(完整word版)人教版高一数学必修一知识点总结大全

一 集合与函数

?

?确定性

?

?

?

1

集合的含义及表示

?? ?

集合中元素的特征 ??互异性 ??无序性
集合与元素的关系 : ? ?

? ? ? ? ??

集合的表示

?列举法 ??描述法

常见的数集 N N* Z Q R

? 子集: A ? B ,? ? A, A ? A

?

2

集合间的基本关系

? ?

?

集合相等:

1?定义:A=B 2?若A ? B且B ?

A则A ? B

?真子集: ?

若A ? B且 A ? B,则A? B ?

空集? 的特殊性: 空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集 *结论 含有 n 个元素的集合,其子集的个数为 2n ,真子集的个数为 2n ?1

? 并集:A ? B ? ?x | x ? A或x ? B?

3

集合的基本运算

? ?

交集:A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?

? ?

补集:CU A ? ?x | x ?U且x ? A?

在集合运算中常借助于数轴和文氏图(*注意端点值的取舍)

*结论 (1) A? A ? A A? A ? A , A ?? ? A A?? ? ?

(2) 若A? B ? B则A ? B

若A? B ? A则 A? B

(3) A ? (CU A) ? ?

A ? (CU A) ? U

(4)若 A ? B ? ? 则 A ? ? 或 A ? ?

1

? 函数的定义

4

函数及其表示

?

?

?函数的三要素

?

?

? ?

区间的表示

? 定义域

??对应法则

? ?

值域

? ? ?函数的表示法

?解析式法

? ?

列表法

? ?

? ?

图像法

5 函数的单调性及应用

(1) 定义: 设 x1 ? x2 ??a,b?, x1 ? x2 那么:

x1 ?

x2 ,

f (x1) ?

f (x2 )

? (x1 ? x2)? f (x1) ?

f (x2)? ? 0

?

f (x1) ? f (x2 ) ? 0 x1 ? x2

?

f (x)在?a,b?上是增函数;

x1 ?

x2 ,

f (x1) ?

f (x2 )

? (x1 ? x2)? f (x1) ?

f (x2)? ? 0 ?

f (x1) ? f (x2 ) ? 0 x1 ? x2

? f (x)在?a,b?上是减函数.

(2) 判定方法:1? 定义法(证明题) 2? 图像法 3? 复合法
(3) 定义法:证明函数单调性用 利用定义来证明函数单调性的一般性步骤:
1? 设值:任取 x1, x2 为该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2
2? 做差,变形,比较大小:做差 f (x1) ? f (x2 ) ,并利用通分,因式分解,配方,有理化等方

法变形比较 f (x1), f (x2 ) 大小

3? 下结论(说函数单调性必须在其单调区间上)
(4)常见函数利用图像直接判断单调性:一次函数,二次函数,反比例函数,指对数函数,幂函数, 对勾函数
(5)复合法:针对复合函数采用同增异减原则 (6)单调性中结论:在同一个单调区间内:增+增=增: 增—减=增:减+减=减:减—增=增
若函数 f (x) 在区间 ?a,b?为增函数,则— f (x) , 1 ) 在 ?a,b?为减函数
f (x

(7)单调性的应用:1? :利用函数单调性比较大小

2? 利用函数单调性求函数最值(值域)
重点题型:求二次函数在闭区间上的最值问题

2

6 函数的奇偶性及应用
(1)定义:若 f (x) 定义域关于原点对称

1? 若对于任取 x 的,均有 f (?x) ? f (x) 则 f (x) 为偶函数 2? 若对于任取 x 的,均有 f (?x) ? ? f (x) 则 f (x) 为奇函数
(2)奇偶函数的图像和性质

偶函数
函数图像关于 y 轴对称 整式函数解析式中只含有 x 的偶次方

奇函数 函数图像关于原点对称
整式函数解析式中只含有 x 的奇次方

f (?x) ? f (x)
在关于原点对称的区间上其单调性相反

f (?x) ? ? f (x)
在关于原点对称的区间上其单调性相同

若奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0

(3)判定方法:1? 定义法 (证明题) 2? 图像法 3? 口诀法
(4)定义法: 证明函数奇偶性
步骤: 1? 求出函数的定义域观察其是否关于原点对称(前提性必备条件)

2? 由出发 f (?x) ,寻找其与 f (x) 之间的关系

函数函数)

3? 下结论(若 f (?x) ? f (x) 则 f (x) 为偶函数,若 f (?x) ? ? f (x) 则 f (x) 为奇

(4) 口诀法: 奇函数+奇函数=奇函数:偶函数+偶函数=偶函数
奇函数 ? 奇函数=偶函数: 奇函数 ? 偶函数=奇函数:偶函数 ? 偶函数=偶函数

3

二 指数函数与对数函数
1 指数运算公式
1? am ? an ? am?n

2? am ? an ? am?n

3? (ab)m ? ambm

4? (am )n ? amn

5?

( a )m b

?

am bm

7?

?m
a n?

1

n am

m
6? a n ? n am

8?

n

an

? a ,当n为偶数时

?

? ?

a,当n为奇数时

2 对数运算公式 (1)对数恒等式
当a ? 0, a ? 1时 , ax ? N ? x ? loga N

loga 1 ? 0

l o ga a ? 1 aloga N ? N

(2)对数的运算法则 (a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0)

1? l o ga M( ? N ?) l ao gM ? la oNg

2?

M

l o ga

( N

?)

l aoMg ?

laNo g

3? l o ga M( n ?) n laoMg

(3)换底公式及推论

loga

b

?

logc logc

b a

(a ? 0且 a ? 1 ,c ? 且0 c ? 1b, ? 0 )

推论

1?

l

o

gam

bn

?

n m

l oa bg

2?

l

o

ga

N

?

l

1 o gN

a

3? l o ga b l obgc? l aocg

4

3 指数函数与对数函数
图 像
定义 域 值域 定点 单调 性 4 指数与对数中的比较大小问题
(1)指数式比较大小
1? am , an 2? am , bn
(2)对数式比较大小
1? loga m , loga n 2? loga m , logb n
5 指数与对数图像
6 幂函数:一般地,函数 y ? x? 叫做幂函数,其 x 中为自变量,? 是常数
几种幂函数的图象:
5

函数零点及二分法
一 函数零点的判定 (一) 函数有实数根
? 函数的图像与轴有交点 ? 函数有零点
(二) 函数的零点的判定定理
如果函数 y ? f (x) 在区间?a ,b?上的图像时连续不断的一条曲线,并且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么, 函数 y ? f (x) 在区间 ?a ,b? 内有零点,即存在 c ??a,b? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根
二 函数二分法的应用 (一)函数二分法:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,
使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法。
给定精确度 ? ,用二分法求函数 f (x) 零点近似值的步骤如下:
1 确定区间?a ,b?,验证 f (a) f (b) ? 0 ,给定精确度?
2 求区间的中点 c 3 计算 f (c)
(1) 若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点 (2) 若 f (a) f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x? ? (a, c) ) (3) 若 f (c) f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x? ? (c,b) )
4 判定是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ):否则重复 2 4 (二)函数二分法及精度计算 L ? (1)n ? ? (L ? a ?b )
2
6


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