2008年普通高等学校招生全国统一考试文科试题及答案word版(全国Ⅱ卷)


2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修 I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 10 页. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 球的表面积公式
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P (B ) S ? 4 πR
2

如果事件 A, B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径

P ( A ?B ) ? P ( A ) ?P ( B )

球的体积公式
V ? 4 3 πR
3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

其中 R 表示球的半径

Pk ( k ) ? C n p (1 ? p )
k k

n?k

( k ? 0, 2 ? , n ) 1,,

一、选择题 1.若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( A.第一象限角 B. 第二象限角

) C. 第三象限角 D. 第四象限角 )

2.设集合 M ? { m ? Z | ? 3 ? m ? 2} , N ? { n ? Z | ? 1 ≤ n ≤ 3}, 则 M ? N ? (
1? A. ? 0, 0 1? B. ? ? 1,,

1, C. ? 0, 2 ?

0 1, D. ? ? 1,, 2 ?

3.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为( A.1 B. 3
1 x



C.2

D. 5 )

4.函数 f ( x ) ?

? x 的图像关于(

第 1 页 共 10 页

A. y 轴对称 C. 坐标原点对称
?1

B. 直线 y ? ? x 对称 D. 直线 y ? x 对称
3

1) 5.若 x ? ( e , , a ? ln x, b ? 2 ln x, c ? ln x ,则(

) D. b < c < a

A. a < b < c

B. c < a < b

C. b < a < c

? y ≥ x, ? 6.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为( ? ? x ≥ ? 2.



A. ? 2

B. ? 4
2

C. ? 6

D. ? 8 )

7.设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A.1 B.
1 2

C. ?

1 2

D. ? 1

8.正四棱锥的侧棱长为 2 3 ,侧棱与底面所成的角为 60 ? ,则该棱锥的体积为( A.3 9. (1 ? A. ? 4
4



B.6
x ) (1 ?
4

C.9

D.18 )

x ) 的展开式中 x 的系数是(

B. ? 3

C.3

D.4 ) D.2
?

10.函数 f ( x ) ? sin x ? cos x 的最大值为( A.1 B.
2

C. 3

11.设 △ A B C 是等腰三角形, ? A B C ? 1 2 0 ,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离 心率为( A.
1? 2 2

) B.
1? 2 3

C. 1 ?

2

D. 1 ?

3

12.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2

第 2 页 共 10 页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修 I) 第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.
2 3) ? 13.设向量 a ? (1,), b ? ( 2, ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? ( ? 4, 7 ) 共线,则 ? ?



14.从 10 名男同学,6 名女同学中选 3 名参加体能测试,则选到的 3 名同学中既有男同学 又有女同学的不同选法共有 种(用数字作答) 15.已知 F 是抛物线 C : y ? 4 x 的焦点, A, B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为
2

M ( 2, ) ,则 △ A B F 的面积等于 2



16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 △ A B C 中, c o s A ? ?
5 13

, cos B ?

3 5



(Ⅰ)求 s in C 的值; (Ⅱ)设 B C ? 5 ,求 △ A B C 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 ? a n ? 中, a 4 ? 1 0 且 a 3, a 6, a 1 0 成等比数列,求数列 ? a n ? 前 20 项的和 S 20 .

第 3 页 共 10 页

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击 中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱柱 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, A A1 ? 2 A B ? 4 ,点 E 在 CC 1 上且 C 1 E ? 3 EC . (Ⅰ)证明: A1 C ? 平面 B E D ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? D E ? B 的大小. A1 D1 B1

C1

E D A 21. (本小题满分 12 分) 设 a ? R ,函数 f ( x ) ? ax ? 3 x .
3 2

C B

(Ⅰ)若 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,求 a 的值;
2 (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ?( x ), x ? [0,] ,在 x ? 0 处取得最大值,求 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)
0 1) 设椭圆中心在坐标原点, A ( 2,), B (0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx ( k ? 0 ) 与 AB 相交

于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 E D ? 6 D F ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 A E B F 面积的最大值.
???? ????

第 4 页 共 10 页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题(必修 ? 选修Ⅰ)参考答案和评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题 1.C 2.B 3.D 4.C 5.C 6.D 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B 12.C 二、填空题 13.2 14.420 15.2 16.两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边 形. 注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 co s A ? ? 由 cos B ?
3 5

5 13

,得 s in A ?
4 5

12 13



,得 s in B ?

. ··········· ··········· ·········· 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 2
16 65
B C ? s in B s in A 5? ? 4 5 ? 13 . ··········· ······· 8 分 ··········· ······· ·········· ········ 12 3 13

所以 s in C ? s in ( A ? B ) ? s in A c o s B ? c o s A s in B ?

. ··········· ····· 分 ··········· ····· ·········· ····· 5

(Ⅱ)由正弦定理得 A C ?

所以 △ A B C 的面积 S ? 18.解:

1 2

? B C ? A C ? s in C ?

1 2

?5?

13 3

?

16 65

?

