2019金榜e讲堂-高三人教版数学理一轮复习课件第6章第6节直接证明和间接证明_图文

第六节

直接证明和间接证明

一、直接证明

[主干知识梳理]

内容

综合法

分析法

利用已知条件和某些数 从要 证明的结论 出发,逐步 学定义、公理、定理等,寻求使它成立的 充分条件,直到

定义 经过一系列的推理论证,最后,把要证明的结论归结为判

最后推导出所要证明的 定一个明显成立的条件(已知条

结论

成立

件、定理、定义、公理等)为止.

二、间接证明 反证法:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结 论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明 假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫 反证法.

[基础自测自评] 1.(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少
有一个不大于60°”时,应假设 ()
A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60° C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60° B [假设为“三个内角都大于60°”.]

2.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b大小关系为

A.a>b C.a=b

B.a<b D.a≤b

()

A [a=lg 2+lg 5=lg 10=1,b=ex<1,则a>b.]

3.命题“对于任意角 θ,cos4θ -sin4θ =cos 2θ ”的证明:“cos4

θ -sin4θ =(cos2θ -sin2θ )(cos2θ +sin2θ )=cos2θ -sin2θ

=cos 2θ ”过程应用了

(

)

A.分析法

B.综合法

C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法

B [因为证明过程是“从左往右”,即由条件?结论.]

4.用反证法证明命题“如果 a>b,那么3 a>3 b”时,假设的内 容是________.

解析

“如果

a>b,那么3

3 a>

b”若用反证法证明,其假设为

3 a≤

3 b.

答案

3 a≤

3 b

5.如果 a a+b b>a b+b a,则 a、b 应满足的条件是________. 解析 ∵a a+b b>a b+b a?( a- b)2( a+ b)>0?a
≥0,b≥0 且 a≠b. 答案 a≥0,b≥0 且 a≠b

[关键要点点拨] 1.证明方法的合理选择
(1)当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易, 一般用综合法. (2)当题目条件较少 ,可逆向思考时,执果索因,使用分 析法解决.但在证明过程中,注意文字语言的准确表 述.

2.使用反证法的注意点 (1)用反证法证明问题的第一步是“反设”,这一步一定 要准确,否则后面的部分毫无意义; (2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾.

综合法
[典题导入] (2014·福建省质检)如图 1,椭圆 E:ax22+by22=1(a>b>0)的左、右焦点分 别为 F1、F2,左、右顶点分别为 A1、A2, T????1,32????为椭圆上一点,且 TF2 垂直于 x 轴. (1)求椭圆 E 的方程;

(2)给出命题:“已知P是椭圆E上异于A1、A2的一点,直线 A1P、A2P分别交直线l:x=t(t为常数)于不同的两点M、N, 点Q在直线l上.若直线PQ与椭圆E有且只有一个公共点P, 则Q为线段MN的中点”,写出此命题的逆命题,判断你所写 出的命题的真假,并加以证明; (3)试研究(2)的结论,根据你的研究 心得,在图2中作出与该双曲线有且 只有一个公共点S的直线m,并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.

[听课记录] (1)因为 T????1,32????为椭圆上一点,TF2 垂直于 x 轴,所 以 c=1. 连接 TF1,在 Rt△ TF1F2 中, 因为|TF2|=32,|F1F2|=2,所以|TF1|=52. 又|TF1|+|TF2|=2a=4,所以 a=2, 从而 b= a2-c2= 3,所以椭圆 E 的方程为x42+y32=1.

(2)逆命题:“已知 P 是椭圆 E 上异于 A1、A2 的一点,直线 A1P、 A2P 分别交直线 l:x=t(t 为常数)于不同的两点 M、N,点 Q 在直 线 l 上.若 Q 为线段 MN 的中点,则直线 PQ 与椭圆 E 有且只有 一个公共点 P”,其为真命题. 证明如下: 设 P(x0,y0)(x0≠±2),则x402+y302=1, 又 lA1p∶y=x0y+0 2(x+2),lA2p∶y=x0y-0 2(x-2), 所以 M????t,y0(x0t++22)????,N????t,y0(x0t--22)????.

