2019年秋高中数学 第三章 三角恒等变换 阶段复习课 第4课 三角恒等变换学案 新人教A版必修4

哈哈哈哈 哈哈哈 哈哈和

第四课

三角恒等变换
[核心速填]

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α ±β )=sin_α cosβ ±cos_α sin_β . cos(α ±β )=cos_α cos_β ?sin_α sin_β . tan±tan β tan(α ±β )= . 1?tan α tan β 2.倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α =2sin_α cos_α . cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α . 2tan α tan 2α = . 2 1-tan α 3.半角公式 α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 1-cos α . 2 1+cos α . 2 1-cos α sin α 1-cos α = = . 1+cos α 1+cos α sin α
2 2 2 2

4.辅助角公式

b? ? 2 2 (1)asin α +bcos α = a +b sin(α +φ )?tan φ = ?.

?

a?

(2)与特殊角有关的几个结论: π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?, 4? ? π? ? 3sin α ±cos α =2sin?α ± ?, 6? ? π? ? sin α ± 3cos α =2sin?α ± ?. 3? ?

[体系构建]

1

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[题型探究] 三角函数式求值 2 ?π ? ?2 018π -2α ?=( (1)已知 sin? -α ?=- ,则 cos? ? 5 ?3 ? ? 3 ? 17 A.- 25 17 C. 25 (2)4cos 50°-tan 40°等于( A. 2 C. 3 ) B. 2+ 3 2 7 B.- 8 7 D. 8 )

D.2 2-1

1 1 (3)已知 tan(α -β )= ,tan β =- ,且 α ,β ∈(0,π ),求 2α -β 的值. 2 7 (1)C (2)C
2

[(1)cos?

?2 018π -2α ?=cos?2π -2α ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

=1-2sin ?

?π -α ? ? ?3 ?

? 2?2 =1-2×?- ? ? 5?
= 17 . 25

(2)4cos 50°-tan 40° = = = 4sin 40°cos 40°-sin 40° cos 40° 2sin 80°-sin 40° cos 40° + -sin 40° cos 40°

2

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3sin 50°+cos 50°-sin 40° cos 40° 3sin 50° = 3. cos 40°



(3)tan α =tan[(α -β )+β ] = 1- α -β +tan β 1 = >0. α -β β 3

? π? 而 α ∈(0,π ),故 α ∈?0, ?. 2? ?
1 π ∵tan β =- ,0<β <π ,∴ <β <π , 7 2 1 ∴-π <α -β <0.而 tan(α -β )= >0, 2 π ∴-π <α -β <- , 2 ∴2α -β =α +(α -β )∈(-π ,0). ∵tan(2α -β )=tan[α +(α -β )] = tan α + 1-tan α α -β α -β =1,

3π ∴2α -β =- .] 4 [规律方法] 三角函数求值主要有三种类型,即: 给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发 现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系, 如和或差为特殊角, 当然还有可能需要运用诱 导公式. 给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这 类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的 范围. 给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在 求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.

[跟踪训练] 1.若 α ,β ∈?

?3π ,π ?,sin(α +β )=-3,sin?β -π ?=12,则 cos?α +π ?= ? ? ? 4? 4? 5 ? 4 ? ? ? 13 ? ?
( ) 【导学号:84352353】 16 B.- 65
3

56 A. 65

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56 C.- 65 C [∵α ,β ∈?

56 16 D. 或- 65 65

?3π ,π ?,∴α +β ∈?3π ,2π ?,β -π ∈?π ,3π ?, ? ? 2 ? ? ? 4 ? 4 ?2 ? 4 ? ? ?
2

∴cos(α +β )= 1-sin π? ? cos?β - ?=- 4? ?

α +β



? 3?2 4 1-?- ? = , ? 5? 5
5 ?12?2 1-? ? =- , 13 ?13?

π? 2? 1-sin ?β - ?=- 4? ? α +β

π? ? ? 则 cos?α + ?=cos? 4? ? ?

π ?? ? -?β - ?? 4 ?? ?

π? π? ? ? =cos(α +β )cos?β - ?+sin(α +β )sin?β - ? 4? 4? ? ? 4 ? 5 ? ? 3? 12 56 = ×?- ?+?- ?× =- .] 13 5 5 ? 65 ? ? ? 13 2.在△ABC 中,若 3cos 1 4 [因为 3cos
2 2

A-B
2
2

+5sin

2

A+B
2

=4,则 tan Atan B=________.

A-B
2

+5sin

A+B
2

=4,

3 5 所以 cos(A-B)- cos(A+B)=0, 2 2 3 3 5 5 所以 cos Acos B+ sin Asin B- cos Acos B+ sin Asin B=0, 2 2 2 2 即 cos Acos B=4sin Asin B, 1 所以 tan Atan B= .] 4 三角函数式化简 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 化简(1) ; π π ? ? 2? ? 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ?

? 1 -tanα ? α 2 ?·? 1+tan α ·tan ? (2)? α . ? 2? ?tan ? ? ? 2 ? ?
1 2 2 -2sin xcos x+ 2 [解] (1)原式= ?π ? 2?π ? 2sin? -x?cos ? -x? ?4 ? ?4 ? ?π ? cos? -x? 4 ? ?

