雅礼中学2014届高三12月考理科数学试卷(含答案)

雅礼中学 2014 届高三月考试卷(四)



学(理科)

高三数学备课组组稿
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ?

1 ? 0, x ? R}, 则满足 A ? B ? {?1,0,1} 的集合 B 个数是( x



A.2 B.3 C.4 D.8
2. a ? 1 是直线 l1 : ax ? y ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行的( )

A充分不必要条件 B.必要不充分条件 . C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

( ? 3.若向量 a, b, c 满足 a // b ,且 b ? c ? 0 ,则 a ? b)c ? (
A.4 B.3 C.2 D.0

? ??

?

?

? ?

? ?? ? ?



4.已知函数: f ( x) ? x , g ( x) ? 2 , h( x) ? log2 x ,当 a ? (4, ??) 时,下列选项正确的是
2 x

(

)

A. f (a) ? g (a) ? h(a) B. g (a) ? f (a) ? h(a) C. g (a) ? h(a) ? f (a) D. f (a) ? h(a) ? g (a)
5.已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? α 的距离都相等,则正确的结论是( A.平面 ABC 必平行于 ? C.平面 ABC 必不垂直于 ? )

B.平面 ABC 必与 ? 相交 D.存在△ ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内

2 6.已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A, B ,则 AB 等于

()

A

3

B

4

C3 2D 4 2

7.平面上动点 A( x, y) 满足

x 5

?

y 3

? 1 , B(?4,0) , C (4,0) ,则一定有(



a 8.在等差数列 ?an ? 中, 2 ? 5 , 6 ? 21 , 记数列 ? a
对 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为()
*

?1? m 若 ? 的前 n 项和为 Sn , S 2 n ?1 ? S n ? 15 ? an ?

A

5

B

4

C

3

D

2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 9.在极坐标系中,曲线 ? cos
2

? ? 4sin ? 的焦点的极坐标.
D B

A F O E

10.已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平分线分别交 AE 、 AB 于点 F 、 D .则 ? ADF 的度数=.

C

11.若存在实数 x 使 3x ? 6 ? 14 ? x ? a 成立,求常数 a 的取值范围。 (二)必做题(12-16 题) 12.计算:

?

?

2

0

cos xdx=。
2

13. 已知某个几何体的三视图如右图所示, 根据图中标出的尺 寸,可得这个几何体的表面积是。 2
(正视图)

?
2
(侧视图)

2 2
(俯视图)

14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个,相同颜色的球不加以区分,将此 9 个球排成一排共有 种不同的排法。 (用数字作答) 15.定义:e
i? i? ? ? cos? ? i sin ? , 其中 i 是虚数单位, ? R , 且实数指数幂的运算性质对 e

0 3 都适应。若 x ? C 3 cos

?
12

? C32 cos

?
12

sin 2

?
12

1 2 , y ? C 3 cos

?
12

sin

?
12

3 ? C 3 sin 3

?
12

,则

x ? yi ? .
16.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? 1, 其中 m ? R , g ( x) ?

3 2 x ? x ? 1 ? f ( x) 。 8

(1)若 f ( x) ? 0 在 f (x) 的定义域内恒成立,则实数 m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,当 m 取最小值时, g (x) 在 [e ,??)(n ? Z ) 上有零点,则 n 的最大
n

值为。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求:
2 2

(1)函数 f ( x ) 的最小值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f ( x ) 的单调增区间. 18.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 (侧棱和底面垂直的棱柱)中,

E 平面 A BC ? 侧面 A ABB1 , AB ? BC ? AA ? 3 , 线段AC、A1 B上分别有一点 、F , 1 1 1
且满足 2 AE ? EC,2BF ? FA . 1 (1)求证: AB ? BC ; (2)求点 E到直线A1 B 的距离; (3)求二面角 F ? BE ? C 的平面角的余弦值。

19.(本小题满分 12 分)长沙市某中学在每年的 11 月份都会举行“社团文化节” ,开幕式当 天组织举行大型的文艺表演,同时邀请 36 名不同社团的社长进行才艺展示。其中有

3 的社 4

长是高中学生, 二学生。

1 1 2 的社长是初中学生,高中社长中有 是高一学生,初中社长中有 是初 4 3 3

(1)若校园电视台记者随机采访 3 位社长,求恰有 1 人是高一学生且至少有 1 人是初中学 生的概率;

(2)若校园电视台记者随机采访 3 位初中学生社长,设初二学生人数为 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? 。

