「精品」山东省烟台市栖霞一中2017-2018学年高一数学下学期期末综合测试试题(四)(含解析)

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山东省烟台市栖霞一中 2017-2018 学年高一数学下学期期末综合测

试试题(四)(含解析)
一、选择题: 1. 下列函数中,周期为 的是( )

A.

B.

【答案】D 【解析】

易知

的周期为

C.

D.



的周期为 ,

的周期为 ,

的周

期为 ;故选 D. 2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,

,则( )

A. C. 【答案】B 【解析】

B. D.
移项得

.故选 B

3. 已知向量 A. -2 B. 0 【答案】D 【解析】 解法 1 因为

C. 1

若与 D. 2

,所以 ,解得 。

平行,则实数 的值是( ) 由于 与

平行,得

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解法 2 因为 与 平行,则存在常数,使

向量共线的条件知,向量与 共线,故 。

4. 已知 是

所在平面内一点, 为 边中点,且

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

由 O 为 BC 边上中线 AD 上的点,可知

故选:B.

,即 ,

,根据 ,那么( )

5. 若函数 f(x)= sin x, x∈[0, ], 则函数 f(x)的最大值是

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出 的取值范围,然后再求出 sin x 的最大值,进而得到函数 f(x)的最大值.

【详解】∵













,即



∴ 的最大值为 .

故选 D.

【点睛】本题考查函数

的最值的求法,解题时将

看作一个整体,求



的范围后再结合函数的图象可得所求,注意整体思想及数形结合思想的运用.

6. (1+tan250)(1+tan200 )的值是 (

)

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】

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逆用两角和正切公式求解可得所求.

【详解】由题意得











故选 B.

【点睛】解答类似问题时既要熟悉常见三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称

的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,如和差角公式变形:tan x±tan y

=tan(x±y)(1?tan xtan y)等.

7. 已知 为锐角,a=sin( ),b=

,则 a、b 之间关系为( )

A. a>b B. b>a C. a=b D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的正弦公式可得

,再由 为锐角可得

,从而得

,即 .

【详解】∵ 为锐角,













故选 B.

【点睛】本题考查两角和的正弦公式和三角函数的有界性,解题时要结合条件进行适当的变

形,并根据不等式的性质得到所求,主要考查学生的应用意识和变形、转化能力.

8. 同时具有性质“①最小正周期是 ,②图象关于直线 对称;③在 上是减函数”

的一个函数是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

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【分析】 对给出的四个选项分别进行分析、判断可得结果. 【详解】对于 A,函数的最小正周期为 ,所以 A 不正确. 对于 B,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时, 以不满足②.所以 B 不正确. 对于 C,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时,

,不是最值,所 ,所以满足②;



时,

,函数单调递增,不满足③.所以 C 不正确.

对于 D,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时,

,所以满足②;当

时,

,函数单调递减,满足③.所以 D 正确.

故选 D.

【点睛】(1)本题考查函数



的性质,解题时需将

作为

一个整体考虑.

(2)解题时注意对函数



来说,在对称轴处函数取得最大值

或最小值,利用此结论来判断函数图象的对称轴可简化运算.

9. 已知函数

(A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则(



A.

一定是奇函数 B.

一定是偶函数

C.

一定是奇函数 D.

一定是偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数

在 x=1 处取最大值可得

,然后对四个选项分别

分析、判断可得所求. 【详解】∵函数

在 x=1 处取最大值,





对于函数 不正确. 对于函数

,可得 ,可得

,无法作出判断,所以 A,B

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,为偶函数.所以 D 正确.

故选 D.

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,其中由题意得到

是解题的关键,

解题时要对所求的函数的解析式作出适当的变形.另外还要注意以下结论:函数

为偶函数,函数

是奇函数.

10. 使

(ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则 ω 的最小值为( )

A.

B.

C. π D.

【答案】A

【解析】

【分析】

函数

在区间[0,1]至少出现 2 次最大值等价于函数的图象在区间[0,1]上至少出现

个周期,由此可得 的不等式,解不等式可得所求的最小值.

【详解】由题意得函数

的最小正周期为 .

∵函数

在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,





又,

∴,

∴ 的最小值为 .

故选 A.

【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用,将函数在给定区间内取得最值的个数转化为

函数在该区间内周期的个数的问题解决,建立不等式后解不等式即可得到所求.

