2018-2019学年高中数学北师大必修2课件:第一章 §4 第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1~3_图文

第一课时 空间图形基本关系的认识与公理1~3 预习课本P22~25,思考并完成以下问题 (1)空间中点、线、面的位置关系有哪些?该怎样表示? (2)空间图形的公理1,公理2,公理3的内容是什么?各有什 么作用? [新知初探] 1.空间中点、线、面的位置关系 (1)点与直线的位置关系 ①点B在直线l上: B∈l ; ②点B在直线l外: B?l . (2)点与平面的位置关系 ①点A在平面α内:A∈α ; ②点B在平面α外: B?α . [点睛] 通常借助集合中的符号语言来表示.点为元素,直 线与平面都是点构成的集合,几何中的很多符号规定都是源于 将图形视为点集. 2.空间图形的公理 公理 内容 过不在一条直线上 _______________ 公理1 的三点,有且只有 一个平面 如果一条直线上的 两点 在一个平面 ______ 内,那么这条直线 在此平面内 图形 符号 A,B,C三点 不共线?存在 唯一的α使 A,B,C∈α 作用 用来确 定一个 平面 用来证 公理2 A ∈l,B∈l, ____ 明直线 B∈α 且 A∈α, 在平面 ?l α 内 公理 内容 如果两个不重 合的平面有一 图形 符号 作用 P ∈α ,P∈β _____ ?α∩β=l, 且P∈l 用来证明 空间的点 共线和线 共点 公理3 个公共点,那 么它们有且只 有一条过该点 的公共直线 ____________ [点睛] 对公理1必须强调是不共线的三点. 3.公理1的推论 推论1:一条直线和直线外一点确定一个平面(图①). 推论2:两条相交直线确定一个平面(图②). 推论3:两条平行直线确定一个平面(图③). [点睛] 公理1及其三个推论是用来确定一个平面的依据. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两两相交的三条直线确定一个平面. (2)经过一条直线和一个点确定一个平面. ( ×) ( ×) (3)如果平面α与平面β相交,那么它们只有有限个公共点. ( × ) 2.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为 A.P∈a,a∥α C.P∈a,P?α B.a∩α=P D.P∈a,a α ( ) 答案:C 3.若平面α与平面β相交,点A,B既在平面α内又在平面β内, 则点A,B必在____________. 答案:α与β的交线上 4.根据右图,填入相应的符号:A______平面 ABC,A________平面BCD,BD________ 平面ABC,平面ABC∩平面ACD= ________. 答案:∈ ? AC 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化 [典例] 根据图形用符号表示下列点、 直线、 平面之间的关系. (1)点 P 与直线 AB; (2)点 C 与直线 AB; (3)点 M 与平面 AC; (4)点 A1 与平面 AC; (5)直线 AB 与直线 BC; (6)直线 AB 与平面 AC; (7)平面 A1B 与平面 AC. [ 解] (1)点 P∈直线 AB. (2)点 C ?直线 AB. (3)点 M∈平面 AC. (4)点 A1?平面 AC. (5)直线 AB∩直线 BC=点 B. (6)直线 AB 平面 AC. (7)平面 A1B∩平面 AC=直线 AB. 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细 观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如 何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意 实线和虚线的区别. [活学活用] 1.若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可 记为 A.M∈a,a∈α C.M a,a α B.M∈a,a α D.M a,a∈α ( ) 解析:选B 可知B正确. 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示 2.用符号语言表示下列语句,并画出图形: (1)三个平面 α,β,γ 相交于一点 P,且平面 α 与平面 β 相交于 PA,平面 α 与平面 γ 相交于 PB,平面 β 与平面 γ 相交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ = P, α∩β= PA, α∩γ= PB, β∩γ=PC, 图形表示: 如图(1). (2)符号语言表示:平面 ABD∩ 平面 BDC=BD,平面 ABC∩平面 ADC=AC,图形表示:如图(2). 平面的基本性质的应用 题点一:点线共面问题 1.如图,已知直线 a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证: a,b,c,l 共面. 证明:∵a∥b,∴a,b确定一个平面α. ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α. 又∵A∈l,B∈l,∴l α. ∵b∥c,∴b,c确定一个平面β. 同理可证l β. 于是b α,l α,b β,l β,即α∩β=b,α∩β=l. 又∵b与l不重合,∴α与β重合, ∴a,b,c,l共面. 点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内 的问题,主要依据是公理1及其推论、公理2.解决该类问 题通常有三种方法:(1)纳入平面法,先由部分元素确定 一个平面,再证其他元素也在该平面内;(2)辅助平面法 (平面重合法),先由有关的点、线确定平面α,再由其余 元素确定平面β,最后证明平面α,β重合;(3)反证 法.通常情况下采用第一种方法. 题点二:点共线问题 2. 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设线 段A1C与平面ABC1D1交于点Q,求证:B, Q,D1三点共线. 证明:如图,连接A1B,CD1,显然B∈平面A1BCD1,D1∈平 面A1BCD1. ∴BD1 平面A1BCD1. 同理BD1 平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1. ∵A1C

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