(完整word版)人教版高一上数学期末测试题必修一必修二

高一上学期期末数学考试复习卷(必修一+必修二)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.

1.直线 3x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角是(



A、 30?

B、 60?

C、120?

D、135?

2.两条平行线 l1 : 4x ? 3y ? 2 ? 0 与 l2 : 4x ? 3y ?1 ? 0 之间的距离是( )

A.3

B. 3
5

C. 1
5

D.1

? ? 3.已知函数 f

x

?

???l3ox ,g2x

x,x ? ?0

0,



f

? ? ?

f

? ? ?

1 4

? ? ?

? ? ?

的值是(



A. 9

B. 1 9

C. ?9

D. ? 1 9

4.函数 f (x) ? lg(x ?1) 的定义域是( x ?1

A. (?1, ??)

B.[?1, ??)

) C. (?1,1) (1, ??) D.[?1,1) (1, ??)

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是(

A. y ? x

B. y ? 3x

C. y ? log2 x


1
D. y ? x 3

6 .在圆 x2 ? y2 ? 4 上,与直线 4x ? 3y ?12 ? 0 的距离最小的点的坐标为( )

A.(8 , ? 6) 55

B.(? 8 , 6) 55

C(8, 6) 55

D.(? 8 , ? 6) 55

7. O1 : x2 ? y2 ? 4x ? 6y ?12 ? 0 与 O2 : x2 ? y2 ? 8x ? 6y ?16 ? 0 的位置关系是(



A.相交

B.外离

C.内含

D.内切

8.函数 f (x) ? 4 ? 4x ? ex ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为(



A. (1, 2)

B. (0,1)

C. (?1,0)

D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log1 5,b ? log2 3, c ?1, d ? 3?0.5 ,那么( )
2
A. a ? c ? b ? d B. a ? d ? c ? b C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

10. 把正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二角后,下列命题正确的是:

A. AB ? BC B. AC ? BD C. CD ? 平面ABC D. 平面ABC ? 平面ACD

11.函数 f (x) ? x ? x 的图像为( )

x

y

y

y

y

1 ?1

1?

1?

o

x o1 x ?1

o? x ?1

?1?o

x

A

B

C

D

12.设奇函数 f (x) 在 (0,? ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f (x) ? f (?x) ? 0 的解集为(



x

A. (?1,0) (1,? ?)

B. (??,?1) (0,1)

C. (??,?1) (1,? ?)

D. (?1,0) (0,1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. lg 5 ? lg 20 的值是

14.过点 (5,2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是

.

15. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表.面.积.为

2

2

2

.

4

2 正视图

2

2

2

4
2 侧视图

俯视图
16.函数 y ? (m2 ? m ?1)xm2?2m?1 是幂函数,且在 x ? ?0,???上是减函数,则实数 m ?
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 17.(本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2y ? 4 ? 0 ,
(1)求与 l 平行,且过点 (1,4) 的直线方程: (2)已知圆心为 (1,4) ,且与直线 l 相切求圆的方程;

18. (本小题满分 14 分)
已知圆: x2 ? y2 ? 4x ? 6 y ?12 ? 0 ,
(1)求过点 A(3,5) 的圆的切线方程; (2)点 P(x, y) 为圆上任意一点,求 y 的最值。
x

19. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD中, AB ?10 ,BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD

折起,使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC .

(1)求证: BC ? A1D ;

A1

(2)平面 A?1BC ? 平面 A?1BD ;

(3)求点 C 到平面 A?1BD 的距离.

D O

C

A

B

20、(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x ? 1 ?x ? 1?.
x ?1
(1)证明 f (x) 在 ?1,???上是减函数; (2)当 x ? ?3,5?时,求 f (x) 的最小值和最大值.

21、(本小题满分 16 分)已知直线 l : x ? 2y ? 3 ? 0 与圆 C : x2 ? y2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P,Q 两点 O 为坐 标原点,D 为线段 PQ 的中点。
(1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f (x) ? x2 ? | x ? a | ?1 (x ? R) .

(1)若函数 f (x) 为偶函数,求实数 a 的值;

(2)求函数 f (x) 的最小值.

2013 年高一上学期期末考试复习卷(A 卷)参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

1.直线 3x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角是( C )

A、 30?

B、 60?

C、120?

D、135?

2.两条平行线 l1 : 4x ? 3y ? 2 ? 0 与 l2 : 4x ? 3y ?1 ? 0 之间的距离是( B )

A.3

B. 3 5

C. 1 5

D.1

? ? 3.已知函数 f

x

?

?log

??3x

,

2
x

x,x ? ?0

0
,

则f

? ?f ?

? ? ?

1 4

? ? ?

? ? ?

的值是(

B)

A. 9

B. 1 9

C. ?9

D. ? 1 9

4.函数 f (x) ? lg(x ?1) 的定义域是( C ) x ?1

A. (?1, ??)

B.[?1, ??)