11. 在直角坐标系 中, 分别是与 轴, 轴平行的单位向量,若直角三角形 中,



,则 的可能值有 (

)

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【答案】B

【解析】

试题分析:根据题意,由于直角三角形 中,



,那么当角 A 是直

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角时,则满足

,当角 B 为直角时,

或者角 C 为直角时分别求解得到

无解,故有两个值,选 B.

考点:向量的数量积运用

点评:解决该试题的关键是根据数量积为零来求解垂直问题,属于基础题。

12. 如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距 离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是 ( )

A.

B.

C.

【答案】D 【解析】 【分析】 设 与直线 交于点 .作



,则可得



D. 于,

于 .由

于. 可得

,然后根据勾股定理可得

,于是可得△ABC 的边长为



【详解】

设 与直线 交于点 .作

于,





,则可得

,于是

由题意得





,即



解得



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于. .

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中,

可得







∴正△ABC 的边长



故选 D. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,平行线之间的距离,等边三角形的性质,勾股 定理等,考查学生的转化能力和运算能力,在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键. 二、填空题:

13. 设两个向量 ,满足

, 的夹角为 60°,若向量

与向量

的夹角为钝角,则实数的取值范围为____________.

【答案】

.

【解析】 【分析】 当两向量的夹角为钝角时,则两向量的数量积为负数,由此可得实数的取值范围,但要注意 排除两向量共线反向的情形.

【详解】∵

, 的夹角为 60°,



∵向量

与向量

的夹角为钝角,

∴(



解得







则得

,解得



∴当

时,向量

与向量

共线反向,不合题意.

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∴实数的取值范围为



【点睛】解答本题时注意以下结论:①

;②当 的夹角为锐角时,可得



反之不成立(注意共线同向的情形);③当 的夹角为钝角时,可得

,反之不成立(注

意共线反向的情形).

14. 若 -

,∈(0,π ),则 tan=__________________.

【答案】 或 .

【解析】 【分析】

由-

可得

是可得所求.

【详解】∵ -



,由此可求得

的值,然后可求得

,于



















解得

,故得





解得

,故得



综上可得 的值为 或 .

【点睛】对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一

个式子的值,其余二式的值可求,其中转化的公式为(sin α ±cos α )2=1±2sin α cos α ,

但解题中要注意判断 sin α +cos α 和 sin α -cos α 的符号.

15. 如右图,在

中,

是边 上一点,



____________.

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【答案】 .

【解析】 【分析】 将向量

用向量

【详解】由题意得







表示,然后根据向量数量积的定义求解可得结果. ,



【点睛】解决类似问题时,首先要抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量

的加减运算,将所给向量统一用

表示,然后再根据数量积的运算律求解,这样解题方

便快捷.

16. 下面有五个命题:

①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ;

②终边在 y 轴上的角的集合是{α |α =



③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;

④把函数



⑤函数



其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号) 【答案】① ④. 【解析】 【分析】 根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题.

【详解】对于①,由于

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,所以函数的最小正周期为 .因此命题①正确.

对于②,终边在 y 轴上的角的集合是

,因此命题②不正确.

对于③,在同一坐标系中,由三角函数的性质可得,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象 只有在原点处有唯一的公共点.因此命题③不正确.

对于④,把函数

所得图象对应的解析式为

.因此命题④正确.

对于⑤,函数

,所以函数在区间 上单调递增.因此命

题⑤不正确. 综上可得所有正确命题的序号为① ④. 【点睛】本题考查角的有关概念和三角函数的性质及图象的有关知识,解答问题的关键是根 据题意并结合相关的知识进行分析、判断,逐步得到所给的结论是否正确,考查学生综合运 用知识分析问题和解决问题的能力. 三.解答题: 17. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B,a=3,cos

B= .(1)求 b 的值;(2)求

的值.

【答案】(1)

.

(2)

.

【解析】

(1)在△ABC 中,由



且 bsinA=3csinB,a=3, ∴asinB=3csinB,∴c=1,

由 b2=a2+c2-2accosB,cosB= ,可得 b= .

(2)由 cosB= ,得 sinB= ,进而得

cos 2B=2cos2B-1=- ,sin 2B=2sinBcosB= .

所以 sin

=sin 2Bcos -cos 2Bsin =

18. 已知函数

R.

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(1)求函数 的最小正周期; (2)求函数 在区间 上的最小值和最大值.

