2019版高中数学 第一章 计数原理 课时训练08 杨辉三角 新人教B版选修2-3

2019 版高中数学 第一章 计数原理 课时训练 08 杨辉三角 新人教 B 版选修 2-3

(限时:10 分钟) n 1.在(a+b) 的展开式中,第 2 项与第 6 项的二项式系数相等,则 n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:A n 2.已知(a+b) 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于( ) A.11 B.10 C.9 D.8 答案:D ? 1?n 3.若?x+ ? 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式中的常数项为( )

?

x?

A.10 B.20 C.30 D.120 答案:B 1 ?n M ? 4.设?5x- ? 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 =32,则展

?

x?

N

开式中 x 的系数为__________. 答案:1 250 5 5 4 3 2 5.已知(2x-1) =a0x +a1x +a2x +a3x +a4x+a5. (1)求 a0+a1+a2+…+a5. (2)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|. (3)求 a1+a3+a5. 解析:(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a5=1. 5 (2)令 x=-1,得-3 =-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 因为偶数项的系数为负, 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5| 5 =a0-a1+a2-a3+a4-a5=3 =243. (3)由 a0+a1+a2+…+a5=1, 5 -a0+a1-a2+…+a5=-3 , 5 得 2(a1+a3+a5)=1-3 , 5 1-3 所以 a1+a3+a5= =-121. 2

2

(限时:30 分钟) 一、选择题 2n * 1.(1+x) (n∈N )的展开式中,系数最大的项是( ) A.第 n 项 B.第 n+1 项 C.第 n+2 项 D.第 n-1 项 答案:B n 10 2.若(x+3y) 展开式的系数和等于(7a+b) 展开式中的二项式系数之和,则 n 的值为

(

) A.5 B.8 C.10 D.15 答案:A 2m 2m+1 3.设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 展开式的二 项式系数的最大值为 b,若 13a=7b,则 m=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案:B 8 4 4.(2- x) 展开式中不含 x 项的系数的和为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:B 5 5 5.若(x+1) =a5(x-1) +…+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为( ) A.80 B.40 C.20 D.10 5 5 解析:由于 x+1=x-1+2,因此(x+1) =[(x-1)+2] ,故展开式中 x-1 的系数为 4 4 C52 =80. 答案:A 二、填空题 5 2 3 4 5 6 .若 (2x - 3) = a0 + a1x + a2x + a3x + a4x + a5x ,则 a1 + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5 等于 __________. 2 3 4 5 2 3 解析:设 f(x)=a0+a1x+a2x +a3x +a4x +a5x ,因为 f′(x)=a1+2a2x+3a3x +4a4x 4 5 +5a5x , 所以 f′(1)=a1+2a2+3a3+4a4+5a5, 又因为 f(x)=(2x-3) , 所以 f′(x)=10(2x 4 -3) ,所以 f′(1)=10,即 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=10. 答案:10 7 7.(1-2x) 展开式中系数最大的项为________. 解析:展开式共有 8 项,系数最大的项必为正项,即在第 1,3,5,7 这四项中取得.又因 7 (1-2x) 括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值, 故系数最大项必在中间或偏 右,故只需比较 T5 和 T7 两项系数大小即可. 4 3 T5的系数 C4 - C7 7 = >1, 6= 1 T7的系数 C6 - C7×4 7 所以系数最大的项是第 5 项, 4 4 4 即 T5=C7(-2x) =560x . 4 答案:560x 0 1 2 m * 8.计算 Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn=________(n∈N ). 0 1 2 n 解析:设 Sn=Cn+3Cn+5Cn+…+(2n+1)Cn,则 1 n-1 n Sn=(2n+1)C0 n+(2n-1)Cn+…+3Cn +Cn, 0 1 n n 所以 2Sn=2(n+1)(Cn+Cn+…+Cn)=2(n+1)·2 , n 所以 Sn=(n+1)·2 . n 答案:(n+1)·2 三、解答题 ?1 ?n 9.已知? +2x? 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展开式中二项式系数 4 ? ? 最大的项的系数. 1 0 1 2 解析:由 Cn+Cn+Cn=37,得 1+n+ n(n-1)=37,得 n=8. 2 1 ? +2x?8 的展开式共有 9 项. ?4 ? ? ?

35 4 35 4?1? 4 4 其中 T5=C8? ? (2x) = x ,该项的二项式系数最大,系数为 . 8 8 ?4? 10.设(2- 3x) =a0+a1x+a2x +…+a100x ,求下列各式的值. (1)a0. (2)a1+a2+a3+a4+…+a100. (3)a1+a3+a5+…+a99. 2 2 (4)(a0+a2+…+a100) -(a1+a3+…+a99) . (5)|a0|+|a1|+…+|a100|. 100 解析:(1)令 x=0,则展开式为 a0=2 . (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,(*) 100 100 所以 a1+a2+…+a100=(2- 3) -2 . 100 (3)令 x=-1,可得 a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+ 3) .与(*)式联立相减得 100 100 - 3 - + 3 a1+a3+…+a99= . 2 (4)原式=[(a0+a2+…+a100)+(a1+a3+…+a99)]·[(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+… +a99)] =(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100) 100 =[(2- 3)(2+ 3)] 100 =1 =1. r r 100-r r r (5)因为 Tr+1=(-1) C1002 ( 3) x , * 所以 a2k-1<0(k∈N ), 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100| =a0-a1+a2-a3+…+a100 100 =(2+ 3) . 1 ?n ? 11.已知?x+ ? 的展开式中前三项的系数成等差数列. ? 2 x? (1)求 n 的值. (2)展开式中二项式系数最大的项. (3)展开式中系数最大的项. 3 ?x+ 1 ?n ? 1 ?k ?1?k k n- 2 k n-k 解析: (1)由题设, Tk+1=Ck ·? , nx ? ? 的展开式的通项公式为: ? =?2? Cnx ? 2 x? ?2 x? ? ? 1 2 1 1 0 故 Cn+ Cn=2× Cn, 4 2 2 即 n -9n+8=0. 解得 n=8 或 n=1(舍去). 所以 n=8. (2)展开式中二项式系数最大的为第 5 项,则
100 2 100

?1? x 8- 2 ?4 =35x2. T5=? ?4C4 8 8 ?2?
(3)设第 r+1 项的系数最大, 1 1 C≥ ? ?2 2 C 则? 1 1 C≥ ? ?2 2 C
r r 8 r r 8 r+1 r+1 8

3

, ,

r-1 r-1 8

1 1 ≥ ? ?8-r r+ 即? 1 1 ≥ ? ?2r 9-r. 解得 r=2 或 r=3.



所以系数最大的项为 T3=7x ,T4=7x .

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7 2


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