C. (?1,1) (1, ??) D.[?1,1) (1, ??)

5.下列函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数的是( D

A. y ? x

B. y ? 3x

C. y ? lg | x |


1
D. y ? x 3

7. O1 : x2 ? y2 ? 4x ? 6y ?12 ? 0 与 O2 : x2 ? y2 ? 8x ? 6y ?16 ? 0 的位置关系是(D )

A.相交

B.外离

C.内含

D.内切

8.函数 f (x) ? 4 ? 4x ? ex ( e 为自然对数的底)的零点所在的区间为( B )

A. (1, 2)

B. (0,1)

C. (?1, 0)

D. (?2, ?1)

9.已知 a ? log1 5,b ? log2 3, c ?1, d ? 3?0.5 ,那么(B )
2
A. a ? c ? b ? d B. a ? d ? c ? b C. a ? b ? c ? d

D. a ? c ? d ? b

10. 把正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二角后,下列命题正确的是:B A. AB ? BC B. AC ? BD C. CD ? 平面ABC D. 平面ABC ? 平面ACD

x

11.函数 f (x) ? x ? 的图像为( C )

x

y

y

y

1 ?1

1?

o

x o1 x

o? x

?1

?1

y

1?

?1?o

x

A

B

C

D

12.设奇函数 f (x) 在 (0,? ?) 上为减函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 f (x) ? f (?x) ? 0 的解集为( C )

x

A. (?1,0) (1,? ?)

B. (??,?1) (0,1) C. (??,?1) (1,? ?)

D. (?1,0) (0,1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13. lg 5 ? lg 20 的值是

1

14.过点 (5,2) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 2x ? 5y ? 0 或 x ? 2y ? 9 ? 0 ;

2

2

2

2

15. 一个几何体的三视图如图 2 所示,那么这个几何体的表.面.积.为 11?

.

16.函数 y ? (m2 ? m ?1)xm2?2m?1 是幂函数,且在 x ? ?0,???上是减函数,

则实数 m ?

2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.
17.(本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,

(1)求与 l 平行,且过点 (1, 4) 的直线方程:

(2)已知圆心为 (1, 4) ,且与直线 l 相切求圆的方程;

解:(1)∵所求的直线与直线 l 平行,

∴设所求的直线方程为 x ? 2y ? c ? 0(c ? ?4) ,

直线经过点 (1,4) 即1? 2? 4 ? c ? 0, c ? ?9

∴所求的直线方程为 x ? 2 y ? 9 ? 0 . ……6 分 (2) 设圆的半径为 r , 圆与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相切

1? 8 ? 4

?r ?

?5

∴所求的圆的方程为 (x ?1)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 . ……12 分

1? 22

18.

(1)设圆心 C,由已知 C(2,3) , ………………1 分

AC 所在直线斜率为 5 ? 3 ? 2 , 3?2

……………………2 分

则切线斜率为 ? 1 ,………………………1 分 2

则切线方程为 y ? 5 ? ? 1 (x ? 3) 。 ……………………… 2 分 2
(2)y 可以看成是原点 O(0,0)与 P(x, y) 连线的斜率,则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。………………………1 x


圆心(2,3),半径 1,设 y =k,……………1 分 x

3k ? 2

则直线 y ? kx 为圆的切线,有

? 1,………………2 分

1? k2

解得 k ? 3 ? 3 ,………………2 分 4

所以 y 的最大值为 3 ? 3 ,最小值为 3 ? 3

x

4

4

………………2 分

19. (本小题满分 14 分)如图,已知矩形 ABCD 中, AB ?10 , BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ?ABD 折起,

使 A 移到 A?1 点,且 A?1 在平面 BCD 上的射影 O 恰在 CD 上,即 A?1O ? 平面 DBC .

(1)求证: BC ? A1D ; (2)平面 A?1BC ? 平面 A?1BD ;

A1

(3)求点 C 到平面 A?1BD 的距离.

19.【解析】(1)∵ A?1O ? 平面 DBC ,∴ A?1O ? BC ,

D O

A
又 ∵ BC ? DC , A1O DC ? O ,

C B

∴ BC ? 平面 A?1DC ,∴ BC ? A?1D .

……4 分

(2)∵ BC ? A?1D , A?1D ? A?1B , BC A?1B ? B ,

∴ A1D ? 平面 A1BC ,

又 ∵ A?1D ? 平面 A?1BD ,

∴平面 A?1BC ? 平面 A?1BD .

……9 分

(3)设 C 到平面 A?1BD 的距离为 h ,则



V ? V C? A1BD

A1 ?DBC ,



1 3

S?A1BD

?

h

?

1 3

S?DBC

?

A1O



又∵

S?A1BD

?

S?DBC ,

A1O

?

6?8 10

?

24 5



∴ h ? 24 . 5

……14 分

20、(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ? 1 ?x ? 1?.
x ?1
(1)证明 f (x) 在 ?1,???上是减函数; (2)当 x ? ?3,5?时,求 f (x) 的最小值和最大值.

(1)证明:设1 ? x1 ? x2 , 则

f (x1) ?

f (x2 ) ?

x1 ? 1 ? x1 ? 1

x2 x2

?1 ?1

…2 分

?

?x1

?

