2019版高中数学第二章平面解析几何初步2.3圆的方程2.3.4圆与圆的位置关系课件新人教B版必修2_图文

2.3.4 圆与圆的位置关系

目标导航 1.能根据圆的方程,判断圆与圆的位置关系.
课标要求 2.能用直线与圆的方程解决一些简单问题,了解代数方法 解决几何问题的思想. 学生学习圆与圆的位置关系,并应用于解决实际问题,体验

素养达成

感受并应用数形结合的思想方法,在直观想象、数学运算、
数学建模等核心素养方面有所提高.

新知探求
课堂探究

新知探求·素养养成
知识探究
两圆位置关系的判断 (1)几何方法:两圆(x-a1) +(y-b1) = r12 (r1>0)与(x-a2) +(y-b2) = r22 (r2>0),
2 2 2 2

圆心距 d=

? a1 ? a2 ? +?b1 ? b2 ?
2

2

,

①d>r1+r2?两圆 外离 ②d=r1+r2?两圆 外切

; ;

③|r1-r2|<d<r1+r2?两圆 相交 ; ④d=|r1-r2|?两圆 内切 ; ⑤0≤d<|r1-r2|?两圆 内含 ,d=0时为同心圆.

2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0, (2)代数方法:方程组 ? 2 有两组不同的实数解?两圆 2 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0,

相交


;有两组相同的实数解?两圆 .

相切(内切或外切) ;无实数解?两

不相交(外离或内含)

【拓展延伸】 圆系方程 (1)过两已知圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0与x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1). 当λ =-1时,变为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0表示过两圆的交点的直线(当两圆 是同心圆时,此直线不存在),当两圆相交时,此直线为公共弦所在直线;当两 圆相切时,此直线为两圆的公切线;当两圆相离时,此直线为与两圆连心线垂 直的直线. (2)过直线与圆交点的圆系方程 设 直 线 l:Ax+By+C=0 与 圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 相 交 , 则方 程 x2+y2+Dx+Ey+F+λ

(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.

自我检测
1.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( C (A)外离 (B)外切 )

(C)相交

(D)内切

解析:两圆圆心分别为(1,0)、(0,-2),半径分别为 1,2.圆心距 d=

?1 ? 0? ? ?0 ? 2?
2

2

= 5,

又因为 r2-r1=1,r1+r2=3, 所以 r2-r1< 5 <r1+r2,所以两圆相交.

2.若圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0与圆x2+y2+2x-2ay+a2-3=0相内切,则a的值为 ( B ) (A)-5或2 (C)-1 (B)-1或-2 (D)-2

解析:依题意:圆 C1 为(x-a)2+(y+2)2=9, 圆心 C1 为(a,-2),半径 r1=3, 圆 C2 为(x+1)2+(y-a)2=4, 圆心 C2 为(-1,a),半径 r2=2.所以|C1C2|=

? a ?1? ? ? a ? 2?
2

2

= 2a 2 ? 6a ? 5 .

又圆 C1 与圆 C2 相内切,所以|C1C2|=|r1-r2|=|3-2|=1. 即 2a +6a+5=1,所以 a +3a+2=0,所以 a=-1 或 a=-2.故选 B.
2 2

3.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线条数是( C
(A)1条 (C)3条 (B)2条 (D)4条

)

解 析 : 两 圆 圆 心 分 别 为 (-2,2),(2,5), 半 径 分 别 为 1,4, 圆 心 距 d=

? 2 ? 2? + ? 5 ? 2 ?
2

2

=5=r1+r2,故两圆外切.所以两圆有 2 条外公切线,1 条内公切

线共有 3 条切线.故选 C.

4.点P在圆O:x2+y2=1上运动,点Q在圆C:(x-3)2+y2=1上运动,则|PQ|的最小

值为

.

解析:依题意,圆O的坐标为(0,0),半径r1=1, 圆C的坐标为(3,0),半径r2=1. 则|OC|=3>1+1=r1+r2,所以两圆外离. 所以|PQ|min=|OC|-(r1+r2)=3-2=1. 答案:1

课堂探究·素养提升
类型一 圆与圆位置关系的判定 【例1】 a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0,(1) 相交; 解:将两圆方程化为标准方程分别为: (x-a)2+(y+2)2=9, (x+1)2+(y-a)2=4. 设两圆圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当1<d<5即1<2a2+6a+5<25时, 两圆相交,此时a的取值范围是(-5,-2)∪(-1,2).

(2)外离.
解:(2)当d>5即2a2+6a+5>25时, 两圆外离,

此时a的取值范围是(-∞,-5)∪(2,+∞).

方法技巧

利用几何法判断两圆位置关系,直观形象、简便易行,而代数

法往往很繁琐且不易分清具体的位置关系.