20.(本小题满分 13 分) 2013 年我国汽车拥有量已超过 2 亿 (目前只有中国和美国超过 2 亿) , 为了控制汽车尾气对环境的污染,国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者,同时在部分 地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策,已知 2013 年年初汽车拥有量 为 x1 ( x1 =100 万辆) ,第 n 年(2013 年为第 1 年,2014 年为第 2 年,依次类推)年初的 拥 有 量 记 为 xn , 该 年 的 增 长 量 y n 和 xn 与 1 ?

xn 的乘积成正比,比例系数为 ? m

(0 ? ? ? 1) ,其中 m =200 万。
(1)证明: yn ? 50? ; (2)用 xn 表示 x n ?1 ;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在 200 万辆内。

21.定义:对于两个双曲线 C1 , C 2 ,若 C1 的实轴是 C 2 的虚轴, C1 的虚轴是 C 2 的实轴,则 称 C1 , C 2 为共轭双曲线。现给出双曲线 ?1 : y ? x ? 分别为 e1 , e2 。 (1)写出 ?1 , ?2 的渐近线方程(不用证明) ; (2) 试判断双曲线 ?1 : y ? x ?

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? ,其离心率 x x

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? 是否为共轭双曲线?请加以证明。 x x

(3)求值:

1 1 ? 2 。 2 e1 e2

22. (本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? p ln x ?

q ? p ? 0? ,若 x ? 2 时, f (x) 有极小值 2 x 2

1 ?1 ? ln 2 ? , 2
(1) 求实数 p, q 的取值; (2) 若数列 ?an ? 中, an ? f ?n? ,求证:数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

n ; 4

(3) 设函数 g ( x) ? a ln x ? bx ? c(a ? 0) , g (x) 有极值且极值为 t , t 与 若 则 是否具有确定的大小关系?证明你的结论。

4ac ? b 2 4a

数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x ?

1 ? 0, x ? R}, 则满足 A ? B ? {?1,0,1} 的集合 B 个数是( C ) x

A.2 B.3 C.4 D.8
2. a ? 1 是直线 l1 : ax ? y ? 0 与直线 l2 : x ? ay ? 2 ? 0 平行的( A )

A充分不必要条件 B.必要不充分条件 . C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

( ? 3.若向量 a, b, c 满足 a // b ,且 b ? c ? 0 ,则 a ? b)c ? (
A.4 B.3 C.2 D.0

? ??

?

?

? ?

? ?? ? ?

D )

4.已知函数: f ( x) ? x , g ( x) ? 2 , h( x) ? log2 x ,当 a ? (4, ??) 时,下列选项正确的是
2 x

(

B )

A. f (a) ? g (a) ? h(a) B. g (a) ? f (a) ? h(a) C. g (a) ? h(a) ? f (a) D. f (a) ? h(a) ? g (a)
5.已知平面 ? 外不共线的三点 A, B, C 到 ? α 的距离都相等,则正确的结论是( D ) A.平面 ABC 必平行于 ? B.平面 ABC 必与 ? 相交

C.平面 ABC 必不垂直于 ?

D.存在△ ABC 的一条中位线平行于 ? 或在 ? 内

2 6.已知抛物线 y ? ? x ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A, B ,则 AB 等于

( C

) 3

A

B

4

C3 2D 4 2

7.平面上动点 A( x, y) 满足

x 5

?

y 3

? 1 , B(?4,0) , C (4,0) ,则一定有( B



A AB ? AC ? 10 B AB ? AC ? 10

C AB ? AC ? 10 D AB ? AC ? 10

a 8.在等差数列 ?an ? 中, 2 ? 5 , 6 ? 21 , 记数列 ? a
对 n ? N 恒成立,则正整数 m 的最小值为(
*

?1? m 若 ? 的前 n 项和为 Sn , S 2 n ?1 ? S n ? 15 ? an ?
A )

A

5

B

4

C

3

D

2

解:由题设得 an ? 4n ? 3 ,∴ S 2 n ?1 ? S n ?

m 1 1 1 m ? ?? ? ? 可化为 , 15 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 15

令 Tn ?

1 1 1 ? ??? , 4n ? 1 4n ? 5 8n ? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? , 4n ? 5 4n ? 9 8n ? 1 8n ? 5 8n ? 9 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?0, 8n ? 5 8n ? 9 4n ? 1 8n ? 2 8n ? 2 4n ? 1 1 1 14 ? ? , 5 9 45

则 Tn ?1 ?