1??x2 ? 1? ? ?x2 ? 1??x1 ?x1 ? 1??x2 ? 1?

? 1?

?

?

2?x2 ? x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

……4 分

? x1 ? 1, x2 ? 1, ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? 1 ? 0, ?(x1 ? 1)?x2 ? 1? ? 0,

……6 分

? x1 ? x2 ,? x2 ? x1 ? 0, ? f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ? f (x1) ? f (x2 )
? f (x) 在 ?1,???上是减函数。

……7 分 ……8 分

(2)??3,5? ? ?1,???,? f (x) 在 ?3,5?上是减函数,

……10 分

? f (x)max ? f (3) ? 2, f (x)min ? f (5) ? 1.5,

……12 分

21、(本小题满分 14 分)已知直线 l : x ? 2y ? 3 ? 0 与圆 C : x2 ? y2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P,Q 两点,

O 为坐标原点,D 为线段 PQ 的中点。

(1)求圆心 C 和点 D 的坐标; (3)若 OP ? OQ ,求 PQ 的长以及 m 的值。

21.解:(1) C : x2 ? y2 ? x ? 6 y ? m ? 0 ?C : (x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 37 ? m

2

4

圆心 C 为 (? 1 ,3) , 2

CD

?

PQ ?kCD

?

?1 kPQ

?

2

?lCD

:

y

?

3

?

2(x

?

1) 2



2x

?

y

?

4

?

0

联立方程

?x ? 2 ??2x ?

y y

? ?

3 4

? ?

0 0

解之得

?x

? ?

y

? ?

?1 2



D(?1,

2)

…………………6



(2)解法一:连接 PC , D 为 PQ 的中点, OP ? OQ …………………8 分

? PQ ? 2 OD ? 2 1? 22 ? 2 5 …………………10 分

在 Rt PCD 中, CD 2 ? PD 2 ? PC 2 ? 37 ? m …………………11 分 4

又 PD ? 1 AB ? 5, CD ? 1 ?1 ? 5 …………………13 分

2

4

2

? 37 ? m ? 25 , m ? 3 …………………14 分

4

4

(2)解法二:设点 P(xp,yQ),Q(xQ,yQ)
y p yQ 当 OP⊥OQ≥Kop·KOQ=-1 ?xp ·xQ =-1 ?xpxQ+ypyQ = 0

(1)……………………8 分

又直线与圆相交于 P、Q

? x ? 2y ? 3 ? 0(2)

?

? ?

x2

?

y2

?

x

?

6

y

?

m

?

0(3)

的根是 P、Q 坐标 ?是方程 5x2+10x+(4m-27)=0 的两根

有:xp+xQ=-2,xp·xQ= 4m ? 27 ……………………10 分

5



P、Q

在直线

x+2y-3=0



1

yp·yQ=
1

2

(3- xp)·(3- xQ)

= 4 [9-3(xp+ xQ)+ xp·xQ]

……………………11



由(1)(2)(3)得:m=3………………………………12 分

且检验△ >O 成立…………………………………13 分

故存在 m=3,使 OP⊥OQ…………………………14 分

22. (本小题满分 14 分) 设 a 为常数, a ? R ,函数 f (x) ? x2 ? | x ? a | ?1 (x ? R) .

(1)若函数 f (x) 为偶函数,求实数 a 的值;

(2)求函数 f (x) 的最小值.

解: (1)因为 f (x) 为 R 上的偶函数,所以 f (?x) ? f (x) 对一切实数 x 恒成立,

即 (?x)2 ? | ?x ? a | ?1 ? x2 ? | x ? a | ?1 恒成立,

化简得| ?x ? a | ?| x ? a | 恒成立,故 ?x ? a ? x ? a 或 ?x ? a ? ?x ? a 恒成立,

故a ?0;

(2)注:此问和第(1)问无关系。二次函数问题要画图分析

当 x…a 时, f (x) ? x2 ? x ? a ?1 ? (x ? 1)2 ? a ? 3 ,对称轴为 x ? ? 1 ,

2

4

2

若 a? ? 1 , f (x) 的最小值 g(a) ? f (? 1) ? (? 1)2 ? (? 1) ? a ?1 ? ?a ? 3 ;

2

22

2

4

若 a ? ? 1 , f (x) 的最小值 g(a) ? f (a) ? a2 ? a ? a ?1 ? a2 ?1; 2

当 x? a 时, f (x) ? x2 ? x ? a ?1 ? (x ? 1)2 ? a ? 3 ,对称轴为 x ? 1 ,

2

4

2

若 a? 1 , f (x) 的最小值 g(a) ? f (a) ? a2 ? a ? a ?1 ? a2 ?1; 2

若 a ? 1 , f (x) 的最小值 g(a) ? f (1) ? (1)2 ? 1 ? a ?1 ? a ? 3 ;

2

222

4

???a ?

?

3 4

,

综上,

f

(x)

的最小值

g(a)

?

? ?

a2

? 1,

?

? ??

a

?

3 4

,

a? ? 1 2
? 1 ? a? 1 22 a?1 2


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