【三维设计】2017届高三数学(理)二轮复习精品同步:题型专题(20) 选修4-5(不等式选讲)(通用版).doc


题型专题(二十)

选修 4-5(不等式选讲)
[师说考点]

含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义 求解. [典例] (2016· 全国丙卷)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围. [解] (1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6 得-1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当 x∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥3, a 1 3-a x- ?+? -x?≥ 即? ? 2? ?2 ? 2 .

? a? ?1 ?? 又? ??x-2?+?2-x??

min

1 a? =? ?2-2?,

1 a? 3-a 所以? ?2-2?≥ 2 ,解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2,+∞). [类题通法] 1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤 (1)求零点. (2)划区间、去绝对值号. (3)分别解去掉绝对值的不等式(组). (4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值. 2.图象法求解绝对值不等式 用图象法, 数形结合可以求解含有绝对值的不等式, 可在直角坐标系中作出不等式所对 应函数的图象,利用函数图象求解. [演练冲关] (2016· 河南六市联考)设函数 f(x)=|2x-a|+2a. (1)若不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-6≤x≤4},求实数 a 的值;

(2)在(1)的条件下,若不等式 f(x)≤(k2-1)x-5 的解集非空,求实数 k 的取值范围. 解:(1)∵|2x-a|+2a≤6,∴|2x-a|≤6-2a, 3 a ∴2a-6≤2x-a≤6-2a,∴ a-3≤x≤3- . 2 2 ∵不等式 f(x)≤6 的解集为{x|-6≤x≤4},

?2a-3=-6, ∴? 解得 a=-2. a 3 - = 4 , ? 2
(2)由(1)得 f(x)=|2x+2|-4. ∴|2x+2|-4≤(k2-1)x-5, 化简整理得|2x+2|+1≤(k2-1)x,
?2x+3,x≥-1, ? 令 g(x)=|2x+2|+1=? ? ?-2x-1,x<-1,

3

y=g(x)的图象如图所示,

要使不等式 f(x)≤(k2-1)x-5 的解集非空,需 k2-1>2 或 k2-1≤-1, ∴k 的取值范围是{k|k> 3或 k<- 3或 k=0}.

[师说考点] 1.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 2.算术—几何平均不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立. a+b 定理 2:如果 a、b 为正数,则 ≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 2 a+b+c 3 定理 3:如果 a、b、c 为正数,则 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立. 3 定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则 a1+a2+…+an n ≥ a1a2…an,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立. n [典例] (2016· 贵州模拟)已知函数 f(x)=2|x+1|+|x-2|. (1)求 f(x)的最小值 m;

b2 c2 a2 (2)若 a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=m,求证: + + ≥3. a b c [解] (1)当 x<-1 时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞); 当-1≤x<2 时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6); 当 x≥2 时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞). 综上,f(x)的最小值 m=3. (2)证明:a,b,c 均为正实数,且满足 a+b+c=3, b2 c2 a2 因为 + + +(a+b+c) a b c b2 ? ?c2 ? ?a2 ? =? ? a +a?+? b +b?+? c +c? ≥2

? ?

b2 ·a+ a

c2 ·b+ b

a2 ? ·c c ?

=2(a+b+c). (当且仅当 a=b=c=1 时,取“=”) b2 c2 a2 b2 c2 a2 所以 + + ≥a+b+c,即 + + ≥3. a b c a b c [类题通法] 证明不等式的 3 种基本方法 (1)比较法有作差比较法和作商比较法两种. (2)用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,一方面要注意基本不等式成 立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形. (3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法. [演练冲关] (2016· 福建质检)已知函数 f(x)=|x+1|. (1)求不等式 f(x)<|2x+1|-1 的解集 M; (2)设 a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b). 解:(1)①当 x≤-1 时,原不等式可化为-x-1<-2x-2,解得 x<-1; 1 ②当-1<x<- 时,原不等式可化为 x+1<-2x-2,解得 x<-1,此时原不等式无解; 2 1 ③当 x≥- 时,原不等式可化为 x+1<2x,解得 x>1. 2 综上,M={x|x<-1 或 x>1}. (2)证明:因为 f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|, 所以,要证 f(ab)>f(a)-f(-b),只需证|ab+1|>|a+b|, 即证|ab+1|2>|a+b|2, 即证 a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,

即证 a2b2-a2-b2+1>0, 即证(a2-1)(b2-1)>0. 因为 a,b∈M,所以 a2>1,b2>1, 所以(a2-1)(b2-1)>0 成立, 所以原不等式成立.

a 1. (2016· 广西质检)已知函数 f(x)= +ax(a>0)在(1, +∞)上的最小值为 15, 函数 g(x) x-1 =|x+a|+|x+1|. (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. a a 解:(1)∵f(x)= +ax= +a(x-1)+a,x>1,a>0, x-1 x-1 ∴f(x)≥3a,即有 3a=15,解得 a=5. (2)由于|x+5|+|x+1|≥|(x+5)-(x+1)|=4,当且仅当-5≤x≤-1 时等号成立, ∴g(x)=|x+5|+|x+1|的最小值为 4. 1? ? 1? 2.(2016· 全国甲卷)已知函数 f(x)=? ?x-2?+?x+2?,M 为不等式 f(x)<2 的解集. (1)求 M; (2)证明:当 a,b∈M 时,|a+b|<|1+ab|.

