【人教版】2020学年高二数学上学期期中试题 新人教版

2020 学年高二数学上学期期中试题

※ -精 品 人教 试 卷- ※

(时长:120 分钟,满分:150 分 ) 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.)

? ? 1.已知集合 A ? x | x2 ? 4x ? 3 ? 0 , B ? ?x ? N | ?1 ? x ? 3? ,则 A ? B(



A. ?0,1,2?

B. ?1,2?

C.

?1,2,3?

D. ?2,3?

2.“大自然是懂数学的”,自然界中大量存在如下数列:1,1,2,3, x ,8,13,

21, ,则其中 x 的值是(
A. 4 C. 6
3.若 a>b ,则下列不等式成立的是(

) )

B. 5 D. 7

A.

B. 1 ? 1

C.

ab

D.

4.已知实数列﹣1,a,b,c,﹣2 成等比数列,则 abc 等于(



A. 4

B. ±4

C. 2 2

D. ﹣ 2 2

5.在△ABC 中,∠A=60°,a= 6 ,b=3,则△ABC 解的情况( )

A. 无解

B. 有一解



D. 不能确定

6.不等式 4x ? 3 ? 0的解集是( ) 2-x
A. {x| 3 ≤x≤2} 4
2}

C. {x|x>2 或 x≤ 3 } 4

B. {x| 3 ≤x< 4
D. {x|x≥ 3 } 4

C. 有两

7.在

中,

,则 与 的大小关系为(



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A.

B.

C.

D. 不确定

s 8.已知等差数列 {an} 的前 n 项和为 ,且 n

A. 3 3

B. 3

C.- 3

,则





D. - 3 3

9.已知在

中,

,那么这个三角形的最大角是(



A.

B.

C.

D.

10.《九章算术》卷第六《均输》中,有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得

与下三人等.问各得几何?”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊,且

五人所得依次成等差数列,则乙与丙两人共分得(



A. 8 钱 3


B. 7 钱 2
D. 3 钱

C. 13 6

11.若直线





始终平分圆

的周长,则 1 ? 1 的最小值为 2a b

A. 1

B. 5

C.

2

2

3?2 2 2

D. 3 ? 2 2

12.已知 x>0 , y>0 ,且

,若

恒成立,则实数 m 的取值范围(



A.

B.

C. (-2,4)

D. (-4,2)

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

二、填空题( 本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答 a 案填在题中的横线上.) 13.△ABC 的三个内角 A,B,C 的大小成等差数列,则 B=________.
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14.设 x,y 满足约束条件

,则 Z=2X-Y 的最大值为 ________.

15.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m, ∠ACB=45°,∠CAB=105°后,则 A,B 两点的距离为________ m.

x 16.不等式(a-2) 2 +2(a-2)-4<0 对一切 X? R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ________.

三、解答题 ( 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知-π2 ≤ɑ<β

≤π2 ,求α

+β 2

,α

-β 2

的取值范围.

18. (12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c,已知 B=60°,
(1)若 b= 3 ,A=45°,求 a;
(2)若 a、b、c 成等比数列,请判断△ABC 的形状.

19.(12 分)等比数列 {an} 中,

.

(1)求 {an} 的通项公式;

s (2)记 为 {an} 的前 n 项和,若 Sm=63,求 m。 n

20. (12 分)某小区要建一个面积为 500 平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外路宽 5 米,短边外路宽 9 米,怎样设计绿地的长与宽,使绿地和小路所占的总面积最小,并求出最小值.

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21.(12 分)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tanA,tanB 是关于 x 的方程 x2+(1+p)x+p+2=0 的两个根,c=4. (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f(x)= x ,数列{an}满足



3x ?1

(1)求证:数列{ 1 }是等差数列;
an
(2)求数列{an}的通项公式; (3)记 Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 , 求 Sn .

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一、 BBDDA BCCCC DD 二、
13. ? 3
14.2

答案

15. 50 2

16.(- ?,2】

三、

17.已知-π2 ≤ɑ<β

≤π2 ,求α

+β 2

,α

-β 2

的取值范围.

解:∵-π2 ≤α <β ≤π2 ,

∴-π4 ≤α2 <π4 ,-π4 <β2 ≤π4 .

上面两式相加,得-π2 <α

+β 2

<π2 .

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又∵-π4 <β2 ≤π4 ,

∴-π4 ≤-β2 <π4 ,

∴-π2 ≤α

-β 2

<π2 .

又知 α

<β

,∴α

-β 2

<0,故-π2 ≤α

-β 2

<0.

综上知,α

+β 2

的取值范围是???-π2

,π2

???;α

-β 2

的取值范围是[-π2

,0).

18.设△ABC 的内角 A、B、C 所对边分别是 a、b、c,已知 B=60°, (1)若 b= ,A=45°,求 a; (2)若 a、b、c 成等比数列,请判断△ABC 的形状.

【答案】(1)解:△ABC 中,由正弦定理可得

,即



a= (2)解:∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac. 再由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2ac?cos60°,即 (a﹣c)2=0,∴a=c.
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∵B=60°,∴A=C=60°,∴△ABC 为等边三角形

19.等比数列

中,

.

(1)求

的通项公式;

(2)记 为

的前 项和,若 Sm=63,求 m。

【答案】(1)解:因为 q4=4q2 q=±2

,a5=4a3



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(2)解:
又 20.某小区要建一个面积为 500 平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外路宽 5 米,短边外路宽 9 米,怎样设 计绿地的长与宽,使绿地和小路所占的总面积最小,并求出最小值.

【答案】解:设绿地长边为 x 米,则宽为

米,

总面积



当且仅当

,即 x=30 时,上式取等号;

所以,绿地的长为 30 米,宽为 米时,绿地和小路所占的总面积最小,最小值为 1280 平方米. 21.(12 分).已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 tanA,tanB 是关于 x 的方程 x2+(1+p)x+p+2=0 的两个根,c=4. (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)解:∵tanA,tanB 是关于 x 的方程 x2+(1+p)x+p+2=0 的两个根, ∴tanA+tanB=﹣1﹣p,tanA?tanB=p+2,
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∴tan(A+B)=

=

∴在△ABC 中,A+B= ,

=1,

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∴C=

(2)解:∵C=

,c=4,c2=a2+b2﹣2abcosC, ∴42=a2+b2﹣2ab×(﹣

又∵a>0,b>0,

),整理可得:16﹣

∴16﹣

=a2+b2≥2ab,可得:ab≤

,当且仅当 a=b 时取等号,

=a2+b2 ,

∴S△ABC= absinC=

ab×



×=

∴△ABC 的面积的取值范围为(0,4 ﹣4]

=4 ﹣4,

22.已知函数

,数列{an}满足



(1)求证:数列{ }是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式; (3)记 Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 , 求 Sn .

【答案】(1)证明:∵函数

,数列{an}满足

,∴





=3+ ,



=3, =1,

∴数列{ }是首项为 1,公差为 3 的等差数列

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(2)解:∵数列{ }是首项为 1,公差为 3 的等差数列,

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∴ =1+(n﹣1)×3=3n﹣2,

∴an=



(3)解:∵anan+1=

=(

= (1﹣ +

+

+…+

), ∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1 )

=

=



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