8 3

. ········· 10 分 ········· ·········

设数列 ? a n ? 的公差为 d ,则
a3 ? a4 ? d ? 10 ? d , a6 ? a4 ? 2 d ? 10 ? 2 d , a 1 0 ? a 4 ? 6 d ? 1 0 ? 6 d . ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 3

第 5 页 共 10 页

由 a 3, a 6, a 1 0 成等比数列得 a 3 a 1 0 ? a 6 ,
2

即 (1 0 ? d )(1 0 ? 6 d ) ? (1 0 ? 2 d ) ,
2

整理得 1 0 d ? 1 0 d ? 0 ,
2

解得 d ? 0 或 d ? 1 . ····································· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 7 ·········· ··········· ··········· ···· 当 d ? 0 时, S 2 0 ? 2 0 a 4 ? 2 0 0 . ······························ 分 ··········· ·········· ········· ·········· ··········· ········ 9 当 d ? 1 时, a 1 ? a 4 ? 3 d ? 1 0 ? 3 ? 1 ? 7 , 于是 S 2 0 ? 2 0 a 1 ? 19.解: 记 A1, A 2 分别表示甲击中 9 环,10 环,
B 1, B 2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,

20 ? 19 2

d ? 2 0 ? 7 ? 1 9 0 ? 3 3 0 . ··········· ········· 分 ··················· 12 ·········· ·········

C 1, C 2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(Ⅰ) A ? A1 ?B1 ? A 2 ?B1 ? A 2 ?B 2 , ···························· 2 分 ··········· ·········· ······· ·········· ··········· ·······
P ( A ) ? P ( A1 ?B1 ? A 2 ?B1 ? A 2 ?B 2 ) ? P ( A1 ?B1 ) ? P ( A 2 ?B 1 ) ? P ( A 2 ?B 2 ) ? P ( A1 ) ?P ( B1 ) ? P ( A 2 ) ?P ( B1 ) ? P ( A 2 ) ?P ( B 2 )
? 0 .3 ? 0 .4 ? 0 .1 ? 0 .4 ? 0 .1 ? 0 .4 ? 0 .2 . ·························· 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 6

(Ⅱ) B ? C 1 ? C 2 , ····································· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 8 ·········· ··········· ··········· ····
P ( C 1 ) ? C 3 [ P ( A )] [1 ? P ( A )] ? 3 ? 0 .2 ? (1 ? 0 .2 ) ? 0 .0 9 6 ,
2 2 2

P ( C 2 ) ? [ P ( A )] ? 0 .2 ? 0 .0 0 8 ,
3 3

P ( B ) ? P ( C 1 ? C 2 ) ? P ( C 1 ) ? P ( C 2 ) ? 0 .0 9 6 ? 0 .0 0 8 ? 0 .1 0 4 .············ 12 分 ··········· · ·········· ··

20.解法一: 依题设, A B ? 2 , C E ? 1 . (Ⅰ)连结 A C 交 B D 于点 F ,则 B D ? A C . 由三垂线定理知, B D ? A1C . ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 3

第 6 页 共 10 页

在平面 A1 C A 内,连结 E F 交 A1 C 于点 G , 由于
A A1 FC ? AC CE

D1
? 2 2 ,

C1 B1

A1

故 R t △ A1 A C ∽ R t △ F C E , ? A A1 C ? ? C F E ,
? C F E 与 ? F C A1 互余.

HE G D A F C B

于是 A1C ? E F .
A1 C 与平面 B E D 内两条相交直线 B D , E F 都垂直,

所以 A1 C ? 平面 B E D . ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ·· 6 ·········· ··········· ··········· ·· (Ⅱ)作 G H ? D E ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1 H ? D E , 故 ? A1 H G 是二面角 A1 ? D E ? B 的平面角. ························ 分 ··········· ·········· ·· 8 ·········· ··········· ··
EF ? CF
2

? CE

2

?
2 3

3,
3 3

CG ?

CE ? CF EF

?

, EG ?

CE ? CG
2

2

?



EG EF

?

1 3

,GH ?

1 3

?

EF ? FD DE

?

2 15



又 A1 C ?

A A1 ? A C
2

2

? 2 6 , A1 G ? A1 C ? C G ?

5 6 3



ta n ? A1 H G ?

A1 G HG

? 5 5 .

所以二面角 A1 ? D E ? B 的大小为 arctan 5 5 . ····················· 12 分 ··········· ·········· ·········· ··········· 解法二: 以 D 为坐标原点,射线 D A 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz .
2 0 2 0 2 1) 0 4 依题设, B ( 2,,), C (0,,), E (0,, , A1 ( 2,,) .

z D1 A1 B1

C1

E D A x B C y

???? ???? ? ???? ???? 2 ? D 0 4 D E ? (0,, , B ? ( 2,,) , A1 C ? ( ? 2,, 4 ), A1 ? ( 2,, ) . ············· 分 2 1) D 2 0 ··········· ·· ·········· ·· 3

第 7 页 共 10 页

(Ⅰ)因为 A1 C ?D B ? 0 , A1 C ?D E ? 0 , 故 A1C ? B D , A1 C ? D E . 又 DB ? DE ? D , 所以 A1 C ? 平面 D B E . ··································· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 6 (Ⅱ)设向量 n ? ( x, y, z ) 是平面 D A1 E 的法向量,则
???? ???? ? n ? D E , n ? D A1 .

