浙江专用2018版高中数学第一章空间几何体章末复习课学案新人教A版必修220180502164

第一章 空间几何体 章末复习课 1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边互相平行. 棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成 的,它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时,常需作它们的轴截面或 截面. (3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体,研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本 几何体. 2.空间几何体的三视图与直观图 (1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 注意三种视图的摆放顺序,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实线画出,不可见轮廓线用 虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆,后画,再检验. (2)斜二测画法: 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤: (1)画轴; (2)画平行于 x、 y、 z 轴的线段分别为平行于 x′、y′、z′轴的线段;(3)截线段:平行于 x、z 轴的线段的长度 不变,平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半. 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式, 两者之间可以互相转化, 这也是高考考查的 1 重点;根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义,从而可以确定几何体的形状和基 本量. 3.几何体的侧面积和体积的有关计算 柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积 圆柱 圆锥 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 体积 S 侧=2π rh S 侧=π rl S 侧=π (r1+r2)l S 侧=Ch S 侧= Ch′ S 侧= (C+C′)h′ S 球面=4π R2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 V=Sh=π r2h V= Sh= π r2h= π r2 l2-r2 2 V= (S 上+S 下+ S上S下)h= π (r2 1+r2+r1r2)h 1 3 1 3 1 3 V=Sh V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h V= π R3 4 3 1 3 方法一 几何体的三视图和直观图 空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点,也是重点.解题需要依据它 们的概念及画法规则,同时还要注意空间想象能力的运用. 【例 1】 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥,得到如图(2)所示的几何体,则该几何体的 侧视图为( ) 解析 还原正方体后,将 D1,D,A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A 的射影为 C1B,且为实 线,B1C 被遮挡应为虚线. 答案 B 【训练 1】 若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( ) 2 解析 所给选项中,A、C 选项的正视图、俯视图不符合,D 选项的侧视图不符合,只有 B 选项 符合. 答案 B 方法二 几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题,如制作物体的下料问题、材 料最省问题等.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系.在计算中, 要充分利用 平面几何知识,特别注意应用柱体、锥体、台体的侧面展开图.组合体的表面积和体积,可以 通过割补法转化为柱体、锥体、台体等的表面积和体积. 【例 2】 如图所示, 已知三棱柱 ABC-A′B′C′, 侧面 B′BCC′的面积是 S, 点 A′到侧面 B′ BCC′的距离是 a,求三棱柱 ABC-A′B′C′的体积. 解 连接 A′B,A′C,如图所示,这样就把三棱柱分割成了两个棱锥. 1 设所求体积为 V,显然三棱锥 A′-ABC 的体积是 V. 3 1 而四棱锥 A′-BCC′B′的体积为 Sa, 3 1 1 1 故有 V+ Sa=V,即 V= Sa. 3 3 2 【训练 2】 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) 3 A.16+8π C.16+16π B.8+8π D.8+16π 解析 将三视图还原为原来的几何体,再利用体积公式求解.原几何体为组合体:上面是长方 1 2 体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为 V=4×2×2+ π ×2 ×4=16+8π . 2 答案 A 方法三 转化与化归思想 运用转化与化归的思想寻求解题途径,常用如下几种策略: (1)已知与未知的转化.由已知想可知,由未知想需知,通过联想,寻找解题途径.(2)正面与反 面的转化.在处理某一问题时,按照习惯思维方式从正面思考遇到困难,甚至不可能时,用逆 向思维的方式去解决,往往能达到以突破性的效果.(3)一般与特殊的转化.特殊问题的解决往 往是比较容易的,可以利用特殊问题内含的本质联系,通过演绎,得出一般结论,从而使问题 得以解决.(4)复杂与简单的转化.把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解 决,这是解数学问题的一条重要原则. 【例 3】 如图所示,圆台母线 AB 长为 20 cm,上、下底面半径分别为 5 cm 和 10 cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条绳子长度的最小值. 解 如图所示,作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥. 连接 MB′,P、Q 分别为圆台的上、下底面的圆心. 4 在圆台的轴截面中,∵Rt△OPA∽Rt△OQB, ∴ OA PA OA 5 = ,∴ = .∴OA=20(cm). OA+AB QB OA+20 10 设∠BOB′=α , ︵ 由扇形弧BB′的长与底面圆 Q 的周长相等, 得 2×10×π =2×OB×π × α , 360° α 即 20π =2×(20+20)π × , 360° ∴α =90°.∴在 Rt△B′OM 中, B′M= OM2+OB′2= 302+

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