【答案】(1) .(2) 函数 在区间 上的最大值为 最小值为 .

【解析】 【分析】

(1)运用三角变换,将函数的解析式化为

的形式,结合周期的计算公式可

得所求;(2)根据函数

在区间 上的单调性可求出最大值和最小值.

【详解】(1)由题意得

.

∴函数 的最小正周期为

.

(2)解法一:









∴当

,即

上单调递增;



,即

上单调递减.

∴当 时, 取得最大值,且最大值为





∴函数 在区间 解法二: 作函数

上的最小值为 . 在长度为一个周期的区间

上的图象,如下图所示:

由图象得函数 在区间 上的最大值为 最小值为

.

【点睛】本题考查三角函数中的特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

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的性质等基础知识,考查转化能力和基本运算能力.其中的解题关键是把所

给函数化为

的形式,然后再运用整体的思想解题.

19. 设向量

(1)若与 垂直,求

的值; (2)求 的最大值;

(3)若

,求证:∥

【答案】(1)2.

(2)32.

(3)见解析.

【解析】

本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两

角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

20. 若函数

在(0, 2π )内有两个不同零点 、 。

(1)求实数的取值范围;

(2)求

的值。

【答案】(1)a 的取值范围是(-2, - )∪(- , 2).

(2) .

【解析】

【分析】

(1)由于

,故可将问题转化为方程 sin(x+

在(0,

2π )内有相异二解,由条件得到

,结合函数的图象可得所求范围.(2)根据 、

为函数

的零点可得 sinα + cosα +=0 且 sinβ + cosβ +=0,将两式

相减并结合和差化积公式可得 tan

,从而可得所求.

【详解】(1)由题意得 sinx+ cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ ),

∵函数

在(0, 2π )内有两个不同零点,

∴关于 x 的方程 sinx+ cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解,

∴方程 sin

在(0, 2π )内有相异二解.

∵0< 2π ,

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结合图象可得若方程有两个相异解,则满足



解得





∴实数的取值范围是



(2) ∵ 是方程的相异解,

∴ sinα + cosα +=0 ①

sinβ + cosβ +=0 ②

① ②得(sinα sinβ )+ ( cosα cosβ )=0,

∴ 2sin cos

2 sin sin



又 sin ≠0,

∴ tan



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【点睛】本题以函数的零点为载体考查三角变换及函数图象的应用,考查转化变形能力和运

算能力以及数形结合能力,熟练掌握公式的变形及应用是解题的关键.

21. 一海监船发现在北偏东 方向,距离 12 nmile 的海面上有一敌船正以 10 nmile/h 的速

度沿东偏南 方向逃窜.海监船的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,海

监船应沿北偏东

的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值.

【答案】所需时间 2 小时,

.

【解析】

分析:先设时间,表示路程,再根据余弦定理求时间,再根据正弦定理求角.

详解:

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设 , 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在 处追上(如图所示).

则有 所以

















所以所需时间为 2 小时,角 的正弦值为 .

点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵 活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.

22. 已知函数





(I)设 是函数 (II)求函数

图象的一条对称轴,求 的单调递增区间.

的值.

【答案】(1) 当 为偶数时,



当 为奇数时,



(2) 函数 的单调递增区间是

( ).

【解析】

试题分析:(1)先将三角函数化为基本三角函数,即利用降幂公式得



再利用基本三角函数性质得:

,即

,所以

.因此分 为奇偶讨论得, 的值为 或 ,(2)同样先 将三角函数化为基本三角函数,此时要用到两角和余弦公式及配角公式,即

,再利用基本三角函数

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性质得:

,即

( ),故函数 的单调递增区间



( ).

试题解析:(1)由题设知



因为 是函数

图象的一条对称轴,所以





( ).所以



当 为偶数时,



当 为奇数时,



(2)





,即

( )时,

函数

是增函数,

故函数 的单调递增区间是 考点:三角函数性质

( ).

考前的心理准备,可通过暗示缓解紧张情绪进行临场调节。时用“我能”、静认真等自来稳定适当做深呼吸放松减少压力参加成学生需要将平家庭校社会全丢掉轻装上阵Comingbackhetv,flydIswTVrup!试淡拿到卷后不急于动笔先浏览题粗略知道各难易分值合安排答间较小如果一出抢然再回头虑本.x
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