2018版高中数学第二章统计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图学案

2.2.1
2.2.2

频率分布表

频率分布直方图与折线图

1.通过实例体会分布的意义和作用. 2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图及折线图,了解 频率分布折线图和总体密度曲线的定义.(重点、难点) 3.通过实例体会频率分布直方图的特征,会用频率分布直方图对总体分布规律进行估 计.(重点、难点)

[基础·初探] 教材整理 1 频率分布表 阅读教材 P53~P55“思考”上边的部分,并完成下列问题. 1.频率分布表的概念 当总体很大或不便于获得时, 可以用样本的频率分布估计总体的频率分布. 我们把反映 总体频率分布的表格称为频率分布表. 2.制作频率分布表的步骤 全距 (1)求全距,决定组数和组距,组距= ; 组数 (2)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间; (3)登记频数,计算频率,列出频率分布表.

判断正误: (1)制作频率分布表时,一般分组使每组的组距相等,但组距没有固定的标准.( (2)数据分组的组数与样本容量有关,一般是样本容量越大,所分组数越多.( (3)制作频率分布表时,组距一般取整数.( ) ) )

【解析】 (1)√.根据频率分布表的制作步骤知正确. (2)√.由频率分布表的制作步骤知正确. (3)×.组距不一定为整数,而是没有固定的限制要求. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×

教材整理 2 频率分布直方图与折线图
1

阅读教材 P56~P58“例 4”上边的部分,并完成下列问题. 1.频率分布直方图 (1)定义: 我们用直方图反映样本的频率分布规律, 这样的直方图称为频率分布直方图, 简称频率直方图. (2)绘制步骤 ①先制作频率分布表; ②建立直角坐标系:把横轴分成若干段,每一段对应一个组的组距,纵轴等于该组的 频率 ,并标上一些关键点; 组距 频率 ③画矩形:在横轴上,以连接相邻两点的线段为底,以纵轴上 为高作矩形,这样得 组距 到一系列矩形,就构成了频率分布直方图. 2.频率分布折线图 (1)定义:将频率分布直方图中各个相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来,就得到 频率分布折线图,简称频率折线图. (2)总体分布密度曲线 频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势, 如果将样本容量取得足够大, 分组的组 距取得足够小, 那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线, 称这条光滑曲线为总体分布的 密度曲线.

判断正误: 【导学号:11032038】 (1)频率分布直方图中每个小矩形的面积等于相应组的频数;( (2)频率分布直方图中的所有小矩形的面积之和等于 1;( ) ) )

(3)在频率分布表中,组距越大,频率分布折线图就越接近于总体密度曲线.( 频率 【解析】 (1)×.小长方形的面积=组距× =频率.故错误. 组距 (2)√.由小长方形面积的意义知正确. (3)×.当分组越细时,折线图越接近于总体密度曲线,故错误. 【答案】 (1)× (2)√ (3)×

[小组合作型] 频率分布表 2016 年高考已经结束, 一考试机构为了了解和掌握某地区高考考生的实际答卷
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情况,随机地取出了 100 名考生的数学成绩,数据如下(单位:分): 135 125 105 109 129 111 129 99 102 123 98 97 124 123 126 89 99 101 108 119 102 117 87 111 97 110 90 119 117 98 110 113 131 103 100 121 99 97 99 121 99 110 97 105 115 80 121 102 118 101 121 92 102 92 111 120 123 108 106 113 110 102 123 114 106 121 107 101 119 102 96 109 104 108 117 104 111 95 97 103 100 104 104 104 104 108 91 107 126 104 103 112 128 102 109 118 100 101 108 108

(1)列出频率分布表; (2)估计该地区考生数学成绩在 110 分~130 分间的比例是多少? 【精彩点拨】 根据数据特征合理分组,按制作频率分布表的步骤求解. 【自主解答】 (1)100 个数据中,最大值为 135,最小值为 80,极差为 135-80=55. 极差 55 把 100 个数据分成 11 组,这时组距= = =5. 组数 11 频率分布表如下: 分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125) [125,130) [130,135] 合计 频数 1 2 4 14 24 15 12 9 11 6 2 100 频率 0.01 0.02 0.04 0.14 0.24 0.15 0.12 0.09 0.11 0.06 0.02 1

(2)由频率分布表可知, 该地区考生的数学成绩在 110 分~130 分间的比例为 0.12+0.09 +0.11+0.06=0.38=38%.

