安徽省定远重点中学高一数学上学期期中试题

2019-2019 学年度上学期期中考试

高一数学试题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分

钟。请在答题卷上作答。

第 I 卷 选择题 (共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 题,每题 5 分,满分 60 分,每小题只有一个正确答案)

1.已知全集 U=

,集合 P=

,Q=

,则(C UP)∪Q 等于( )

A.

B.

C.

D.

2.已知 f(x-1)=x2+4x-5,则 f(x)等于( )

A.x2+6x

B.x2+8x+7 C.x2+2x-3 D.x2+6x-10

3.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)= ,则

当 x∈(-∞,-2)时,f(x)的解析式为( )

A.f(x)=- B.f(x)=-

C.f(x)=

D.f(x)=-

4.函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是( )

5.函数 y=f(x)对于任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当 x>0 时,f(x)>1,且

f(3)=4,则( )

A.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=3

B.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=3

C.f(x)在 R 上是减函数,且 f(1)=2

D.f(x)在 R 上是增函数,且 f(1)=2

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),f(x-2)=f(x+2)且 x∈(-1,0)时,f(x)=

2x+ ,则 f(log220)等于( )

A. 1

B.

C. -1

D. -

7.设函数 f(x)=

且 f(x)为偶函数,则 g(-2)等于( )

A. 6

B. -6

C. 2

D. -2

8.若 f(x)和 g(x)都是奇函数,且 F(x)=f(x)+g(x)+2 在(0,+∞)上有最大值 8,则在(-

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∞,0)上 F(x)有( ) A. 最小值-8 D. 最小值-4

B. 最大值-8

C. 最小值-6

9.若函数 f(x)=a|2x-4|(a>0,且 a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间是( )

A. (-∞,2]

B. [2,+∞)

C. [-2,+∞)

D. (-∞,-2]

10.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( )

A . c>b>a

B . b>c>a

C . a>c>b

D.a>b>c

11.若 x,y∈R,且 2x=18y=6xy,则 x+y 为( )

A. 0

B. 1

C. 1 或 2

D. 0 或 2

12.已知对数函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为 y=g(x),则 g(x)的解析式是( )

A . g(x) = 4x

B . g(x) = 2x

C . g(x) = 9x

D.g(x)=3x

第 II 卷(非选择题 90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),且 x≥1 时,f(x)= +1,则 f(x)的

解析式为________.

14.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,则 f(1)+f(2)

+f(3)+f(4)+f(5)=________.

15.已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1)的图象过点 P(4, ),则 f(x)的解析式为________.

16.已知函数 f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数 F(x)=

给出下列四个命题:

①F(x)=|f(x)|;②函数 F(x)是偶函数;③当 a<0 时,若 0<m<n<1,则有 F(m)-F(n) <0 成立;④当 a>0 时,函数 y=F(x)-2 有 4 个零点.其中真命题的序号是________. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分)

17.(12 分)已知函数 f(x)= 是定义在(-1,1)上的函数.

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(1)用定义法证明函数 f(x)在(-1,1)上是增函数; (2)解不等式 f(x-1)+f(x)<0.

18. (12 分)已知 f(x)=x+ -3,x∈[1,2].

(1)当 b=2 时,求 f(x)的值域; (2)若 b 为正实数,f(x)的最大值为 M,最小值为 m,且满足 M-m≥4,求 b 的取值范围. 19. (12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1)的值;又若 f(0)=a,求 f(a)的值; (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式.
20. (12 分)f(x)=a+ (a∈R).

(1)若函数 f(x)为奇函数,求实数 a 的值; (2)用定义法判断函数 f(x)的单调性; (3)若当 x∈[-1,5]时,f(x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (12 分)已知函数 f(x)=

(-2≤x≤2).

(1)写出函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的最大值为 64,求 f(x)的最小值. 22. (10 分)已知函数 f(x)=x2-bx+3. (1)若 f(0)=f(4),求函数 f(x)的零点; (2)若函数 f(x)一个零点大于 1,另一个零点小于 1,求 b 的取值范围.
高一数学试题答案 一、选择题(本大题共 12 题,每题 5 分,满分 60 分) 1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.A 7.A 8.D 9.B 10.D 11.D 12.D 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.f(x)=

14.0 15.f(x)=log16x 16.②③④ 三、解答题(共 6 小题,共 70 分)

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17.(1)证明 设 x1,x2 是区间(-1,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= -

∵-1<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,(1+x)(1+x)>0, ∴x1x2<1,即 1-x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)= 在(-1,1)上是增函数. (2)解 由(1)知,f(x)在(-1,1)上单调递增, 且易证 f(x)为奇函数, f(x-1)+f(x)<0,即 f(x-1)<-f(x). 即 f(x-1)<f(-x),





∴0<x< .