∴ Tn ?1 ? Tn ?

∴当 n ? 1 时, Tn 取得最大值



m 14 14 ? 解得 m ? ,∴正整数 m 的最小值为 5。 15 45 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 9.在极坐标系中,曲线 ? cos
2

? ? ? 4sin ? 的焦点的极坐标. (1, )
2
D B

A F O E

C

10.已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平分线分别交 AE 、 AB 于点 F 、 D .则 ? ADF 的度数=. 45
0

11.若存在实数 x 使 3x ? 6 ? 14 ? x ? a 成立,求常数 a 的取值范围。 (??,8) (二)必做题(12-16 题) 12.计算:

?

?

0

cos xdx=。 ?
2

2

13. 已知某个几何体的三视图如右图所示, 根据图中标出的尺 寸,可得这个几何体的表面积是。 2
(正视图)

?
2
(侧视图)

5? ? ?
2 2
(俯视图)

14.桌面上有形状大小相同的白球、红球、黄球各 3 个,相同颜色的球不加以区分,将此 9 个球排成一排共有 种不同的排法。 (用数字作答) 1680 种 15.定义:e
i? i? ? ? cos? ? i sin ? , 其中 i 是虚数单位, ? R , 且实数指数幂的运算性质对 e

0 3 都适应。若 x ? C 3 cos

?
12

? C32 cos

?
12

sin 2

?
12

1 2 , y ? C 3 cos

?
12

sin

?
12

3 ? C 3 sin 3

?
12

,则

x ? yi ? .

答案

2 2 ? i 2 2
3 2 x ? x ? 1 ? f ( x) 。 8

16.已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? 1, 其中 m ? R , g ( x) ?

(1)若 f ( x) ? 0 在 f (x) 的定义域内恒成立,则实数 m 的取值范围; m ? 1 (2)在(1)的条件下,当 m 取最小值时, g (x) 在 [e ,??)(n ? Z ) 上有零点,则 n 的最大
n

值为。

解:由(1)得 g ( x ) ?

3 2 x ? 2 x ? 2 ? ln x ( x ? 0) , 8

/ 所以 g ( x) ?

(3x ? 2)( x ? 2) 4x

故 g (x) 在 (0, ], [2,?? ) 上递增,在 ( ,2) 上递减。

2 3

2 3

所以在 [ ,?? ) 上 g (x) 的最小值为 g (2) ,

2 3

而 g (2) ? ln 2 ?

1 2 ? 0 ,故 g (x) 在 [ ,?? ) 上没有零点。 2 3 2 3 2 n 且 g (e ) ? 0 。 3

n 所以 g (x) 的零点一定在递增区间 (0, ) 上,从而有 e ?

又 g (e ) ?

?1

3 ? 8(e 2 ? 2e) 3 ? 16e 2 ? 0 , g (e ? 2 ) ? ?0, 8e 2 8e 4

当 n ? ?2 时均有 g ( x) ? 0 ,所以 n 的最大值为-2. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , x ? R .求:
2 2

(1)函数 f ( x ) 的最小值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f ( x ) 的单调增区间. (1)解:

f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4

? 当 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

3? (k ? Z ) 时, f ( x) 取得最大值 2 ? 2 . 8 3? (k ? Z )} . 8

函数 f ( x ) 的取得最大值的自变量 x 的集合为 {x / x ? R, x ? k? ?

??????????6 分 (2) f ( x) ? 2 ? 2 sin(2 x ?

?
4

) 由题意得: 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z )

即: k? ?

3? ? 3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 因此函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 8 8
??????????12 分

18.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 (侧棱和底面垂直的棱柱)中,

E 平面 A BC ? 侧面 A ABB1 , AB ? BC ? AA ? 3 , 线段AC、A1 B上分别有一点 、F , 1 1 1
且满足 2 AE ? EC,2BF ? FA . 1 (1)求证: AB ? BC ; (2)求点 E到直线A1 B 的距离; (3)求二面角 F ? BE ? C 的平面角的余弦值。
A1 C1

B1

A

E

F C

B

(1)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D,则由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC ? 侧面 A1ABB1=A1B,得 AD⊥平面 A1BC,又 BC ? 平面 A1BC,所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC—A1B1C1 是直三棱柱,则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1 ? AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB ? 侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC. ??????????4 分

(2)由(Ⅰ)知,以点 B 为坐标原点,以 BC、BA、BB1 所在的直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴,可建立如图所示的空间直角坐标系, B(0,0,0), A(0,3,0), C(3,0,0) , A1 (0,3,3) 有 由

线段AC、A1 B上分别有一点 、F E







2 AE ? EC,2BF ? FA1 ,
所以 E(1,2,0), F(0,1,1)

???? ??? ? EF ? (?1, ?1,1), BA1 ? (0,3,3). 所以 EF ? BA1 ,
所以点 E到直线A1 B 的距离 d ? EF ?

