【人教版】2020学年高二数学上学期第一次(10月)月考试题 理 人教版

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2019 学年高二数学上学期第一次(10 月)月考试题 理

时间 120 分钟,满分 150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.命题“ ? x∈R,2x4-x2+1<0”的否定是

()

A.不存在 x∈R,2x4-x2+1<0

B. ? x0∈R,2x40-x20+1<0

C. ? x0∈R,2x40-x20+1≥0

D.对 ? x∈R,2x4-x2+1≥0

2.抛物线 y ? ax2 的准线方程是 y ? 2 ,则 a 的值为

()

A. 1
8

B. ? 1
8

C.8

D. ?8

3.已知命题 p:若 x2+y2=0(x,y∈R),则 x,y 全为 0;命题 q:若 a>b,则1a<1b,给出下列四个复合命题:①p 且

q;②p 或 q;③ ? p;④ ? q.其中真命题的个数是 ( ).

A.1

B.2

C.3

D.4

4. 若平面? 的法向量为 n1 ? (3, 2,1) ,平面 ? 的法向量为 n2 ? (2, 0, ?1) ,则平面? 与 ? 夹角的余弦是

A.- 70 10

B. 70 10

C. ? 70 14

D. 70 14

5、“ 4 ? k ? 6 ”是“ x2 ? y2 ? 1 为椭圆方程”是( ) 6?k k?4

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点。若 AB ? a , AD ? b , AA1 ? c 则下 列向量中与 BM 相等的向量是( )

(A) ? 1 a ? 1 b ? c 22
(C) ? 1 a ? 1 b ? c 22

(B) 1 a ? 1 b ? c 22
(D) 1 a ? 1 b ? c 22

7. 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面边长为 2 ,侧棱长为 4 ,则 B1 点到平面 AD1C 的距离为 ( )

A. 2 2 3

B. 4 2 3

C. 4

D. 8

3

3

8. 已知△ABC 的周长为 20,且顶点 B (0,-4),C (0,4),则顶点 A 的轨迹方程是 ( )

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(A) x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 36 20
(C) x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 6 20

(B) x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 20 36
(D) x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 20 6

9.三棱锥 A—BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则→AB·→CD等于

( ).

A.-2

B.2

C.-2 3

D.2 3

10、已知椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 的右焦点为 F ,点 P?x y, ? 在椭圆 C 上.若点 Q 满足 QF ? 1且 QP ? QF ? 0 ,则 PQ
16 12

的最小值为( ) A. 3

B. 12 5

C. 3

D. 1

11、如图所示,在直三棱柱

中,



,点 分别是棱

的中点,当二面角

为 时,直线 和 所成的角为( )

A.

B.

C.

D.

12、已知双曲线

C

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 的左焦点为 F

,右顶点为 E ,过点 F

且垂直于 x 轴的直线与双曲线 C

相交于不同的两点 A , B ,若 ABE 为锐角三角形,则双曲线 C 的离心率的取值范围为( )

A. ?1,2?

B. ?1,2?

C. ?2,3?

D. ?2,3?

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13、命题“? x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是________.

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14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:2x52 +y92=1 的左、右焦点分别是 F1、F2,P 为椭圆 C 上的一点,且 PF1⊥PF2,
则△PF1F2 的面积为______.

15.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a ? 0,b ? 0? 的右焦点 F ?1,0? 作 x 轴的垂线与双曲线交于 A, B 两点,

O 为坐标原点,

若 AOB 的面积为 8 ,则双曲线的渐近线方程为 3
16.给出下列命题:
①直线 l 的方向向量为 a =(1,﹣1,2),直线 m 的方向向量 b =(2,1,﹣ 1 ),则 l 与 m 垂直; 2
②直线 l 的方向向量 a =(0,1,﹣1),平面 α 的法向量 n =(1,﹣1,﹣1),则 l⊥α ;

③平面 α 、β 的法向量分别为 n1 =(0,1,3), n2 =(1,0,2),则 α ∥β ;
④平面 α 经过三点 A(1,0,﹣1),B(0,1,0),C(﹣1,2,0),向量 n =(1,u,t)是平面 α 的法向量,则
u+t=1. 其中真命题的是______.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10 分)(1)求焦点在 x 轴上,虚轴长为 12,离心率为 5 的双曲线的标准方程; 4
(2)求经过点 P??2, ?4? 的抛物线的标准方程;

18.(12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60 , PC ? 平面ABCD ,且 AB ? 2 , PC ? 6 , F 是 PC 的中点. (Ⅰ)求证: PA 平面DBF ; (Ⅱ)求直线 PA 和平面 PBC 所成的角的正弦值.

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19.(12 分)命题 p : f ? x? ? x2 ? mx ?1的定义域为R ;命题 q :方程 x2 ? y2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆.若
m2 “ p 且 q ”是假命题,“ p 或 q ”是真命题,求实数 m 的取值范围.
20. (本题满分 12 分) 已知平面内一动点 P 在 x 轴的上方,点 P 到 F(0.1)的距离与它到 y 轴的距离 的差等于 1. (1)求动点 P 轨迹 C 的方程; (2)设 A,B 为曲线 C 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. ①求直线 AB 的斜率; ②设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM⊥BM,求直线 AB 的方程.