? ? 1 1 解:(1)f(x)=?1,-2<x<2, ? . ?2x,x≥1 2

1 -2x,x≤- , 2

1 当 x≤- 时,由 f(x)<2 得-2x<2,解得 x>-1; 2 1 1 当- <x< 时,f(x)<2 恒成立; 2 2 1 当 x≥ 时,由 f(x)<2 得 2x<2,解得 x<1. 2 所以 f(x)<2 的解集 M={x|-1<x<1}. (2)证明:由(1)知,当 a,b∈M 时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+ b2-a2b2-1=(a2-1)· (1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 3.(2016· 贵阳模拟)设 f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为 m. (1)求实数 m 的值;

(2)若 a、b、c∈(0,+∞),且 a2+2b2+c2=m,求 ab+bc 的最大值. 解:(1)当 x≤-1 时,f(x)=3+x≤2; 当-1<x<1 时,f(x)=-1-3x<2; 当 x≥1 时,f(x)=-x-3≤-4. 故当 x=-1 时,f(x)取得最大值 m=2. (2)a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc). 当且仅当 a=b=c= 2 时,等号成立. 2

此时,ab+bc 取得最大值 1. 4.(2016· 重庆模拟)设 a,b,c∈R 且 a+b+c=1. c2 1 (1)求证:2ab+bc+ca+ ≤ ; 2 2 a2+c2 b2+a2 c2+b2 (2)求证: + + ≥2. b c a 证明:(1)因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2,(当且 仅当 a=b 时等号成立) c2 1 1 所以 2ab+bc+ca+ = (4ab+2bc+2ca+c2)≤ . 2 2 2 a2+c2 2ac b2+a2 2ab c2+b2 2bc (2)因为 ≥ , ≥ , ≥ , b b c c a a a2+c2 b2+a2 c2+b2 ac ab ?ab bc? ac bc a c? c b 所以 + + ≥( + )+? c + a ?+( + )=a( + )+b? ? c+a?+ b c a b c b a b c a b? 1 c? ?b+a?≥2a+2b+2c=2,当且仅当 a=b=c=3时等号成立. 5.(2016· 郑州质检)已知函数 f(x)=|x+6|-|m-x|(m∈R). (1)当 m=3 时,求不等式 f(x)≥5 的解集; (2)若不等式 f(x)≤7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 解:(1)当 m=3 时,f(x)≥5,即为|x+6|-|3-x|≥5, ①当 x<-6 时,得-9≥5,所以 x∈?; ②当-6≤x≤3 时,得 x+6+x-3≥5, 即 x≥1,所以 1≤x≤3; ③当 x>3 时,得 9≥5,所以 x>3. 故不等式 f(x)≥5 的解集为{x|x≥1}. (2)因为|x+6|-|m-x|≤|x+6+m-x|=|m+6|, 由题意得|m+6|≤7,则-7≤m+6≤7, 解得-13≤m≤1, 故 m 的取值范围是[-13,1].


5? 6.(2016· 西安质检)设函数 f(x)=? ?x-2?+|x-a|,x∈R. 1 (1)求证:当 a=- 时,不等式 ln f(x)>1 成立; 2 (2)关于 x 的不等式 f(x)≥a 在 R 上恒成立,求实数 a 的最大值. 5? ? 1? ?5 1? 解:(1)证明:由绝对值不等式的性质,f(x)=? ?x-2?+?x+2?≥?2-x+x+2?=3, 故函数 f(x)的最小值为 3, 从而 f(x)≥3>e,所以 ln f(x)>1 成立. 5? ? 5? ? 5? (2)由绝对值不等式的性质得 f(x)=? ?x-2?+|x-a|≥|?x-2?-(x-a)|=?a-2?, 5 ? 所以 f(x)的最小值为? ?2-a?, 5 ? 5 从而? ?2-a?≥a,解得 a≤4. 5 因此 a 的最大值为 . 4 7.(2016· 兰州模拟)设函数 f(x)=|2x-1|-|x+2|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m,求实数 m 的取值范围. 解:(1)不等式 f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|, 即 4x2-4x+1>x2+4x+4, 1 3x2-8x-3>0,解得 x<- 或 x>3, 3 1 ? ? 所以不等式 f(x)>0 的解集为?x|x<-3或x>3?.
? ?

? ?-3x-1,-2≤x≤1, 2 (2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=? 1 ? ?x-3,x>2,
1? 5 故 f(x)的最小值为 f? =- . ?2? 2 因为? x0∈R,使得 f(x0)+2m2<4m, 5 所以 4m-2m2>- , 2 1 5 解得- <m< , 2 2 1 5? 即所求实数 m 的取值范围为? ?-2,2?. 8.(2016· 石家庄模拟)已知函数 f(x)=|x|+|x-1|.

-x+3,x<-2,

(1)若 f(x)≥|m-1|恒成立,求实数 m 的最大值 M; (2)在(1)成立的条件下,正实数 a,b 满足 a2+b2=M,证明:a+b≥2ab. 解:(1)由绝对值不等式的性质知 f(x)=|x|+|x-1|≥|x-x+1|=1, ∴f(x)min=1, ∴只需|m-1|≤1,解得-1≤m-1≤1, ∴0≤m≤2, ∴实数 m 的最大值 M=2. (2)证明:∵a2+b2≥2ab,且 a2+b2=2, ∴ab≤1, ∴ ab≤1,当且仅当 a=b 时取等号,① a+b ab 1 又 ab≤ ,∴ ≤ , 2 a+b 2 ∴ ab ab ≤ ,当且仅当 a=b 时取等号,② a+b 2 ab 1 ≤ , a+b 2

由①②得,

∴a+b≥2ab.


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