明德中学数学竞赛培训第10讲 数列求和及应用


第 10 讲
一、知识要点
(1)数列中常见的求和方法 (2)数列求和综合应用

数列的求和及应用

二、例题剖析
(1)已知 n 横排数,第一排的数依次为 1, 2,?n ,第二排的数依次为 2, 3, ?n ?1 ,第三排的数依 次为 3, 4,?n ? 2 ,……..,第 n 排的数依次为 n, n ?1,?2n ?1 ,求这 n 2 数的和

(2) 已知数列 ak ? 2k (1 ? k ? n) ,求所有可能的乘积 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 的和.

(3) 设 f ( x) ?

4x 1 2 1000 ,求 f ( )? f ( ) ??? f ( ) x 1001 1001 1001 4 ?2

(4)求 log 2 ( 3 ? cot1? ) ? log 2 ( 3 ? cot 2? ) ? ? ? log 2 ( 3 ? cot149? ) 的和.

(5) 函数 f (x)对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ?
1 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1) , n n

1 ,数列 ?an ? 满足: 2

试判断数列 ?an ? 是等差数列吗?请予以证明.

(6)求下列和式
999999

1 ①? ② i ?1 i (i ? 1)(i ? 2)

n

?
n ?1

3

n ? 2n ? 1 ? n ? 1 ? n ? 2n ? 1 ③ ?
2 3 2 3 2
i ?1

1

99

1 (i ? 1) i ? i i ? 1

.

(7)已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n2 (cos2

n? n? ? sin 2 ) ,前 n 项和 sn , ①求 sn 3 3

②?
i

n

s3i i ? 4i

.

(8)求 ? i 2 ai .
i ?1

n

(9)设 x1 ? 3 , xn ?1 ? (

2 3 ? ? 1) xn ? n ? 1 ,求数列 ? xn ? 的前 n 项和. n2 n

(10)选定数列 ?an ? ,使得 an ? an ?1 ? an ?2 (n ? 3) ,如果前 1492 项的和为1985,而前1985项的和为 1492,那么前2005项的和是多少?

(11)已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第 k 个1和第 k ?1 个1之间有 2k ?1 个2,即 1, 2,1, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2,1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,1? ,则这个数列的前1980项的和等于多少?

(12)在例题11的条件下,问是否存在正整数 n ,使得这个数列的前 n 项和 sn ? 2001 ,如存在求 出该正整数 n ,若不存在,则说明理由.

三、习题演练
1.(2004年交大保送)已知自然数 a, b, c 为三角形的三边的边长,若 b ? n , a ? b ? c ,则满足 条件的三角形的个数有多少.

2.(2000年复旦保送)将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含两个数,第三组含 有三个数, ? ,第 n 组含有 n 个数,即: 1; 2, 3; 4, 5, 6;? .令为第 n 组数的和为 an ,求 ? ai .
i n

补充1:已知整数 m, n(m ? n) ,求区间 ? m, n ? 内可以表示 和.

N ( N 为不含有因子3的整数)的数之 3

补充2:设 Sn ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N ) ,求证: ? i ? SI ?
I ?1

1 1 2 3

1 n

n

n(n ? 1) 1 ( Sn ?1 ? ) . 2 2

3.(2007年交大夏令营)设函数 f ( x) ?

x x

,则 S ? 1 ? 2 f ( x) ? 3 f 2 ( x) ? ? ? nf n ?1 ( x) 等于多少?

4.(2005年保送推优)求 22 ? 42 ? 62 ? 82 ? ? ? (?1)n ?1 (2n)2 .

补充3:对于 Sn ? ?1, 2, 3, ? n? 的每一个非空子集 A ,我们将 A 中每一个元素 k (1 ? k ? n) 都乘 以 ( ?1) k ,然后求和,则所有的这些和的总和是多少.

5. (2005 年复旦保送推优)定义在上的函数 f ( x) ?

4x , 4 ?2
x

2 n ?1 ?1? Sn ? f ? ? ? f ( ) ? ? ? f ( ), n ? 2, 3, ? . n n ?n?

(1)求 ?Sn ?

(2)是否存在常数 M ? 0 , ?n ? 2 ,有

1 1 1 ? ?? ?M . S1 S2 Sn ?1

6.已知 xi ?

101 x3 i ,求 S ? ? 2 i . 100 i ? 0 3 xi ? 3 xi ? 1

7.设递增数列正项数列 ai , a2 , ? an 是分母为 60 的最简真分数,求 ? cos ai ?
n ?1

n

8.求下列和式的和 (1) ? i ? i !
i ?1 n

(2) ?
i ?1

100

2003 1 i?2 (3) ? i !? (i ? 1)!? (i ? 2)! i ?1 ( i ? 1 ? i )( i ? 1 ? i ? 1)

?

i ? i ?1

?

(4) ? cos i? (? ? 2k? , k ? Z ) (5)
i ?1

n

? sin i? (? ? 2k? , k ? Z )
i ?1

n

9.已知 ? tan i tan(i ? 1) ? A tan n ? Bn 对一切正整数 n 恒成立,求常数 A, B .
i ?1

n

10.在一个有穷数列中,任意 7 个连续项之和都是负数,而任意11个连续项之和都是正数, 问这样的数列最多能有多少项.


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