3 。??????????8 分

(3) cos? ? ?

6 。??????????12 分 6

19.(本小题满分 12 分)长沙市某中学在每年的 11 月份都会举行“社团文化节” ,开幕式当 天组织举行大型的文艺表演,同时邀请 36 名不同社团的社长进行才艺展示。其中有

3 的社 4

长是高中学生, 二学生。

1 1 2 的社长是初中学生,高中社长中有 是高一学生,初中社长中有 是初 4 3 3

(1)若校园电视台记者随机采访 3 位社长,求恰有 1 人是高一学生且至少有 1 人是初中学 生的概率; (2)若校园电视台记者随机采访 3 位初中学生社长,设初二学生人数为 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? 。 解: (Ⅰ)由题意得,高中学生社长有 27 人,其中高一学生 9 人;初中学生社长有 9 人,其中初二学生社长 6 人。 事件 A 为“采访 3 人中,恰有 1 人是高一学生且至少有 1 人是初中学生” 。
sj.fjjy.org

1 1 1 1 C9 C9 C18 C9 C92 297 ?????????????????6 分 P( A) ? ? 3 ? 3 1190 C36 C36

(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 C6C32 3 ? 3 C9 14

sj.fjjy.org

P(? ? 2) ?

2 1 5 C6 C3 15 , P (? ? 3) ? , ? 3 21 C9 28

sj.fjjy.org

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 84

3 14

15 28

5 21

所以 E? ? 0 ?

1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 ,????????12 分 84 14 28 21

20.(本小题满分 13 分) 2013 年我国汽车拥有量已超过 2 亿 (目前只有中国和美国超过 2 亿) , 为了控制汽车尾气对环境的污染,国家鼓励和补贴购买小排量汽车的消费者,同时在部分 地区采取对新车限量上号。某市采取对新车限量上号政策,已知 2013 年年初汽车拥有量 为 x1 ( x1 =100 万辆) ,第 n 年(2013 年为第 1 年,2014 年为第 2 年,依次类推)年初的 拥 有 量 记 为 xn , 该 年 的 增 长 量 y n 和 xn 与 1 ?

xn 的乘积成正比,比例系数为 ? m

(0 ? ? ? 1) ,其中 m =200 万。
(1)证明: yn ? 50? ; (2)用 xn 表示 x n ?1 ;并说明该市汽车总拥有量是否能控制在 200 万辆内。 解: (1)依题 y n ? ?x n (1 ?

xn ) ??????????2 分 m

? 只需证明 x n (1 ?

xn ) ? 50 ,即证 ( xn ? 100) 2 ? 0 。 m
??????????5 分

上式显然成立,所以 yn ? 50? 。 (2) xn?1 ? xn ? y n ,所以 x n ?1 ? x n ? ?x n (1 ?

xn ) 200

按该政策可以将该市汽车总拥有量控制在 200 万辆内,即 xn ? 200 。???????6 分 证明如下: 当 n ? 1 时, x1 ? 100 ,显然成立。 假设 n ? k 时, xk ? 200 成立。 则当 n ? k ? 1 时 , x k ?1 ? x k ? ?x k (1 ?

xk ) 是关于 xk 的一个二次函数, 200

令 f ( x) ? ?

?
200

x 2 ? (1 ? ? ) x , ( x ? 200)

其对称轴 x ?

100 (1 ? ? )

?

? 200 ,所以 f (x)在( ,200 0 )内递减

f ( x) ? f (200) ? 200,即 xk ?1 ? 200
综上所述, xn ? 200 成立。 ??????????13 分

21.定义:对于两个双曲线 C1 , C 2 ,若 C1 的实轴是 C 2 的虚轴, C1 的虚轴是 C 2 的实轴,则 称 C1 , C 2 为共轭双曲线。现给出双曲线 ?1 : y ? x ? 分别为 e1 , e2 。 (1)写出 ?1 , ?2 的渐近线方程(不用证明) ; (2) 试判断双曲线 ?1 : y ? x ?

