【高中数学必修4学习课件】——人教A版1-1-1任意角_图文

第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 预习篇 任意角 提高篇 课堂篇 巩固篇 课时作业 学习目标 1.理解任意角的概念,能区分各类角的概念. 2.掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角. 3.理解终边相同的角的含义及其表示,并能解决有关 问题. 重点难点 点:能够写出终边相同的角的集合; 难点:会判断象限角. 预习篇01 新知导学 角的概念的推广和分类 1.任意角的概念 角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个位 置 旋转 到另一个位置所成的图形. 2.正角、负角和零角 我们规定,按 逆时针方向 旋转形成的角叫做正角,按 顺时针方向 旋转形成的角叫做负角.如果一条射线 ,我们称它形成了一个零角.这样, 没有作任何旋转 零角的始边与终边 重合 .如果α是零角,那么α=0° . 1.角的概念中主要包含哪些要素? 答:角的概念包含的三要素为:顶点、始边、终边. 2.根据角的新的定义,角的范围有什么变化? 答:角的范围不再是以前学的锐角、直角以及钝角, 而是任意的角. 象限角 为了讨论问题的方便,我们在直角坐标系内使角的 顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那 么,角的终边在 第几象限,我们就说这个角是第几象限 角.如果角的终边在 坐标轴上 ,就认为这个角不属于 任何一个象限,称它为轴线角(或称为象限界角). 3.把角的顶点放在平面直角坐标系的原点,角的始边 与x轴的非负半轴重合,旋转该角,则其终边(除端点外)可 能落在什么位置? 答:坐标轴上或四个象限内. 4.“锐角”、“第一象限角”、“小于90° 的角”三 者有何不同? 答:锐角是第一象限角也是小于90° 的角,而第一象限 角可以是锐角,也可以大于360° ,还可能是负角,小于90° 的角可以是锐角,也可以是零角或负角. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一 个集合S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z},即任一与角α终边 相同的角,都可以表示成角α与 整数个周角 的和. 5.终边相同的角相等吗?相等的角终边相同吗? 答:终边相同的角不一定相等,它们相差360° 的整数 倍;相等的角,终边相同. 1.解读任意角的概念 (1)用运动的观点来定义角,就可以把角的概念推广到 任意角,包括任意大小的正角、负角和零角. (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字. ①要明确旋转的方向; ②要明确旋转的大小; ③要明确射线未作任何旋转时的位置. 2.终边相同的角的关注点 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子 k· 360° +α,k∈Z表示,在运用时需注意以下四点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)α是任意角. (3)k· 360° 与α之间用“+”连接,如k· 360° -30° 应看成 k· 360° +(-30° ),k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数 个,它们相差周角的整数倍.相等的角终边一定相同. 课堂篇02 合作探究 终边相同的角及象限角 【例1】 将下列各角表示为k· 360° +α(k∈ Z,0° ≤α<360° )的形式,并指出是第几象限角. (1)420° ;(2)-510° ;(3)1 020° . 【解】 (1)420° =360° +60° , 而60° 角是第一象限角,故420° 是第一象限角. (2)-510° =-2×360° +210° , 而210° 是第三象限角,故-510° 是第三象限角. (3)用1 020° 除以360° 的商为2,余数为300° , 即1 020° =2×360° +300° , 而300° 是第四象限角,故1 020° 是第四象限角. 通法提炼 首先把β写成k· 360° +α?k∈Z,0° ≤α<360° ?的形式,然 后只需判断β所在的象限即可. (1)在四个角20° ,-30° ,100° ,220° 中,第二象限角 的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 (2)与-460° 角终边相同的角可以表示成( A.460° +k· 360° ,k∈Z B.100° +k· 360° ,k∈Z C.260° +k· 360° ,k∈Z D.-260° +k· 360° ,k∈Z ) 解析:(2)因为-460° =260° +(-2)· 360° ,故-460° 可 以表示成260° +k· 360° ,k∈Z,故选C. 答案:(1)B (2)C 区域角的表示 【例2】 已知角α的终边在图中阴影部分内,试指 出角α的取值范围. 【分析】 结合图形,在0° ~360° 范围内,写出终 边在阴影部分内的角的范围,再加上360° 的整数倍后进 行集合的运算. 【解】 终边在30° 角的终边所在直线上的角的集合为 S1={α|α=30° +k· 180° ,k∈Z},终边在180° -75° =105° 角 的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105° +k· 180° ,k ∈Z},因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|α=30° +k· 180° ≤α<105° +k· 180° ,k∈Z}. 通法提炼 表示区间角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边 界; 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 -360° ~360° 范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β}; 第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360° 的整 数倍,即得区间角集合. 写出顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落 在阴影部分的角的集合,如图所示. 解:如题图(1)所示,以OB为终边的角有330° 角,可看 成是-30° , ∴以OA,OB为终边的角的集合分别是: S1={x|x=75° +k· 360° ,k

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