高考数学大一轮复习 几何证明选讲 76 相似三角形的判定及有关性质课时作业 理 选修4-1

选修 4-1 课时作业 76

几何证明选讲

相似三角形的判定及有关性质

1.

BE 3 如图所示,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的高,DE∥AC,EF⊥BC, = ,BD=6,求 FC EA 2
的长.

BE 3 解:由 DE∥AC, = ,BD=6,知 DC=4. EA 2
6-FD 3 12 又 EF∥AD,故 = ,解得 FD= , FD 2 5 32 故 FC=FD+DC= . 5 2.已知△ABC 中,BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E,BF 和 CE 相交于点 P,求证:

(1)△BPE∽△CPF; (2)△EFP∽△BCP. 证明:(1)∵BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E, ∴∠BFC=∠CEB. 又∵∠CPF=∠BPE,∴△CPF∽△BPE. (2)由(1)得△CPF∽△BPE,∴ = . 又∵∠EPF=∠BPC,∴△EFP∽△BCP. 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE⊥AB 于 E,求证:

EP BP FP CP

1

(1)AB·AC=BC·AD; (2)AD =BC·CF·BE. 证明:(1)在 Rt△ABC 中,AD⊥BC, 1 1 ∴S△ABC= AB·AC= BC·AD. 2 2 ∴AB·AC=BC·AD. (2)Rt△ADB 中,DE⊥AB,由射影定理可得
3

BD2=BE·AB,同理 CD2=CF·AC,
∴BD ·CD =BE·AB·CF·AC. 又在 Rt△BAC 中,AD⊥BC,∴AD =BD·DC, ∴AD =BE·AB·CF·AC, 又 AB·AC=BC·AD. 即 AD =BC·CF·BE. 1 1 4.(2016·南阳模拟)如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AE= AC,BD= AB,点 3 3
3 4 2 2 2

F 在 BC 上,且 CF= BC.
求证:

1 3

(1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC. 证明:设 AB=AC=3a,则 AE=BD=a,CF= 2a. (1) =

CE 2a 2 CF 2a 2 = , = = . CB 3 2a 3 CA 3a 3

又∠C 为公共角,故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90°,∴∠EFC=90°,∴EF⊥BC. (2)由(1)得 EF= 2a, 故

AE a 2 AD 2a 2 = = , = = , EF 2a 2 FB 2 2a 2 AE AD = ,∵∠DAE=∠BFE=90°, EF FB



∴△ADE∽△FBE,∴∠ADE=∠EBC.

2

1.(2016·银川模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点,AE 的延长线 交 BC 于 F.

(1)求 的值. (2)若△BEF 的面积为 S1,四边形 CDEF 的面积为 S2,求 S1∶S2 的值. 解:(1)过点 D 作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, 因为 E 是 BD 的中点,

BF FC

所以 BE=DE. 又因为∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, 所以△BEF≌△DEG,则 BF=DG, 所以 BF∶FC=DG∶FC. 又因为 D 是 AC 的中点,则 DG∶FC=1∶2,

BF 1 则 BF∶FC=1∶2,即 = . FC 2
(2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF∶BC=1∶3, 又由 BE∶BD=1∶2 可知 h1∶h2=1∶2, 其中 h1,h2 分别为△BEF 和△BDC 的高, 则

S△BEF 1 1 1 = × = ,则 S1∶S2=1∶5. S△BDC 3 2 6

2.如图,在梯形 ABCD 中,点 E,F 分别在 AB,CD 上,EF∥AD,假设 EF 做上下平行移 动.

3

AE 1 (1)若 = ,求证:3EF=BC+2AD; EB 2
(2)请你探究一般结论,即若

AE m = ,那么你可以得到什么结论? EB n

解:过点 A 作 AH∥CD 分别交 EF,BC 于点 G,H.

AE 1 (1)证明:因为 = , EB 2 AE 1 所以 = . AB 3
又 EG∥BH,所以 =

EG AE 1 = , BH AB 3

即 3EG=BH.又 EG+GF=EG+AD=EF, 1 从而 EF= (BC-HC)+AD, 3 1 2 所以 EF= BC+ AD, 3 3 即 3EF=BC+2AD. (2)因为 = , 所以 =

AE m EB n

AE m . AB n+m EG AE , BH AB

又 EG∥BH,所以 = 即 EG=

m BH. m+n m m+n
(BC-AD)+AD,

所以 EF=EG+GF=EG+AD= 所以 EF=

n BC+ AD, m+n m+n

m

即(m+n)EF=mBC+nAD.

4


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