北京市二零二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

北京市二零二中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 符合题目要求的.)
1. 在《张邱建算经》中有一道题:“今有女子不善织布,逐日所织的布比同数递减,初日织五尺, 末一日织一尺,计织三十日”,由此推断,该女子到第 10 日时,大约已经完成三十日织布总量的( A.33% A.M∪N B.(?UM)∩N B.49% C.M∩(?UN) C.62% D.(?UM)∩(?UN) ) 2. 已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4},则集合{0,1}可以表示为( 3. 单位正方体(棱长为 1)被切去一部分,剩下部分几何体的三视图如图所示,则( ) D.88% )

座号_____

姓名__________

分数__________

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是

A.该几何体体积为

B.该几何体体积可能为 D.该几何体唯一 )
2

C.该几何体表面积应为 +

4. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x ) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 5. 设 a , b 为正实数, A. 0 B. ?1

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b)2 ? 4(ab)3 ,则 loga b =( a b
C. 1 D. ?1或 0 ) D. 10



【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识,意在考查代数变形能与运算求解能力. 6. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( A. 7 B. 8 C. 9

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【命题意图】本题考查阅读程序框图,理解程序框图的功能,本质是循环语句循环终止的条件. 7. 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 )

? 3x ? y ? 3 ? 0 ? y ?1 ? 8. 若 x, y 满足约束条件 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ,则当 取最大值时, x ? y 的值为( x?3 ?y ? 0 ? ?
A. ? 1 B. C. ? 3



D. 3

?x ? (?1) n sin ? 2n, x ? ? 2n, 2n ? 1? ? ? 2 9. 已知函数 f ( x) ? ? ( n ? N ),若数列 ?am ? 满足 ?(?1) n ?1 sin ? x ? 2n ? 2, x ? ? 2n ? 1, 2n ? 2 ? ? ? 2 * ) am ? f (m) (m ? N ) ,数列 ?am ? 的前 m 项和为 S m ,则 S105 ? S96 ? ( A. 909 B. 910 C. 911 D. 912
【命题意图】本题考查数列求和等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 10.图

1 是由哪个平面图形旋转得到的(



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A. 11.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 要将 y ? f ( x) 的图象(

B.

C.

D.

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos ? x 的图象,只



? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

?? ? ? 12.若函数 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? 的图象关于直线 x ? 对称,且当 2? 12 ? 2? ? ? 17? x1 ,x2 ? ? ? ,? ? , x1 ? x2 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 f ? x1 ? x2 ? 等于( 12 3 ? ?
A. 2 B.
2 2

) D.
2 4

C.

6 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上)
13.在极坐标系中,O 是极点,设点 A,B 的极坐标分别是(2 的距离是 . , ),(3, ),则 O 点到直线 AB

?y ? 2 ? 14.已知实数 x , y 满足 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,目标函数 z ? 3x ? y ? a 的最大值为 4,则 a ? ______. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
【命题意图】本题考查线性规划问题,意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力. 15.如图所示,圆 C 中,弦 AB 的长度为 4 ,则 AB ×AC 的值为_______.

C A B

【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识,意在考查对概念理解和转化化归的数学思想.

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16.如图,在棱长为的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BC, CC1 的中点, P 是侧

AEF ,则线段 A1P 长度的取值范围是_________. 面 BCC1B1 内一点,若 AP 1 平行于平面

三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.已知函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x). (Ⅰ)若直线 l:y=k1x 是函数 y=f(﹣x)的图象的切线,直线 m:y=k2x 是函数 y=g(x)图象的切线,求证: l⊥m; (Ⅱ)设 a,b∈R,且 a≠b,P=g( 大小,并说明理由. ),Q= ,R= ,试比较 P,Q,R 的

18.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4。

(1)求{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。

19.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的极坐
2 标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 2 p cos? ( p ? 0) .

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2 t ,求直线 l 的参数方程; 2 (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M (?2, ?4) ,且 | PQ |2 ?| MP | ? | MQ | ,求实数 p 的值.
(1)设 t 为参数,若 x ? ?2 ?

20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD,点 F 是棱 PD 的中 点,点 E 为 CD 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAC; (2)证明:AF⊥EF.

21. f ( x) ? sin 2 x ?

3 sin 2 x . 2
A 2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 1 , ?ABC 的面积为 3 3 ,求的最小值.

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22.已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? a ln x .
2

(1)当函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程为 y ? 5x ? 5 ? 0 ,求函数 f ? x ? 的解析式; (2)在(1)的条件下,若 x0 是函数 f ? x ? 的零点,且 x0 ? ? n, n ? 1? , n ? N ,求的值;
*

?

?