3

1.列频率分布表的一般步骤是: (1)计算最大值和最小值的差(称全距);(2)决定组距和组数;(3)决定分点;(4)列频率 分布表. 2.频率分布表是用表格的形式改变数据的排列方式和构成形式,可展示数据的分布情 况.

[再练一题] 1.容量为 100 的样本按从小到大的顺序分为 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9

则第 3 组的频数与频率分别是________. 14 【解析】 由表可知第 3 组的频数为 14,频率为 =0.14. 100 【答案】 14,0.14 频率分布直方图与折线图

一个容量为 100 的样本,数据的分组和各组的一些相关信息如下: 分组 [12,15) [15,18) [18,21) [21,24) [24,27) [27,30) [30,33) [33,36] 合计 画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【精彩点拨】 先根据步骤画出频率分布直方图,然后再画出折线图. 【自主解答】 频率分布直方图和频率分布折线图如图. 频数 6 8 16 21 18 16 10 5 100 频率 0.06 0.08 0.16 0.21 0.18 0.16 0.10 0.05 1.00

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1.制作频率分布直方图的步骤为:①求极差;②决定组距与组数;③将数据分组;④ 列频率分布表;⑤画频率分布直方图.将数据分组,决定分点时,一般使分点比数据多一位 小数,并且把第一组的起点稍微减小一点,并且分组区间要左闭右开. 2.制作频率分布折线图的步骤为: (1)在频率分布直方图中,取各相邻矩形的上底边中点并顺次连接. (2)将矩形的边擦去. (3)取值区间两端点分别向外延伸半个组距,并取此组距上在 x 轴上的点与拆线的首、 尾分别相连.

[再练一题] 2.对某型号的电子产品进行寿命追踪调查,所得情况如下: 寿命(h) 个数 [100,200) 20 [200,300) 30 [300,400) 80 [400,500) 40 [500,600] 30

(1)列出频率分布表; (2)画出频率分布直方图和频率分布折线图. 【解】 (1)样本的频率分布表如下: 寿命(h) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) 频数 20 30 80 40 频率 0.10 0.15 0.40 0.20
5

[500,600] 合计

30 200

0.15 1

(2)频率分布直方图,频率分布折线图如图所示:

[探究共研型] 频率分布直方图的应用 探究 1 频率分布直方图中矩形的面积代表什么?所有矩形的面积和等于多少? 【提示】 在频率分布直方图中,每个矩形的面积等于相应各组的频率,矩形的高与频 数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1. 探究 2 频率分布表与频率分布直方图是如何来表示数据的分布规律的? 【提示】 样本数据的频率分布表和频率分布直方图, 是通过各小组数据在样本容量中 所占比例大小来表示数据的分布规律, 它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布 情况,并由此估计总体的分布情况.通过作表和作图,既可以从数据中提取信息,又可以利 用图形传递信息. 为了解某校高一学生中男生的体能状况,从该校高一学生中抽取若干名男生进 行铅球测试,把所得数据(精确到 0.1 m)进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部 分(如图 2?2?1),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第 6 小组的频数是 7.

图 2?2?1 (1)请将频率分布直方图补充完整; (2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人? (3)若成绩在 8.0 米以上(含 8.0 米)的为合格,试求这次铅球测试的成绩的合格率. 【精彩点拨】 的结论解题. 根据频率分布直方图中矩形面积的含义及所有矩形的面积之和等于 1

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【自主解答】 (1)由频率分布直方图的意义可知,各小组频率之和为 1,故第 6 小组 的频率为: 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,易知第 6 小组与第 3 小组的频率相等, 故两个小长方形等高.