设 MN 的中点为 Q(x1,y1), 则 x1=t,y1=y0(x0t--22)+2 y0(x0t++22)=y0(xx200-t-44), 又 x20-4=-34y20,所以 y1=y0(xx020-t-44)=-3(4xy0t0-4), 即点 Q????t,-3(4xy0t0-4)????. 因为 x0≠t,

所以 kPQ=-3(4xyt0-t0-x40 )-y0=-3(4y0x(0t-t-4)x0)-4y20 =4y30x(20-t-3xx00t)=-4y30x0, 则 lPQ∶y=-43y0x0(x-x0)+y0,即 y=-34xy00x+y30. 由???x42+y32=1
??y=-34xy00x+y30

消去 y 并化简得:43y20x2-32xy020x+y302-1=0,
所以 Δ=????-23yx200????2-4×43y20×????y320-1????=9x02+142yy4020-36 =0, 所以直线 PQ 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P.

(3)如图,①任作一条不过点S的直线n垂直于双曲线的实轴; ②作直线A1S、A2S分别交直线n于I、J两点;③作线段IJ的中 点V,连接SV,则直线SV即为所求的直线m.

[规律方法] 综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推 导出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺 推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方 法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的 正确性.

[跟踪训练] 1.(2013·陕西高考)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和.
(1)若{an}是等差数列,推导 Sn 的计算公式; (2)若 a1=1,q≠0,且对所有正整数 n,有 Sn=11--qqn.判断{an} 是否为等比数列,并证明你的结论.

解析:(1)解法一:设{an}的公差为 d, 则 Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d], ∴2Sn=n(a1+an),∴Sn=n(a1+ 2 an).

解法二:设{an}的公差为 d,则 Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d], 又 Sn=an+an-1+…+a1 =[a1+(n-1)d]+[a1+(n-2)d]+…+a1, ∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…+[2a1+(n-1)d]= 2na1+n(n-1)d, ∴Sn=na1+n(n- 2 1)d.

(2){an}是等比数列.证明如下: ∵Sn=11--qqn, ∴an+1=Sn+1-Sn=1-1-qnq+1-11--qqn=qn(11--qq)=qn. ∵a1=1,q≠0,∴当 n≥1 时,有aan+n 1=qqn-n 1=q, 因此,{an}是首项为 1 且公比为 q 的等比数列.

分析法
[典题导入] △ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,A,B,C 的对边 分别为 a,b,c. 求证:a+1 b+b+1 c=a+3b+c.

[听课记录] 要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c, 即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3 也就是a+c b+b+a c=1, 只需证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证 c2+a2=ac+b2, 又△ ABC 三内角 A,B,C 成等差数列,故 B=60°, 由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos 60°,即 b2=c2+a2-ac, 故 c2+a2=ac+b2 成立.于是原等式成立.

[规律方法] 分析法的特点与思路 分析法的特点是“执果索因”,即从“未知”看“需知”, 逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论 等).通常采用“欲证——只需证——已知”的格式,在表达 中要注意叙述形式的规范.

[跟踪训练] 2.已知 m>0,a,b∈R,求证:????a1++mmb????2≤a21++mmb2.
证明 ∵m>0,∴1+m>0. 所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证 m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0 显然成立, 故原不等式得证.

反证法 [典题导入]
(2013·北京高考)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W:x42+y2=1 相交于 A,C 两点,O 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的 长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明:四边形 OABC 不可 能为菱形.

[听课记录] (1)因为四边形为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 A????t,21????, 代入椭圆方程得t42+41=1,即 t=± 3. 所以|AC|=2 3.

(2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0. 由?????xy=2+k4xy+2=m4,消去 y 并整理得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2), 则x1+2 x2=-1+4k4mk2,y1+2 y2=k·x1+2 x2+m=1+m4k2.