21、如图,四棱锥

中,平面

底面 ,



.

(1)证明:



(2)若

, 与 所成角的余弦值为 ,求二面角

的余弦值.

22、已知椭圆

的右焦点为 F(1,0),左顶点为 A(﹣2,0).

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆 E 交于(不同于点 A 的)M,N 两点.试判断直线 MN 与 x 轴的交点 是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

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2018-2019 学年度高二上学期第一次月考卷答案

选择题 C BBDB ADBAC BA

? ? 13. ? 2 2,2 2

14.9

15. y ? ?2 2x

16. ④

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17. ( 1 ) 解 : 焦 点 在 x 轴 上 , 设 所 求 双 曲 线 的 方 程 为

=1. 由 题 意 , 得

解得



.∴

.所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为



(2)解:由于点 P 在第三象限,所以抛物线方程可设为: y2 ? ?2 px 或 x2 ? ?2 py

在第一种情形下,求得抛物线方程为: y2 ? ?8x ;在第二种情形下,求得抛物线方程为: x2 ? ? y
18.(Ⅰ)连 AC ,交 BD 于点 O ,连接 FO ∵底面 ABCD为菱形∴ O 为 AC 中点,又∵ F 是 PC 的中点 ∴ OF 是△ PAC 的中位线,∴ OF PA

又∵ OF ? 平面DBF, PA ? 平面DBF ∴ PA 平面DBF
(Ⅱ)

(2)以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O-xyz
? ? ? ? ? ? A 3,0,0 , B?0,1,0?,C ? 3,0,0 , P ? 3,0, 6 ? ? ? ? (略写)求得平面 PBC 的法向量 n ? 1, ? 3, 0 , PA ? 2 3,0, ? 6
∴ sin? ? 2 3 ? 6 2?3 2 6
∴直线 PA 和平面 PBC 所成的角的正弦值为 6 6
19.命题 p : ?x ? R, x2 ? mx ?1 ? 0 为真, ? ? ? m2 ? 4 ? 0 ? ?2 ? m ? 2
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命题 q 为真,即方程 x2 ? y2 ? 1 是焦点在 y 轴上的椭圆,?0 ? m ? 2 m2

又 “ p 且 q ”是假命题,“ p 或 q ”是真命题 ? p 是真命题且 q 是假命题,或 p 是假命题且 q 是真命题

? {m ? 0或m ? 2或{m<-2或m ? 2

-2 ? m ? 2

0?m?2

? m 的取值范围是??2,0???2?.

20.【答案】 解:(I)设动点 P 的坐标为(x,y),由题意为

﹣|y|=1

因为 y>0,化简得:x2=4y, 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2=4y,y>0, (2)①设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1≠x2,x12=4y1,x22=4y2,又 x1+x2=4,

∴直线 AB 的斜率 k=

=

=1,

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②依题意设 C 在 M 处的切线方程可设为 y=x+t,联立



可得 x2﹣4x﹣4t=0, ∴△=16+16t=0 得 t=﹣1, 此时 x=2, ∴点 M 的坐标为(2,1), 设 AB 的方程为 y=x+m,
故线段 AB 的中点 N 坐标为(2,2+m),

∴|MN|=|1+m|,联立

消去整理得:x2﹣4x﹣4m=0,

△1=16+16m>0,m>﹣1,x1+x2=4,x1?x2=﹣4m,

∴|AB|= |x2﹣x1|= ?

=4



由题设知:|AB|=2|MN|,即 4 ∴直线 AB 的方程为:y=x+7

=2|1+m|,解得:m=7

21.(1)如图,连接 交 于点 .∵

,即 为等腰三角形,又 平分 ,故

,∵平面



面 ,平面

底面

,∴ 平面 ,∵ 平面 ,



.

(2)作

于点 ,则 底面 ,

,以 为坐标原点,

的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,

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建立空间直角坐标系

.

,而 ,得

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,



,故

.



,则由

,得

,而



由 所以

,得

,则

,

.

设平面 的法向量为

,平面 的法向量为







可取







可取



从而法向量 的夹角的余弦值为

由图可知二面角

是钝角,故二面角

. 的余弦值为 .

22.【答案】解:(1)根据题意,椭圆

左顶点为 A(﹣2,0),则 c=1,a=2, 则 b2=a2﹣c2=3.

所以椭圆 E 的方程为



(2)根据题意, ①当直线 MN 与 x 轴垂直时,直线 AM 的方程为 y=x+2,

联立

得 7x2+16x+4=0,解得

的右焦点为 F(1,0), .

此时直线 MN 的方程为

.直线 MN 与 x 轴的交点为



②当直线 MN 不垂直于 x 轴时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m.

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联立

得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0.

设 M(x1,y1),N(x2,y2),





且△=(8km)2﹣4(4k2+3)(4m2﹣12)>0,即 m2<4k2+3.





由题意知,







解得

或 m=2k(舍去).



时,满足 m2<4k2+3.

直线 MN 的方程为

,此时与 x 轴的交点为



故直线 MN 与 x 轴的交点是定点,坐标为



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