(2)由(1)知,第 6 小组的频率是 0.14.频数是 7,设参加这次测试的男生有 x 人, 根据频率定义, 7 得 =0.14,

x

即 x=50. 即该校参加这次铅球测试的男生有 50 人. (3)由图可知,第 4、5、6 小组成绩在 8.0 米以上,其频率之和为 0.28+0.30+0.14= 0.72, 故合格率为 72%.

频率分布直方图表示的含义: ?1?频率分布直方图中有多少个小矩形, 这组数据就分多少组.且每一个小矩形在横轴 上的线段长即为组距. ?2?在频率分布直方图中,每个小矩形的高和频数及频率均成正比,即矩形越高,频 数越多、频率越大. ?3?在频率分布直方图中,每个小矩形的面积等于相应各组的频率,而各组频率之和 等于 1,因此各小矩形的面积和也等于 1.

[再练一题] 3.为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重(单位:千克)情况,将所得 的数据整理后,画出了频率分布直方图,如图 2?2?2 所示,已知图中从左到右的前三个小组 的频率之比为 1∶2∶3, 其中第 2 小组的频数为 12.则该校报考飞行员的总人数为________.

7

图 2?2?2 【解析】 设该校报考飞行员的人数为 n,前三小组的频率分别为 p1,p2,p3,则由题 意可知,

p2=2p1, ? ? ?p3=3p1, ? ?p1+p2+p3+?0.037+0.013?×5=1,
解得 p1=0.125,

p2=0.25, p3=0.375.
12 又∵p2=0.25= ,

n

故 n=48. 【答案】 48

1.关于频率分布直方图的下列说法正确的序号是________. ①直方图的高表示取某数的频数; ②直方图的高表示该组个体在样本中出现的频率; ③直方图的高表示该组个体在样本中出现频率与组距的比; ④直方图的高表示该组个体在样本中出现的频数; ⑤直方图的各小矩形面积之和等于 1. 【解析】 由频率分布直方图的知识知③⑤正确. 【答案】 ③⑤ 2. 一个容量为 32 的样本, 已知某组样本的频率为 0.125, 则该组样本的频数为________. 频数 【解析】 由 =频率,得频数=样本容量×频率=32×0.125=4. 样本容量 【答案】 4 3.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下:
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[11.5,15.5) 2;[15.5,19.5) 4;[19.5,23.5) 11;[31.5,35.5) 12;[35.5,39.5)

9;[23.5,27.5) 18;[27.5,31.5) 3.

7;[39.5,43.5]

根据样本的频率分布估计大于或等于 31.5 的数据约占________. 【解析】 由题意知,样本的容量为 66,而落在[31.5,43.5]内的频数为 12+7+3= 22 1 22,故所求频率为 = . 66 3 【答案】 1 3

4.某校为了解学生的睡眠情况,随机调查了 50 名学生,得到他们在某一天各自的睡眠 时间的数据,结果用下面的统计图 2?2?3 表示,根据统计图可得这 50 名学生在这一天平均 每天的睡眠时间为________h.

图 2?2?3 【解析】 由题意可知 50 名学生这一天平均每人的睡眠时间为(5.5+7+7.5)×0.1+ 6×0.3+6.5×0.4=6.4. 【答案】 6.4 5.为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所 得数据整理后, 画出频率分布直方图(如图 2?2?4), 图中从左到右各小长方形面积之比为 2∶ 4∶17∶15∶9∶3,第二小组频数为 12.

图 2?2?4 (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标, 试估计该学校全体高一学生的达标率是多少? 【解】 (1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小, 4 因此第二小组的频率为 =0.08. 2+4+17+15+9+3

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频数 又频率= , 样本容量 第二小组频数 12 所以,样本容量= = =150, 第二小组频率 0.08 即第二小组的频率为 0.08,样本容量是 150. (2)由图可估计该学校高一学生的达标率约等于次数落在[110,150]内的频率, 又 17+15+9+3 ×100%=88%, 2+4+17+15+9+3

即次数落在[110,150]内的频率为 88%, 所以估计该学校全体高一学生的达标率是 88%.

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