2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量1自我小测北师大版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第二章平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向 量 1 自我小测北师大版必修 4
1.若 3x-2(x-a)=0,则向量 x 等于( A.2a 2 C. a 5 B.-2a 2 D.- a 5 ) )

2.已知向量 a,b 不共线,若向量 a+λ b 与 b+λ a 的方向相反,则 λ 等于( A.1 C.-1 B.0 D.±1 )

3.如图,在△ABC 中,设 E 为 BC 边的中点,则 3 AB ? 2BC ? CA =(

A. AC C. AE

B. 2 AC D. 2 AE )

4. 已知平行四边形 ABCD 中,DA =a,DC =b, 其对角线交点为 O, 则 OB 等于( 1 A. a+b 2 1 C. (a+b) 2 1 B.a+ b 2 D.a+b

5.已知△ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC =0 .若存在实数 m 使得 AB ? AC =mAM 成 立,则 m=( A.2 ) B.3 C.4 D.5

1 6.化简: (4a+b)-3(b-a)=__________. 2 7.若 AB =5e, CD =-7e,且 | AD | =|BC| ,则四边形 ABCD 是__________形. 8.设 e1,e2 是两个不共线的向量, AB = -e2),则共线的三点是__________. 9. 如图所示, 在平行四边形 ABCD 中, 点 M 是 AB 的中点, 点 N 在 BD 上, 且 BN = 2 (e1+5e2), BC =-2e1+8e2, CD =3(e1 2

1 BD , 3

求证:M,N,C 三点共线.

10.已知 a,b 是不共线向量,且 AB =3a+2b, CB =a+λ b, CD =-2a+b,若 A,

B,D 三点共线,试求实数 λ 的值.

参考答案 1.解析:由题意知 3x-2x+2a=0,故 x=-2a. 答案:B 2.解析:∵向量 a+λ b 与 b+λ a 的方向相反, ∴(a+λ b)∥(b+λ a),即存在一个负实数 m,使得 a+λ b=m(b+λ a), 即(1-mλ )a=(m-λ )b. ∵a 与 b 不共线, ∴1-mλ =m-λ =0,可得 m=λ <0, ∴1-λ =0,∴λ =-1. 答案:C 3.解析: 3 AB ? 2BC ? CA = 3( AB ? BC) ? CA ? BC = 3 AC ? CA ? BC =2 AC ? 2EC = 2( AC ? EC)=2(CE ? CA)=2 AE . 答案:D 4.解析:∵ DA + DC = DB = 2OB , DA =a, DC =b, 1 ∴ OB = (a+b). 2 答案:C 5.解析:∵ MA ? MB ? MC =0 ,∴点 M 是△ABC 的重心. ∴ AB ? AC =3 AM .∴m=3. 答案:B 1 1 5 6.解析: (4a+b)-3(b-a)=2a+ b-3b+3a=5a- b. 2 2 2 5 答案:5a- b 2 7.解析:∵ AB =5e, CD =-7e,∴AB∥CD,且 AB≠CD. 又∵ | AD | =|BC| ,∴四边形 ABCD 是等腰梯形. 答案:等腰梯 8.解析:∵ BD = BC + CD =(-2e1+8e2)+3(e1-e2)=e1+5e2, AB = = 2 BD , 2 2 (e1+5e2) 2
2

∴ AB ∥ BD , ∴A,B,D 三点共线. 答案:A,B,D 9.证明:设 BA =a, BC =b,则由向量减法的三角形法则可知

1 1 CM = BM ? BC = BA ? BC = a ? b . 2 2
又∵点 N 在 BD 上,且 BN= ∴ BN =

1 BD, 3

1 1 1 BD = ( BC ? CD) ? (a ? b) , 3 3 3 1 3 1 3 2 2 1 b = ( a ? b) , 3 3 2

∴ CN = BN ? BC = (a ? b) ? b= a ? ∴ CN =

2 CM . 3

又∵ CN 与 CM 的公共点为 C, ∴C,M,N 三点共线. 10.解:∵ BD = CD - CB =(-2a+b)-(a+λ b)=-3a+(1-λ )b,且 A,B,D 三点共线, ∴ AB 与 BD 共线,因此存在实数 μ 使得 AB=? BD , 即 3a+2b=μ [-3a+(1-λ )b]=-3μ a+μ (1-λ )b. ∵a,b 是不共线向量, ∴?

??3? =3, ? ? = ? 1, ∴? . ?? (1 ? ? )=2, ?? =3.

故当 A,B,D 三点共线时,λ =3.


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