4

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1 2 cos 2x 2 1 = = = cos 2x. π π π ? ? ? ? ? ? 2 2sin? -x?cos? -x? sin? -2x? ?4 ? ?4 ? ?2 ? -sin 2x
2

1 2

(2)







?cosα2 sinα2 ? ? α- α? ?sin 2 cos 2 ?

·

? sin α sinα2 ? ?1+cos α · α ? cos 2? ?



cos

α α α 2α -sin cos α cos +sin α sin 2 2 2 2 · α α α sin cos cos α cos 2 2 2
2



2cos α 2 · = . sin α α sin α cos α cos 2

α cos 2

[规律方法] 三角函数式化简的基本技巧 (1)sin α ,cos α →凑倍角公式. (2)1±cos α →升幂公式. (3)asin α +bcos α →辅助角公式 asin α +bcos α = a +b ·sin(α +φ ),其中 tan φ = 或 asin α +bcos α = a +b ·cos(α -φ ),其中 tan φ = . [跟踪训练] +sin α +cos α 3.化简: [解] 原式
2 2

b a

2

2

a b

?sin α -cos α ? ? 2 2? ? ?

2+2cos α

(180°<α <360°).



?2cos2α +2sin α cos α ??sin α -cos α ? ? ? 2 2 2? 2 2? ? ?? ?
2·2cos 2cos
2

α 2



α α ?? α α ? α ? ?cos 2 +sin 2 ??sin 2 -cos 2 ? 2? ?? ? α ? ? 2?cos ? 2? ? -cos α .

cos =

α 2

?cos α ? ? 2? ? ?

α α ∵180°<α <360°,∴90°< <180°,∴cos <0, 2 2
5

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α cos -cos α 2 ∴原式= α -cos 2

=cos α .

三角恒等式的证明 1 2 求证:tan x+ 2 = tan x sin x cos x [证明] 左边= 2 + 2 cos x sin x = = sin x+cos x 2 2 sin xcos x
2 4 4 2 2

+cos 4x . 1-cos 4x

x+cos2x

2

-2sin xcos x

2

2

1 2 sin 2x 4

1 2 1- sin 2x 2 = 1 2 sin 2x 4 1 2 1- sin 2x 2 1 8 -cos 4x
2 2



= =

8-4sin 2x 4+4cos 2x = 1-cos 4x 1-cos 4x 4+ +cos 4x 1-cos 4x



+cos 4x =右边. 1-cos 4x

原式得证. [规律方法] 三角恒等式的证明问题的类型及策略 不附加条件的恒等式证明. 通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简,如果两边 都较繁,则采用左右互推的思路,找一个桥梁过渡. 条件恒等式的证明. 这类问题的解题思路是使用条件,或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联 系,常用方法是代入法和消元法. [跟踪训练] 4.已知 sin(2α +β )=5sin β ,求证:2tan(α +β )=3tan α .
6

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[证明] 由条件得 sin[(α +β )+α ]=5sin[(α +β )-α ], 两边分别展开得 sin(α +β )cos α +cos(α +β )sin α =5sin(α +β )cos α -5cos(α +β )sin α , 整理得: 4sin(α +β )cos α =6cos(α +β )sin α , 两边同除以 2cos(α +β )cos α 得: 2tan(α +β )=3tan α . 三角恒等变换的综合应用 已知向量 a=(cos x,sin x),b=(3,- 3),x∈[0,π ]. (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. [解] (1)因为 a∥b, 所以 3sin x=- 3cos x,又 cos x≠0, 所以 tan x=- 5π 所以 x= . 6 (2)f(x)=3cos x- 3sin x 3 ,因为 x∈[0,π ], 3

? π? =-2 3sin?x- ?. 3? ?
因为 x∈[0,π ],所以 x- 所以- π ? π 2π ? ∈?- , ?, 3 ? 3 ? 3

3 ? π? ≤sin?x- ?≤1, 3? 2 ?

所以-2 3≤f(x)≤3, π π 当 x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最大值 3; 3 3 π π 5π 当 x- = ,即 x= 时,f(x)取得最小值-2 3. 3 2 6 [规律方法] 三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表 达式较为复杂,我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,然后根据化 简后的三角函数,讨论其图象和性质. 求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题,一般先要通 过三角恒等变换将函数表达式变形为 y=A ω x+φ +k 或 y=A ω x+φ +k

7

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等形式,让角和三角函数名称尽量少,然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求 解. 要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因,函数定义域往往会发生一 些变化,所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域,并在这个定义域内分析问题. 有时会以向量为背景出题,综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识. [跟踪训练] 5.已知函数 f(x)=

x-cos x sin x

x

.

(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. [解] (1)由 sin x≠0 得 x≠kπ (k∈Z), 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. 因为 f(x)=

x-cos x sin x

x

=2cos x(sin x-cos x) =sin 2x-cos 2x-1 π? ? = 2sin?2x- ?-1, 4? ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π 3π ? ? (2)函数 y=sin x 的单调递减区间为?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z). 2 2 ? ? π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z), 8 8 3π 7π ? ? 所以 f(x)的单调递减区间为?kπ + ,kπ + ?(k∈Z). 8 8 ? ?

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