(3)当 a ? 1 时,函数 f ? x ? 有两个零点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,且 x0 ?

x1 ? x2 ,求证: f ? ? x0 ? ? 0 . 2

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北京市二零二中学 2018-2019 学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(参考答案) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.)
1. 【答案】B 【 解 析 】

2. 【答案】B 【解析】解:全集 U={0,1,2,3,4},集合 M={2,3,4},N={0,1,4}, ∴?UM={0,1}, ∴N∩(?UM)={0,1}, 故选:B. 【点评】本题主要考查集合的子交并补运算,属于基础题. 3. 【答案】C 【解析】解:由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为 1 的正方体,截掉一个角(三棱锥)得到 且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为 1 该几何体的表面积由三个正方形,有三个两直角边为 1 的等腰直角三角形和一个边长为 故其表面积 S=3?(1×1)+3?( ×1×1)+ 故选:C. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求表面积, 其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题 的关键. 4. 【答案】D. 【 解 析 】 ?(
2 )=

的正三角形组成



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5. 【答案】B. 【解析】 (a ? b)2 ? 4(ab)3 ? (a ? b)2 ? 4ab ? 4(ab)3 ,故

1 1 a?b ? ?2 2? ?2 2 a b ab

1 1 (a ? b)2 4ab ? 4(ab)3 1 1 ? 2 ab ? ?2, ? ?8? ? 4(ab ? ) ? 8 ? ab ? ? 2 ,而事实上 ab ? 2 2 ab ab (ab) (ab) ab ab ∴ ab ? 1 ,∴ log a b ? ?1,故选 B.
6. 【答案】A 【解析】运行该程序,注意到循环终止的条件,有 n ? 10,i ? 1;n ? 5,i ? 2;n ? 16,i ? 3;n ? 8,i ? 4;n ? 4, i ? 5;n ? 2,i ? 6;n ? 1,i ? 7,到此循环终止,故选 A. 7. 【答案】B 【解析】解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B. 8. 【答案】D 【 解 析 】

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考 点:简单线性规划. 9. 【答案】A. 【 解 析 】

10.【答案】A

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【解析】 试题分析:由题意得,根据旋转体的概念,可知该几何体是由 A 选项的平面图形旋转一周得到的几何体故选 A. 考点:旋转体的概念. 11.【答案】A 【解析】 试题分析:由 f ( x ) 的最小正周期是 ? ,得 ? ? 2 ,即 f ( x) ? sin(2 x ?

?
4

) ? sin 2( x ?

?
8

) ,因此它的图象可

? 个单位得到.故选 A. 8 考点:函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质.
由 g ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移 【名师点睛】三角函数图象变换方法:

12.【答案】C 【 解 析 】

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考 点:函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质,涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想,考查逻 辑推理能力、化归能力和计算能力,综合程度高,属于较难题型.首先利用数形结合思想和转化化归思想可得

?? ? ,从而 f ? x ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ,再次利用数形结合思想和转化化归思想 3? 12 2 3 ? ? 11? 可得 ? x1 ,f ? x1 ?? , 对称,可得 x1 ? x2 ? ? ,从而 ? x2 ,f ? x2 ?? 关于直线 x ? ? 11 12 6 6 ? 11? ? ? f ? x1 ? x2 ? ? 2 sin ? ? ? ?? . 3 3 2 ? ?
2?

?

?? ?

?

? k? ? k ? Z ? ,解得 ? ?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在横线上)
13.【答案】 . , ),(3, ),可得 A、B 的直角坐标分别是(3,

【解析】解:根据点 A,B 的极坐标分别是(2 )、(﹣ , 故 AB 的斜率为﹣ ), ,故直线 AB 的方程为 y﹣ =

=﹣

(x﹣3),即 x+3

y﹣12=0,

所以 O 点到直线 AB 的距离是 故答案为: .



【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 14.【答案】 ?3 【解析】作出可行域如图所示:作直线 l0 : 3x ? y ? 0 ,再作一组平行于 l0 的直线 l : 3x ? y ? z ? a ,当直线

l 经过点 M ( , 2) 时, z ? a ? 3 x ? y 取得最大值,∴ ( z ? a) max ? 3 ? ? 2 ? 7 ,所以 zmax ? 7 ? a ? 4 ,故
第 11 页,共 20 页

5 3

5 3

a ? ?3 .

15.【答案】 8

16.【答案】 ? 【解析】

?3 2 , 5 ? , ? 2 ? ? 4

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考点:点、线、面的距离问题. 【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题,其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质,三角 形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查, 着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及 推理与运算能力,同时考查了学生空间想象能力的训练,试题有一定的难度,属于中档试题.

三、解答题(本大共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)=lnx 的反函数为 g(x).
x ∴g(x)=e .,f(﹣x)=ln(﹣x),

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则函数的导数 g′(x)=e ,f′(x)= ,(x<0), 设直线 m 与 g(x)相切与点(x1, 则切线斜率 k2= = ),

x

,则 x1=1,k2=e, = ,则 x2=﹣e,k1=﹣ ,

设直线 l 与 f(x)相切与点(x2,ln(﹣x2)),则切线斜率 k1= 故 k2k1=﹣ ×e=﹣1,则 l⊥m. (Ⅱ)不妨设 a>b, ∵P﹣R=g( ∵P﹣Q=g( = )﹣ )﹣ = = = ﹣ ﹣ =﹣

