)上递减, 1?x2-2x ∴y=? 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. ?3? ∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1, 1?u ∴y=? ?3? ,u∈[-1,+∞), 1?u ?1?-1 ∴0<? ?3? ≤?3? =3, ∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如 ax>ab 的不等式,借助于函数 y=ax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,要对 a 分为 0<a<1 和 a>1 两种情况分类讨论. (2)形如 ax>b 的不等式,注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数 y= ax 的单调性求解. 3.函数 y=af(x)(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧 当 a>1 时,y=af(x)与 y=f(x)的单调性相同,当 0<a<1 时,y=af(x)与 y=f(x)的单调性相反. 题型二 指数函数的实际应用 【例 2】 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初始溶液 1 含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 . 3 (1)写出杂质含量 y 与过滤次数 n 的函数关系式; (2)过滤 7 次后的杂质含量是多少?过滤 8 次后的杂质含量是多少?至少应过滤几次才能 使产品达到市场要求? 解 (1)过滤 1 次后的杂质含量为 2 ? 1? 2 2 × 1-3?= × ; 100 ? 100 3 2 2? ? 1? 2 ?2?2 过滤 2 次后的杂质含量为? ?100×3?×?1-3?=100×?3? ; 2?2? ? 1? 2 ?2?3 2 过滤 3 次后的杂质含量为?100×? ?3? ?×?1-3?=100×?3? ; ? … 过滤 n 次后的杂质含量为 2 ?2?n × (n∈N*). 100 ?3? 2 ?2?n × (n∈N*). 100 ?3? 故 y 与 n 的函数关系式为 y= (2)由(1)知当 n=7 时,y= 当 n=8 时,y= 2 ?2?7 64 1 × = > , 100 ?3? 54 675 1 000 2 ?2?8 128 1 ×?3? = < , 100 164 025 1 000 所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模型转化为数 学问题. (2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为 N,平均增长率为 p,则对于经过 时间 x 后的总量 y 可以用 y=N(1+p)x 来表示,这是非常有用的函数模型. 【训练 1】 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积 是前一天的 2 倍,若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷 叶已生长了________天. 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1,则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数关 系为 y=2x 1,当 x=20 时,长满水面,所以生长 19 天时,荷叶布满水面一半. - 答案 19 题型三 指数函数性质的综合应用 1 【例 3】 已知定义在 R 上的函数 f(x)=a+ x 是奇函数. 4 +1 (1)求 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性(不需要写出理由); (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 解 (1)∵f(x)的定义域为 R,且

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