【学海导航】高三数学(人教版理B)第一轮总复习课件第41讲 合情推理与演绎推理_图文

第41讲 合情推理与演绎推理 1 2 1.对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下 分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7, ??根据上述分解规律,对任意自然数n,当n≥2时, 有 . 3 解析:等式右边依次为n个奇数和,所以由归纳推理 得,当n≥2时,有n2=1+3+?+(2n-1). 4 2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法 则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“c≠0,a· c=b· c?a =b”; ④“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”. 以上类比得到的正确结论的序号是 确的结论的序号) 5 .( 写出所有正 解析:由向量的数量积的定义知,a· b=|a||b|cos 〈a,b〉=b· a,而c≠0,a· c=b· c是两个数相等, 与向量a=b无关. 6 3.(2013· 厦门期末质检)二维空间中圆的一维测度(周 长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S′=l;三维 空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V= 4 3 π r ,观察发现V′=S,则四维空间中“超球”的三维测 3 度V=8πr3,猜想其四维测度W= . 7 解析:因为(2πr4)′=8πr3,所以 W=2πr4. 8 4.已知 a,b,c∈R,则下列推论中正确的是( C ) A.a>b?am2>bm2 a b B. > ?a>b c c 1 1 C.a >b ,ab>0? < a b 3 3 1 1 D.a >b ,ab>0? < a b 2 2 9 解析:A 中注意 m=0 时不成立,B 中当 c<0 时不成立, D 中注意 a,b 的符号二者可同正同负,只需|a|>|b|即可. 10 5.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则直 线平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a?平 面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错 误的,这是因为( A ) A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误 11 12 一 归纳推理及应用 x 【例1】已知函数f(x)= ,设f1(x)=f(x),fn(x)= 1 -x fn-1[fn-1(x)](n>1,且n∈N*),则f3(x)的表达式为____ ___,猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为____________; 13 (2)在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰, 第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所 示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示 的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的 正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律加 一定数量的珠宝, 使它构成更大的正六边形, 依此推断第 6 件首饰上应有______颗珠宝,则前 n 件首饰所用珠宝总数 为______颗.(结果用 n 表示) 14 15 1 1-x x 解析:(1)f2(x)=f1[f1(x)]= = , x 1-2x 1- 1-x x 1-2x x f3(x)=f2[f2(x)]= = , 2x 1-22x 1- 1-2x ?? x * 由此猜想 fn(x)= ( n ∈ N ). - n 1 1-2 x 16 (2)设第 i 件首饰的珠宝数为 ai,则珠宝数构成了一个数列 {an},并设其前 n 项和为 Sn,则有 a1=1,a2=a1+5=6,a3= a2+5+4=15,a4=a3+5+2×4=28,a5=a4+5+3×4=45, a6=a5+5+4×4=66,?,an=an-1+5+4(n-2), 所以 an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+?+(n-2)]=2n2-n, 所以 Sn=2(12+22+32+?+n2)-(1+2+3+?+n) n?n+1??2n+1? n?n+1? =2× - 6 2 n?n+1? n?n+1??4n-1? = (4n+2-3)= . 6 6 17 【拓展演练 1】 观察下列两式: 3 ①sin 20° +cos 50° +sin 20° · cos 50° = ; 4 2 2 3 ②sin 15° +cos 45° +sin 15° · cos 45° = . 4 2 2 18 分析上面的两式的共同特点,写出反映一般规律的等 式,并证明你的结论. 解析:推广结论: 3 sin α+cos (α+30° )+sin α· cos(α+30° )= . 4 2 2 证明如下: sin2α+cos2(α+30° )+sin α· cos(α+30° ) 3 2 1 = sin α+[cos(α+30° )+ sin α]2 4 2 3 2 1 = sin α+(cos αcos 30° -sin αsin 30° + sin α)2 4 2 3 2 3 2 3 = sin α+ cos α= . 4 4 4 19 二 类比推理及应用 【例2】(1)在△ABC中,D为AB上任一点,h为AB边上的 高,△ADC,△BDC,△ABC的内切圆半径分别为r1,r2,r, 2CD AC BD AB 则有如下的等式恒成立: r + r = r + h .在三棱锥 1 2 PABC中D是AB上任一点,h为过点P的三棱锥的高,三棱锥 PADC,PBDC,PABC的内切球的半径分别为r1,r2,r,请 类比平面三角形中的结论,写出类似的一个恒等式为_____. 20 (2)若{an}是等差数列,m,n,p是互不相等的正整数, 则有:

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