<0,∴P<R,



x x x x 令 φ(x)=2x﹣e +e﹣ ,则 φ′(x)=2﹣e ﹣e﹣ <0,则 φ(x)在(0,+∞)上为减函数,

故 φ(x)<φ(0)=0, 取 x= ,则 a﹣b﹣ ? 令 t(x)= ﹣1+ 则 t′(x)= ﹣ , = ≥ 0, + <0,∴P<Q, = =1﹣

则 t(x)在(0,+∞)上单调递增, 故 t(x)>t(0)=0, 取 x=a﹣b,则 ∴R>Q, 综上,P<Q<R, 【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小,考查学生的运算和推理能力,综合性 较强,难度较大. ﹣1+ >0,

第 14 页,共 20 页

18.【答案】 【解析】(1)由 a1=10,a2 为整数,且 Sn≤S4 得 a4≥0,a5≤0,即 10+3d≥0,10+4d≤0,解得﹣ ∴d=﹣3, ∴{an}的通项公式为 an=13﹣3n。 (2)∵bn== , ≤d≤﹣ ,

∴Tn=b1+b2+…+bn=





+



+…+



)=







= 19.【答案】



【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程 的几何意义的应用,意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力,以及方程思想、转化思想的应 用.

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20.【答案】 【解析】(1)证明:如图, ∵点 E,F 分别为 CD,PD 的中点, ∴EF∥PC. ∵PC?平面 PAC,EF?平面 PAC, ∴EF∥平面 PAC. (2)证明:∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, 又 ABCD 是矩形,∴CD⊥AD, ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. ∵AF?平面 PAD,∴AF⊥CD. ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD. 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PDC. ∵EF?平面 PDC,
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∴AF⊥EF.

【点评】本题考查了线面平行的判定,考查了由线面垂直得线线垂直,综合考查了学生的空间想象能力和思维 能力,是中档题. 21.【答案】(1) ? k? ? 【解析】 试题分析: (1)根据 2k? ? 得A?

? ?

?
3

, k? ?

5? ? ( k ? ? );(2) 2 3 . 6 ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? 可求得函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)由 2

?
3

? A? f ? ? ? 1可 ?2?

,再由三角形面积公式可得 bc ? 12 ,根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1

1 1 3 ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 2 6 2 ? ? 3? ? 5? 令 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ,解得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 6 2 3 6 ? 5? ] ( k ? Z ). ∴ f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? , k? ? 3 6
试题解析:(1) f ( x) ?

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考点:1、正弦函数的图象和性质;2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用. 22.【答案】(1) f ? x ? ? x ? x ? 6ln x ;(2) n ? 3 ;(3)证明见解析.
2

【解析】

试 题解析: (1) f' ( x ) ? 2 x ? b ?

? f' (1) ? 2 ? b ? a ? ?5 ?b ? ?1 a ,所以 ? , ?? x ? f (1) ? 1 ? b ? 0 ?a ? 6
6 2x2 ? x ? 6 ? , x x

∴函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x2 ? x ? 6ln x( x ? 0) ; (2) f ( x) ? x ? x ? 6ln x ? f '( x) ? 2 x ? 1 ?
2

因为函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

(2 x ? 3)( x ? 2) 3 ? 0? x ? ? 或x ? 2, x 2 当 x ? (0, 2) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,
令 f '( x) ? 当 x ? (2, ??) 时, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,

第 18 页,共 20 页

且函数 f ( x ) 的定义域为 x ? 0 ,

(3)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? bx ? ln x ,
2 f ( x1 ) ? x12 ? bx1 ? ln x1 ? 0 , f ( x2 ) ? x2 ? bx2 ? ln x2 ? 0 , ln x1 ? ln x2 2 2 两式相减可得 x1 ? ( x1 ? x2 ) . ? x2 ? b( x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? 0 , b ? x1 ? x2 x ?x 1 1 f '( x) ? 2 x ? b ? , f '( x0 ) ? 2 x0 ? b ? ,因为 x0 ? 1 2 , x 2 x0 x ? x2 ln x1 ? ln x2 2 所以 f '( x0 ) ? 2 ? 1 ? ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 ? x2 x1 ? x2

? ?x ?? 2 ? 2 ? 1? ? ? x ln x2 ? ln x1 2( x2 ? x1 ) ? 2 1 ? 1 ? x2 ? ? ? ln ? ? 1 ? ? ?ln x2 ? ln x1 ? ?? x2 ? x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 ? x1 ?1 ? ? x1 ? ? ? ? 2(t ? 1) x 设 2 ? t ? 1 , h(t ) ? ln t ? , t ?1 x1

1 4 (t ? 1)2 ? 4t (t ? 1) 2 ? ? ?0, t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 t (t ? 1) 2 所以 h(t ) 在 (1, ??) 上为增函数,且 h(1) ? 0 ,
∴ h '(t ) ? ?

第 19 页,共 20 页

∴ h(t ) ? 0 ,又

1 ? 0 ,所以 f '( x0 ) ? 0 . x2 ? x1

考点:1、导数几何意义及零点存在定理;2、构造函数证明不等式. 【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式,属于难题.涉及函数的零点 问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变 化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、 交点的情况, 归根到底还是研究函数的性质, 如单调性、 极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

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