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? ,其离心率 x x

1 1 和双曲线 ?2 : y ? x ? 是否为共轭双曲线?请加以证明。 x x

(3)求值:

1 1 ? 2 。 2 e1 e2

解: (1) ?1 , ?2 的渐近线方程都是: y ? x 和 x ? 0 。-------------3 分 (2)双曲线 ?1 , ?2 是共轭双曲线。-------------4 分 证明如下:对于 ?1 : y ? x ?

1 ,实轴和虚轴所在的直线是 y ? x 和 x ? 0 的角平分线所 x

的直线,所以 ?1 : y ? x ?

1 0 的实轴所在直线为 y ? tan67.5 x ? ( 2 ? 1) x , x
0

虚轴所在直线为 y ? tan157.5 x ? (1 ? 2 ) x ,-------------6 分 实轴 y ? ( 2 ? 1) x 和 y ? x ?

1 2 2 的交点 A1 到原点的距离的平方 d ? a1 ? 2 ? 2 2 。 x



b1 ? tan22.50 ? 2 ? 1 ,所以 b12 ? 2 2 ? 2 从而得 c12 ? 4 2 ;-------------8 分 a1
1 0 ,实轴所在直线为 y ? tan157.5 x ? (1 ? 2 ) x , x
0

同理对于 ?2 : y ? x ?

虚轴所在直线为 y ? tan67.5 x ? ( 2 ? 1) x , 实轴 y ? (1 ? 2 ) x 和 y ? x ?

1 2 2 的交点 B1 到原点的距离的平方 d ? a2 ? 2 2 ? 2 x

b2 ? tan67.50 ? 2 ? 1 ,所以 b2 2 ? 2 2 ? 2 ,从而得 c2 2 ? 4 2 。 a2

综上所述,双曲线 ?1 , ?2 是共轭双曲线。-------------10 分 (3)由(2)易得
2 1 a12 2 ? 2 2 1 a2 2 2 ? 2 ? 2 ? , 2 ? 2 ? , e12 c1 e2 c2 4 2 4 2

所以

1 1 ? 2 =1 。-------------13 分 2 e1 e2
q ? p ? 0? ,若 x ? 2 时, f (x) 有极小值 2 x 2

22. (本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? p ln x ?

1 ?1 ? ln 2 ? , 2
(4) 求实数 p, q 的取值; (5) 若数列 ?an ? 中, an ? f ?n? ,求证:数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

n ; 4

(6) 设函数 g ( x) ? a ln x ? bx ? c(a ? 0) , g (x) 有极值且极值为 t , t 与 若 则 是否具有确定的大小关系?证明你的结论。 【解答】 (1) f ' ( x) ?

4ac ? b 2 4a

px2 ? 2q ???????????????????????1 分 x3

? 2 p ? f ' ( ) ? 0 ? ? 2q ? 0 ? 2 2 ?? ??????????3 分 2 1 p 1 ? f ( ) ? ?1 ? ln 2? ? ? ln 2 ? 2q ? ?1 ? ln 2? ? 2 2 2 2 ?
? p ? 1, q ? 1 ????????????????????????????4 分 4

(2)由条件和第(1)问可知,函数 y ? f (x) 在 x ? ? ?

? 2 ? ,?? ? 上单调递增,?5 分 ? ? 2 ?

an ? f (n), n ? 1
? a n ? a1 ? 1 n ? S n ? na1 ? 4 4
???????????7 分

(3) g ' ( x ) ?

a ? b ,由 g (x) 有极值且 g (x) 的定义域为 ?0,??? 可知: x

a, b 异号,极小值点为 x ? ?

a ? a? , t ? g ? ? ? ???????????????8 分 b ? b?

? ? a ? b2 ? 4ac ? b 2 b2 ? a? t? ? a ln? ? ? ? a ? c ? c ? ? a? ln? ? ? ? 2 ? 1? ?????9 分 ? ? 4ac 4a ? b? ? ? b ? 4a ?
令? ? ?

a 1 ? 1 ,由条件和第(1)问可知: ,构造函数 h(? ) ? ln ? ? b 4? 2

??

2 2 1 ) ? ? ?1 ? ln 2? ? 0 时, h(? ) 有极小值 h( 2 2 2
1 1 ? 1 ? 2 ? 0 ???????????11 分 2 4e 4e

而 h(e) ? ln e ?

所以 t ?

4ac ? b 2 可能大于 0 或可能等于 0 或可能小于 0, 4ac 4ac ? b 2 不具有明确的大小关系。???????????13 分 4a

即 g (x) 的极值 t 与

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