开放型习题的教学与学生数学思维能力的培养

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 开放型习题的教学与学生数学思维能力的培 养 作者:刘桂萍 来源:《新课程·教育学术》2010 年第 11 期 摘 要:和封闭的习题不同,开放型习题更有利于培养学生的创造性思维,可以培养学生 的创新精神,提高学生的实践能力。学生在解决开放性问题时,在探求多种答案的过程中,会 增强思维的发散性;学生发现使结论成立的多种条件时,能够提高学生联想、猜测、直觉等非 逻辑思维能力及分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。 关键词:开放型习题 教学 数学思维能力 一、数学开放型习题教学对学生发散 思维能力的提高 在初中数学的学习中,发散思维就是依据定义、定理、公式和已知条件,思维朝着各种可 能的方向扩散前进,不在拘泥于固有的模式,而是要多角度、全方位地从不同方面去探索,从 而实现解决问题途径的多样化。创造往往是按照集中—发散—再集中—再发散……这样循环往 复中进行下去的。开放型习题的特点在于问题的开放、答案的开放以及解决问题的思维方式防 范的开放性,它可以为学生思维能力的开发提供了广阔的空间。 开放型习题教学是有利于培养学生的发散思维的。开放型习题从它的形式来看,可以是题 目结论确定,条件开放,或是问题的已知条件确定,结论开放,或是题目的条件与结论确定, 解法开放。条件开放时,可需要学生从不同角度用不同知识解决问题。结论开放时,让学生自 己尽可能多地确定未知元素,并去求解这些未知元素。这个过程是充分揭示思维的广度和深度 的过程。问题的解法开放,给了学生广阔的思维空间,可以调动相关知识去解决问题。所以在 课堂教学中,教师要精心设计开放问题,创造问题情境,在注重培养逻辑思维的同时,鼓励学 生敢于打破常规,别出心裁,从多角度、多侧面思考问题,不受思维定势的束缚,促进学生发 散思维的发展,培养学生的创造性思维。 已知一元二次方程 x2-2kx+2k+3=0 的两个实数根都大于 2,求实数 k 的取值范围。 数学题目,由于其内在规律,或思考的途径不同,可能会有许多不同的解法。每一种解法 中蕴含不同的知识点。 解法一:x2-2kx+2k+3=0 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∵方程有实数根, ∴Δ=(-2k)2-4(2k+3)=4(k2-2k-3)≥0, ∴k≥3 或 k≤-1① 设方程的两个根为 x1、x2,则: 解得 2 由①、②得,3≤k 说明:学生对求根公式比较熟悉,这是他们最容易想到的解法。但是解无理不等式存在困 难,有时计算量比较大。 解法二:∵x2-2kx+2k+3=0 方程有实数根, ∴Δ=(-2k)2-4(2k+3)=4(k2-2k-3)≥0, ∴k≥3 或 k≤-1① 设方程的两个根为 x1、x2,则:x1+x2=2k,x1x2=2k+3 ∵两个根都大于 2,∴x1-2>0,x2-2>0, ∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=2k-4>0,得 k>2② (x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=2k+3-4k+4=-2k+7>0,得 k 由①、②、③得,3≤k 说明:运用韦达定理求解可以避免较大的运算量,但在确定方程有两个大于 2 的实数根的 充要条件上容易出错,把(x1-2)(x2-2)>0 写成 x1x2>4。 解法三:设二次函数 f(x)=x2-2kx+2k+3,图象为开口向上的抛物线,方程 x22kx+2k+3=0 有两个大于 2 的实数根,那么,二次函数与 x 轴的交点在 2 的右侧,根据二次函 数的图象则有:Δ=(-2k)2-4(2k+3)= 4(k2-2k-3)≥0(k>2),f(2)=22-2k·2+2k+3=7-2k>0。数学开放题教学对学生创造性思 维的培养解得:3≤k 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 说明:一元二次方程的实根分布问题可以转化为二次函数与 x 轴交点分布问题,运用二次 函数的图象列条件求解,体现数形结合的数学方法,同时有助于直觉思维的培养。 显然,这是一道封闭题。以这样的形式发问,就学生个体而言,他在解决问题的过程中, 往往是想到一种比较熟悉的解法能得到答案就完事大吉。解题活动没有多大的开放性。虽然也 会有一部分学生在解决问题后会想是否有其他解法,并进行探究。 二、数学开放型习题教学对学生直觉思维的培养 学生的数学直觉思维是学生头脑中对数学对象、结构以及关系的直观的想象和直接的判 断,是对突然出现的新事物、新现象、新问题及他们之间关系所作出的直观顿悟的思维。直觉 思维是一种倾向于以对整个问题的理解为基础进行思维,是没有经过明显的中间推理过程,思 维者获得答案而意识不到求解过程。直觉思维是人类一种普遍的思维方式,其形成基础是对数 学领域的基础知识及其结构的了解,以飞跃、迅速越级知识的方式进行的。高度的直觉来源于 丰富的学识和经验,而非凭空产生的。 在直觉思维中,它要求有一定的依据,但又不苛求有充分的依据,这就等于放宽了条件, 既符合学生的思维习惯,又不至于过早筛掉可能有用的信息,而且直觉思维具有快速性,迅速 肯定或否定某一思路或结论,给人以“发散”“放射”的感觉。在数学开放型习题教学中,教师充 分利用开放型习题,有意识地培养学生的直觉思维,借此提高学生的创造性思维能力。 面对相同的题目,不同的学生会根据自己的经验和直觉得出很多结果,有的结论比较直 观、简单;有些结论需要学生们进行深度和广度的探索才能发现。同学的新发现,学生活跃的 思维让教师也深感意外。 开放型习题调动了学生的逻辑思维,也调动了学生的直觉思维,引导学生经历了由直觉发 现到逻辑证明的问题解决过程(这个过程也是科学家进行问题解决的过程),极大地诱发了创 造性思维。开放题教学无论是从它的题目设置,还是在引导学生解决问题中都更有利于学生的 直觉思维的培养。 三、数学开放型习题教学对学生猜想能力的培养 猜想是对研究的对象、问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳的基

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