∴不等式的解集为 .
18.【答案】(1)当 b=2 时,f(x)=x+ -3,x∈[1,2]. 因为 f(x)在[1, ]上单调递减,在[ ,2]上单调递增, 所以 f(x)的最小值为 f( )=2 -3. 又 f(1)=f(2)=0, 所以 f(x)的值域为[2 -3,0]. (2)①当 0<b<1 时,f(x)在[1,2]上单调递增, 则 m=b-2,M= -1,此时 M-m=- +1≥4, 得 b≤-6,与 0<b<1 矛盾,舍去; ②当 1≤b≤2 时,f(x)在[1, )上单调递减,在[ ,2]上单调递增,所以 M=max{f(1), f(2)}=b-2,m=f( )=2 -3,则 M-m=b-2 +1≥4,得( -1)2≥4, 解得 b≥9,与 1≤b≤2 矛盾,舍去; ③当 2<b<4 时,f(x)在[1, )上单调递减,在[ ,2]上单调递增,所以 m=2 -3,M= -1,所以 -2 +2≥4,所以 b≥2+2 或 b≤2-2 ,与 2<b<4 矛盾,故舍去;

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④当 b≥4 时,f(x)在[1,2]上单调递减,则 M=b-2,m= -1,此时 M-m= -1≥4,得 b≥10.

综上所述,b 的取值范围是[10,+∞). 19.【答案】(1)∵对任意 x∈R, 有 f (f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, ∴f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2. 又由 f(2)=3,得 f(3-22+2)=3-22+2,即 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (2)∵对任意 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 又∵有且只有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0, ∴对任意 x∈R,有 f(x)-x2+x=x0.
在上式中令 x=x0,得 f(x0)- +x0=x0.

又∵f(x0)=x0,∴x0- =0,故 x0=0 或 x0=1.
若 x0=0,则 f(x)-x2+x=0,即 f(x)=x2-x. 但方程 x2-x=x 有两个不同的实根,与题设条件矛盾, 故 x0≠0. 若 x0=1,则 f(x)-x2+x=1,即 f(x)=x2-x+1. 易验证该函数满足题设条件. 综上可知,所求函数的解析式为 f(x)=x2-x+1(x∈R). 20.解 (1)若函数 f(x)为奇函数, ∵x∈R,∴f(0)=a+1=0,得 a=-1,

验证当 a=-1 时,f(x)=-1+ = 为奇函数,

∴a=-1. (2)任取 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2,

则 f(x1)-f(x2)=







由 x1<x2,得 x1+1<x2+1, ∴2 +1<2 +1,2 +1-2 +1>0,又 2 +1>0,2 +1>0, 故 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.

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(3)当 x∈[-1,5]时,∵f(x)为减函数, ∴f(x)max=f(-1)= +a,

若 f(x)≤0 恒成立,则满足 f(x)max= +a≤0,

得 a≤- ,

∴a 的取值范围为

.

21.【答案】(1)令 t=x2+2x+a,则其对称轴 x=-1, ∴t=x2+2x+a 在[-2,-1]上单调递减, 在[-1,2]上单调递增, 又 y=2t 在(-∞,+∞)上单调递增, ∴f(x)的增区间为[-1,2],减区间为[-2,-1]. (2)由(1)知 f(x)max=f(2)=222+2×2+a=28+a. ∴28+a=64=26, ∴8+a=6,a=-2,

∴f(x)min=f(-1)=2(-1)2+2×(-1)-2=2-3= .

22. 【答案】(1)由 f(0)=f(4),得 3=16-4b+3,即 b=4,所以 f(x)=x2-4x+3,令 f(x) =0, 即 x2-4x+3=0,得 x1=3,x2=1, 所以 f(x)的零点是 1 和 3. (2)因为 f(x)的零点一个大于 1,另一个小于 1,如图. 需 f(1)<0,即 1-b+3<0,所以 b>4. 故 b 的取值范围为(4,+∞).

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