变式训练1-1:试判断圆x2+y2-2x+4y+4=0和圆x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系.
解:把这两个圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1,(x-2)2+(y+1)2=1. 两圆的圆心分别为 O1(1,-2),O2(2,-1), 半径分别为 r1=1,r2=1, 则两圆的圆心距 d=O1O2=

?1 ? 2? ? ? ?2 ?1?
2

2

= 2.

由于 0<d= 2 <r1+r2,所以两圆相交.

类型二 两圆相切问题 【例2】 求过原点且与直线x=1及圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的圆的方程.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). 由数形结合得
? 2 2 2 a ? b ? r , ? ? ?1 ? a ? r , ? 2 2 a ? 1 ? b ? 2 ? ? ? ? ? ?
3 ? a ? , ? 8 ? 1 ? 解得 ?b ? , 2 ? ? 1 ? r, ? 2 25 ?r ? 64 . ?

3 1 25 因此所求圆的方程为(x- )2+(y- )2= . 64 8 2

方法技巧

问题的条件不易联系起来综合使用时,用数形结合的思想,就

容易列出有关的方程组,进而把问题求解.

变式训练2-1:求和圆C:(x-2)2+(y+1)2=4相切于点P(4,-1)且半径为1的圆 的方程. 解:由圆(x-2)2+(y+1)2=4知, 圆心C(2,-1),半径为2, 所以PC的方程为y=-1, 故所求圆圆心纵坐标为-1,设横坐标为a. 则有|4-a|=1,故a=3或a=5. 即所求圆的圆心坐标为(3,-1)或(5,-1), 故所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1或(x-5)2+(y+1)2=1.

类型三

两圆相交问题

【例3】 已知圆C1:x2+y2-6x-6=0,圆C2:x2+y2-4y-6=0. (1)判定两圆的位置关系;
解:(1)因为圆 C1 的圆心为(3,0),半径 r1= 15 ,圆 C2 的圆心为(0,2),半径 r2= 10 , 又|C1C2|= 13 , 所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2, 所以圆 C1 与 C2 相交.

(2)求两圆公共弦所在直线方程; (3)求过两圆的交点且圆心为(1,
4 )的圆的方程. 3

解:(2)联立两圆方程,消去二次项得公共弦所在的直线方程为3x-2y=0.
(3)设所求的圆的方程为 x2+y2-6x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0, 即 x +y 2 2

6 4? 3 2? xy-6=0,圆心为( , ), 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

由题意得

4 3 2? =1, = , 1? ? 1? ? 3

8 所以λ=2,所以圆的方程为 x2+y2-2x- y-6=0. 3

方法技巧

过两圆公共点的圆系方程用参数λ表示,结合另外条件求出λ,

当λ=-1时,就是过两圆公共点的直线.

变式训练 3-1:若圆(x-a)2+(y-a)2=4 上总存在两点到原点的距离为 1,则实数 a 的 取值范围是( (A)()

2 2 ,0)∪(0, ) 2 2

(B)(-2 2 ,- 2 )∪( 2 ,2 2 ) (C)(2 2 3 2 3 2 ,)∪( , ) 2 2 2 2 3 2 )∪( 2 ,+∞) 2

(D)(-∞,-

解析:根据题意知,圆(x-a) +(y-a) =4 与圆 x +y =1 相交, 两圆圆心距为 d= a 2 ? a 2 = 2 |a|. 所以 2-1< 2 |a|<2+1,解得 所以2 3 2 <|a|< . 2 2

2

2

2

2

2 2 3 2 3 2 <a<或 <a< . 2 2 2 2

故选 C.

类型四

易错辨析

【例4】 已知圆C1:x2+y2+2x+2y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y=0,判断圆C1与圆 C2的位置关系.
2 2 ? ? x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0, ① 错解:将两圆的方程联立得 ? 2 2 ? ? x ? y ? 4 x ? 3 y ? 0.②

②-①,得 2x+y-1=0, 即 y=1-2x, 代入①,得 5x2-6x+4=0, Δ=36-80=-44<0, 所以两圆相离.

纠错:Δ<0只能说明两圆的位置关系是外离或内含.由Δ<0,不能直接下

结论得两圆相离.
正解:将两圆分别化成标准方程,得 C1:(x+1)2+(y+1)2=1, C2:(x+2)2+(y+
3 2 25 )= , 4 2 3 5 ),两圆半径分别为 r1=1,r2= . 2 2

故两圆的圆心分别为 C1(-1,-1),C2(-2,-

所以|C1C2|=

5 3 ,|r1-r2|= ,所以|r1-r2|>|C1C2|,所以两圆内含. 2 2


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