所以 AC 的中点为 M????-1+4k4mk2,1+m4k2????. 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0, 所以直线 OB 的斜率为-41k. 因为 k·????-41k????≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

[规律方法] 反证法证明问题的一般步骤 (1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定 命题)成立;(否定结论) (2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理, 导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显 的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾) (3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设” 的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题 成立.(命题成立)

[跟踪训练] 3.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,
b,c,d中至少有一个为负数. 证明 假设a,b,c,d都是非负数,则由a+b=c+d=1, 得1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd, 即ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾, 故假设不成立.即a,b,c,d中至少有一个为负数.

【创新探究】 放缩有“度”,巧证不等式 (2013·安徽高考)设函数 fn(x)=-1+x+2x22+3x32+…
+nxn2(x∈R,n∈N*).
证明:(1)对每个 n∈N*,存在唯一的 xn∈????23,1????, 满足 fn(xn)=0; (2)对任意 p∈N*,由(1)中 xn 构成的数列{xn}满足 0<xn-xn+p <n1.

【思路导析】 (1)利用导数结合函数的单调性证明. (2)利用函数的单调性进行转化,注意不等式的放缩. 【证明】 (1)对每个 n∈N*, 当 x>0 时,f′n(x)=1+2x+…+xnn-1>0, 故 fn(x)在(0,+∞)内单调递增. 由于 f1(1)=0,

当 n≥2 时,fn(1)=212+312+…+n12>0,故 fn(1)≥0.

??2??k



fn????23????=-1+32+k?=n 2

??3?? k2

≤-31+41

n
?

k=2

??2??k ??3??

=-31+41·????23????2????11--????3232????n-1????=-13·????23????n-1<0, 所以存在唯一的 xn∈????23,1????,满足 fn(xn)=0.

(2)当 x>0 时,fn+1(x)=fn(x)+(nx+n+11)2>fn(x), 故 fn+1(xn)>fn(xn)=fn+1(xn+1)=0. 由 fn+1(x)在(0,+∞)内单调递增,知 xn+1<xn. 故{xn}为单调递减数列, 从而对任意 n,p∈N*,xn+p<xn. 对任意 p∈N*,由于 fn(xn)=-1+xn+2xn22+…+nxnn2=0,①

fn+p(xn+p)=-1+xn+p+x2n2+2 p+…+xnnn+2 p+(nx+nn+ +11p)2+…+ (nx+nn+ +ppp)2=0,② ①式减去②式并移项,利用 0<xn+p<xn≤1,得

? ? ? xn-xn+p=

n

xkn+pk-2 xkn+

n+p xkkn+2 p≤

x n+p

k n+p

k2

k=2

k=n+1

k=n+1

≤k=n?+n+p1k12<k=n?+n+p1k(k-1 1)=n1-n+1 p<n1.
因此,对任意 p∈N*,都有 0<xn-xn+p<n1.

【高手支招】 所谓放缩法就是利用不等式的传递性,根据 证题目标进行合情合理的放大或缩小,在使用放缩法证题时 要注意放和缩的“度”,否则就不能同向传递了,此法既可 以单独用来证明不等式,也可以是其他方法证题时的一个重 要步骤.

[体验高考] 已知函数 f(x)=ln(1+x)-x(11++xλx). (1)若 x≥0 时 f(x)≤0,求 λ 的最小值; (2)设数列{an}的通项 an=1+12+13+…+1n, 证明:a2n-an+41n>ln 2.

解析 (1)由已知 f(0)=0, f′(x)=(1(-12+λ)x)x-2 λx2,f′(0)=0. 若 λ<12,则当 0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0, 所以 f(x)>0.若 λ≥12,则当 x>0 时,f′(x)<0, 所以当 x>0 时,f(x)<0.综上,λ 的最小值是21.

(2)证明:令 λ=12,由(1)知,当 x>0 时,f(x)<0, 即x(22++2xx)>ln(1+x). 取 x=1k,则2k(2kk++11)>lnk+k 1.

于是

a2n-a

n+41n=2?n-1[ k=n

21k+2(

k+1 1)]=2k?n=-n12

2k+1 k(k+1)>2kn=-?lnn1

k+ k

1

=ln 2n-ln n=ln 2. 所以 a2n-an+41n>ln 2.

课时作业


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