高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引素材

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 课前导引 问题导入 n 在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等吗? 1 3 0 2 n 思路分析: 在展开式 (a+b)= C n a + Cn a b+ C n a b + Cn a b +…+ C n b 中, 令 a=1,b=-1, n n n-1 n-2 2 n-3 3 n 1 3 0 2 n 则得(1-1) = C n - Cn + Cn - Cn +…+(-1) C n , n n 1 3 5 0 2 4 即 0=( C n + Cn + Cn +…)-( Cn + Cn + Cn +…). 1 3 5 0 2 4 所以 C n + Cn + Cn +…= Cn + Cn + Cn +…. 这是二项式的一个题目, 本节我们讨论是否还有其他更直观的解决方法, 它就是杨辉三 角. 知识预览 1.二项式系数组成的杨辉三角 1 第0行 1 1 第1行 1 2 1 第2行 1 3 3 1 第3行 1 4 6 4 1 第4行 1 5 10 10 5 1 第5行 1 6 15 20 15 6 1 第6行 …… 其规律是:表中每行每端都是 1,而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上的两个数的 r ____________. 事实上,设表中任一不为 1 的数为 Cn ?1 ,那么它肩上的两个数分别为 r ____________和____________, 由组合数的性质 2, 知识 Cn ?1 =____________+____________. 答案:和 r ?1 Cn r Cn r ?1 Cn r Cn 2.二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端____________的两个二项式系数相等. n (2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间的一项二项式系数 C n2 取得最大值;当 n 为奇 数时,中间的两项二项式系数、相等,且同时取得最大值. 0 n (3)各二项式系数和: C n + C n + C2 +…+ C n =_________________, 1 3 5 0 2 4 + Cn + Cn +…=_________________, C n + C n + C n +…=_________________. Cn n ?1 n ?1 1 2 答案:等距离 Cn 2 Cn 2 2 n 2 n-1 2 n-1 6EDBC319F25847

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