高考数学二轮复习 三角函数解答题专题训练(含解析)

【状元之路】 2015 版高考数学二轮复习 三角函数解答题专题训练 (含 解析)
一、选择题 1.设函数 f(x)=a·b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx, 3sin2x),x∈R.

? π π? (1)若函数 f(x)=1- 3,且 x∈?- , ?,求 x 的值; ? 3 3?
(2)求函数 y=f(x)的单调增区间,并在给出的坐标系中画出 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.

π? ? 2 解 (1)依题设得 f(x)=2cos x+ 3sin2x=1+cos2x+ 3sin2x=2sin?2x+ ?+1. 6? ? π? ? 由 2sin?2x+ ?+1=1- 3, 6? ? π? 3 ? 得 sin?2x+ ?=- . 6? 2 ? π π ∵- ≤x≤ , 3 3 π π 5π ∴- ≤2x+ ≤ , 2 6 6 π π ∴2x+ =- , 6 3 π 即 x=- . 4 π π π (2)当- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π π 即- +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z)时,函数 y=f(x)单调递增, 3 6 即函数 y=f(x)的单调增区间为

?-π +kπ ,π +kπ ?(k∈Z), ? 3 ? 6 ? ?
在[0,π ]上列表如下: π 6 3 π 3 2 π 2 0 2π 3 -1 5π 6 0

x y
图象为:

0 2

π 2

2.已知向量 a=(cosx+ 3sinx, 3sinx),b=(cosx- 3sinx,2cosx),函数 f(x)=a·b- cos2x. (1)求函数 f(x)的值域; 1 ?π π ? (2)若 f(θ )= ,θ ∈? , ?,求 sin2θ 的值. 5 ?6 3? 解 (1)f(x)=a·b-cos2x =(cosx+ 3sinx)(cosx- 3sinx)+ 3sinx·2cosx-cos2x =cos x-3sin x+2 3sinxcosx-cos2x =cos x-sin x-2sin x+2 3sinxcosx-cos2x =cos2x+ 3sin2x-1 π? ? =2sin?2x+ ?-1, 6? ? 所以 f(x)的值域为[-3,1]. π? ? (2)由(1)知 f(θ )=2sin?2θ + ?-1, 6? ? π? 1 ? 由题设 2sin?2θ + ?-1= , 6? 5 ? π? 3 ? 即 sin?2θ + ?= . 6? 5 ?
2 2 2 2 2

∵θ ∈?

? π ,π ? , ? ?6 3?

π ?π 5π ? ∴2θ + ∈? , ?, 6 ? 6 ?2 π? 4 ? ∴cos?2θ + ?=- , 6? 5 ? π? π? π? π π? π 3 3 ? 4? 1 ?? ? ? ∴sin2θ =sin??2θ + ?- ?=sin?2θ + ?cos -cos?2θ + ?sin = × -?- ?× 6 6 6 6 6 5 2 ? 5? 2 ? 6? ? ? ? ? ?? 3 3+4 = . 10 π π 3.已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )其中 x∈R,A>0,ω >0,- <φ < 的部分图象如图所示. 2 2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 f(x)的图象上的三点 M,N,P 的横坐标分别为-1,1,5,求 sin∠MNP 的值. 解 (1)由图可知,A=1,最小正周期 T=4×2=8. 2π π 由 T= =8,得 ω = . ω 4 π π ?π ? 又 f(1)=sin? +φ ?=1,且- <φ < , 4 2 2 ? ? π π π ∴ +φ = .解得 φ = , 4 2 4 π? ?π ∴f(x)=sin? x+ ?. 4? ?4 (2)∵f(-1)=0,f(1)=1,f(5)=sin? ∴M(-1,0),N(1,1),P(5,-1). ∴|MN|= 5,|PN|= 20,|MP|= 37. 5+20-37 3 由余弦定理得 cos∠MNP= =- . 5 2 5× 20 ∵∠MNP∈(0,π ),

?5π +π ?=-1, ? 4? ? 4

4 ∴sin∠MNP= . 5 4.已知 m=(2cosx+2 3sinx,1),n=(cosx,-y),且 m⊥n. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x),并求 f(x)的单调增区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f? ?=3,且 a=2,b+c=4, ?2? 求△ABC 的面积. 解 (1)由 m⊥n,得 m·n=2cos x+2 3sinxcosx-y=0, 即 y=2cos x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x+1 π? ? =2sin?2x+ ?+1, 6? ? π π π ∴由- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 3 6 π ? π ? 即函数 f(x)的增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 3 6 ? ? (2)∵f? ?=3, ?2?
2 2

?A?

?A?

? π? ? π? ∴2sin?A+ ?+1=3.即 sin?A+ ?=1. 6? 6? ? ?
π π ∴A+ = +2kπ ,k∈Z. 6 2 又 0<A<π , π ∴A= , 3 由余弦定理,得 a =b +c -2bccosA, 即 4=b +c -bc, ∴4=(b+c) -3bc, 又 b+c=4, ∴bc=4, 1 1 3 ∴S△ABC= bcsinA= ×4× = 3. 2 2 2 ω x+φ ω x+φ 2ω x+φ 5.已知函数 f(x)= 3sin cos +sin 2 2 2 π ?π ? 个相邻对称中心的距离为 ,且过点? ,1?. 2 ?3 ?
2 2 2 2 2 2

?其中ω >0,0<φ <π ?.其图象的两 ? 2? ? ?

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,a= 5,S△ABC=2 5,角 C 为锐角.且满

?C π ? 7 足 f? - ?= ,求 c 的值. ?2 12? 6
解 (1)f(x)= 3 1 sin(ω x+φ )+ [1-cos(ω x+φ )] 2 2

π? 1 ? =sin?ω x+φ - ?+ . 6? 2 ? π ∵两个相邻对称中心的距离为 ,则 T=π , 2 2π ∴ =π ,∵ω >0,∴ω =2. |ω |

?π ? 又 f(x)过点? ,1?, ?3 ?
∴sin?

?2π -π +φ ?+1=1, ? 2 6 ? 3 ? ?π +φ ?=1,∴cosφ =1. ? 2 2 ?2 ?

即 sin?

π π 又∵0<φ < ,∴φ = , 2 3 π? 1 ? ∴f(x)=sin?2x+ ?+ . 6? 2 ? 1 7 ?C π ? ? π π? 1 (2)f? - ?=sin?C- + ?+ =sinC+ = , 6 6? 2 2 6 ?2 12? ? 2 π 5 ∴sinC= ,又∵0<C< ,∴cosC= . 3 2 3 1 1 2 又 a= 5,S△ABC= absinC= × 5×b× =2 5, 2 2 3 ∴b=6, 由余弦定理,得 c =a +b -2abcosC, 即 c =5+36-2 5×6× ∴c= 21.
2 2 2 2

5 =21, 3


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