2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义习题课学案苏教版选修1_2

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

3.3 复数的几何意义 习题课
课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念, 复数的模的概 念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系.

1.复数相等的条件:a+bi=c+di?____________(a,b,c,d∈R). → → 2.复数 z=a+bi (a,b∈R)对应向量OZ,复数 z 的模|z|=|OZ|=__________. 3 .复数 z = a + bi (a , b ∈ R) 的模 |z| = __________ ,在复平面内表示点 Z(a , b) 到 ______________. 复数 z1 = a + bi , z2 = c + di ,则 |z1 - z2| = a-c 2+ b-d 2 ,在复平面内表示 ____________. 4n 4n+1 4n+2 4.i =______,i =______,i =______, 1 4n+3 i =______ (n∈Z), =______. i

一、填空题 ?3-i?2=__________. 1.复数? ? ?1+i? 2.已知 i =-1,则 i(1- 3i)=____________. 1+2i 3.设 a,b 为实数,若复数 =1+i,则 a=________,b=______. a+bi 4.若 i 为虚数单位,图中复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复数 的点是________. 1+i
2

z

5.若复数 z=1-2i (i 为虚数单位),则 z· z +z=__________. 6.设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i(其中 i 为虚数单位),则 z 的模为________. 7.设复数 z 满足关系式 z+|z|=2+i,那么 z=______. 8.若|z-3-4i|=2,则|z|的最大值是________. 二、解答题 → → 9.已知复平面上的?ABCD 中,AC对应的复数为 6+8i,BD对应的复数为-4+6i,求向量 →

DA对应的复数.

10.已知关于 x 的方程 x -(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)有实数根 b. (1)求实数 a,b 的值;

2

-1-

(2)若复数 z 满足| z -a-bi|-2|z|=0,求 z 为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最 小值.

能力提升 11.复数 3+3i,-5i,-2+i 的对应点分别为平行四边形的三个顶点 A,B,C,求第四 个顶点对应的复数.

12.(1)证明|z|=1?z=

1

z



(2)已知复数 z 满足 z· z +3z=5+3i,求复数 z.

1.复数的运算可以和多项式运算类比,出现 i 换成-1. 2.复数可以和点、向量建立对应关系. 3.复数问题实数化是解决问题的重要原则.

2

习题课 答案 知识梳理 2 2 1.a=c,b=d 2. a +b 2 2 3. a +b 原点的距离 点 Z1(a,b),Z2(c,d)两点间的距离 4.1 i -1 -i -i 作业设计 1.-3-4i - ?2 ?3-i?2=? - 解析 ? ? ? ? 2 ?1+i? ? ?
-2-

=(1-2i) =-3-4i. 2. 3+i 解析 i(1- 3i)=i+ 3. 3 1 3. 2 2 4.H 解析 由题图知复数 z=3+i, z 3+i + - ∴ = = 1+i 1+i + - ∴表示复数 的点为 H. 1+i 5.6-2i

2

4-2i = =2-i. 2

z

解析 z· z +z=(1-2i)(1+2i)+1-2i=6-2i. 6.2 解析 考查复数的运算、模的性质.z(2-3i)=2(3+2i),2-3i 与 3+2i 的模相等,z 的模为 2. 3 7. +i 4

? x2+y2+x=2 解析 设 z = x + yi ,则 z + |z| = x +y + x + yi = 2 + i ,∴ ? ?y=1
2 2

,∴

3 ? ?x= ? 4 ? ?y=1



3 ∴z= +i. 4 8.7 解析 |z-3-4i|≥|z|-|3+4i|, ∴|z|≤2+|3+4i|=7. 9.解 设?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 P,由复数加减法的几何意义,得 → → → 1→ 1→ 1 → → DA=PA-PD= CA- BD= (CA-BD) 2 2 2 1 = (-6-8i+4-6i)=-1-7i, 2 → 所以向量DA对应的复数为-1-7i. 2 2 10.解 (1)∵b 是方程 x -(6+i)x+9+ai=0 (a∈R)的实根,∴(b -6b+9)+(a-b)i =0, 2 ?b -6b+9=0, ? 故? 解得 a=b=3. ? ?a=b,

(2)设 z=x+yi (x,y∈R), 由| z -3-3i|=2|z|,

-3-

得(x-3) +(y+3) =4(x +y ), 2 2 即(x+1) +(y-1) =8. ∴Z 点的轨迹是以 O1(-1,1)为圆心,2 2为半径的圆. 如图,当 Z 点在 OO1 的连线上时,|z|有最大值或最小值. ∵|OO1|= 2,半径 r=2 2, ∴当 z=1-i 时,|z|min= 2. 11.解 当四点顺序为 ABCD 时,第四个顶点 D 对应的复数为 1+9i;当四点顺序为 ADBC 时,第四个顶点 D 对应的复数为 5-3i;当四点顺序为 ABDC 时,第四个顶点 D 对应的复数为 -5-7i. 12.(1)证明 设 z=x+yi (x,y∈R), 2 2 则|z|=1?x +y =1, 1 z= ?z· z =1?(x+yi)(x-yi)=1?x2+y2=1,

2

2

2

2

z

∴|z|=1?z=

1

z

.

(2)解 设 z=x+yi (x,y∈R),则 z =x-yi, 由题意,得(x+yi)(x-yi)+3(x+yi) 2 2 =(x +y +3x)+3yi=5+3i, 2 2 ?x +y +3x=5, ?x=1 ?x=-4 ? ? ? ∴? ∴? 或? ?3y=3 ?y=1 ?y=1 ? ? ? ∴z=1+i 或 z=-4+i.

.

-4-


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