???? ????

???? ????

故2 y ? z ? 0 ,2x ? 4z ? 0 .
1, 令 y ? 1 ,则 z ? ? 2 , x ? 4 , n ? ( 4, ? 2 ) . ······················· 分 ··········· ·········· · 9 ·········· ··········· ·

???? ? n, 1 C ? 等于二面角 A1 ? D E ? B 的平面角, A
???? ???? n ?A1 C 14 c o s ? n, 1 C ? ? A . ???? ? 42 n A1 C
14 42

所以二面角 A1 ? D E ? B 的大小为 a rc c o s 21.解:
2 (Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 a x ? 6 x ? 3 x ( a x ? 2 ) .

. ·····················12 分 ··········· ·········· ·········· ··········

因为 x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点,所以 f ? ( 2 ) ? 0 ,即 6 ( 2 a ? 2 ) ? 0 ,因此 a ? 1 . 经验证,当 a ? 1 时, x ? 2 是函数 y ? f ( x ) 的极值点.·················· 分 ··········· ······ 4 ·········· ······· (Ⅱ)由题设, g ( x ) ? a x ? 3 x ? 3 a x ? 6 x ? a x ( x ? 3) ? 3 x ( x ? 2 ) .
3 2 2 2

2 当 g ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 g (0 ) 时,

g (0 ) ≥ g ( 2 ) ,

即 0 ≥ 20a ? 24 . 故得 a ≤
6 5

. ··········· ··········· ·········· ········· 分 ··········· ·········· ··········· ········ 9 ·········· ··········· ··········· ········
6 5

反之,当 a ≤
g (x) ≤ 6 5
2

2 时,对任意 x ? [0, ] ,

x ( x ? 3) ? 3 x ( x ? 2 )

第 8 页 共 10 页

? ?

3x 5 3x 5

(2 x ? x ? 10)
2

( 2 x ? 5 )( x ? 2 )

≤ 0,
而 g (0 ) ? 0 ,故 g ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 g (0 ) . 2
? ? 6? ?

综上, a 的取值范围为 ? ? ? , ? . ·····························12 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 5
x
2

22. (Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

? y ? 1,
2

4

直线 A B, E F 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx ( k ? 0 ) .················ 2 分 ··········· ····· ·········· ······ 如图,设 D ( x 0, kx 0 ), E ( x1, kx1 ), F ( x 2, kx 2 ) ,其中 x1 ? x 2 , 且 x1, x 2 满足方程 (1 ? 4 k ) x ? 4 ,
2 2

y B D O E
1 7 ( 6 x 2 ? x1 ) ? 5 7 x2 ? 10 7 1 ? 4k
2

F A x

故 x 2 ? ? x1 ?
???? ????

2 1 ? 4k
2

.①

由 E D ? 6 D F 知 x 0 ? x1 ? 6 ( x 2 ? x 0 ) ,得 x 0 ?
2 1 ? 2k



由 D 在 A B 上知 x 0 ? 2 kx 0 ? 2 ,得 x 0 ? 所以
2 1 ? 2k ? 10 7 1 ? 4k
2




2

化简得 2 4 k ? 2 5 k ? 6 ? 0 , 解得 k ?
2 3

或k ?

3 8

. ··········· ··········· ·········· ···· 6 分 ··········· ·········· ··········· ···· ·········· ··········· ··········· ····

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E, F 到 A B 的 距 离 分 别 为
h1 ? x1 ? 2 k x1 ? 2 5 x2 ? 2 kx2 ? 2 5 ? 2 (1 ? 2 k ? 1 ? 4k )
2 2



5 (1 ? 4 k ) 2 (1 ? 2 k ? 1 ? 4k )
2 2

h2 ?

?

5 (1 ? 4 k )

. ··········· ··········· · 9 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· ··

又 AB ?

2 ?1 ?
2

5 ,所以四边形 A E B F 的面积为

第 9 页 共 10 页

S ?
1 2

1 2

A B ( h1 ? h 2 )
4 (1 ? 2 k ) 5 (1 ? 4 k )
2

?

? 5?

?

2 (1 ? 2 k ) 1 ? 4k
2

? 2

1 ? 4k ? 4k
2

1 ? 4k

2

≤ 2 2,
当 2 k ? 1 ,即当 k ?
1 2

时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ··········· 分 ·········· 12 ··········

解法二:由题设, B O ? 1 , A O ? 2 . 设 y 1 ? k x1 , y 2 ? kx 2 ,由①得 x 2 ? 0 , y 2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 A E B F 的面积为
S ? S △ BEF ? S △ AEF ? x 2 ? 2 y 2 ··········· ··········· ·········· ·········· 9 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ·········· ··········· ··········· ··········

? ?

( x2 ? 2 y2 )
2 2

2

x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2( x2 ? 4 y2 )
2 2



? 2 2 ,

当 x 2 ? 2 y 2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .················· 分 ··········· ······ ················ 12

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