【人教版】2020学年高二数学上学期第一次月考试题 理(新版)新人教版

2019 高二第一次月考

※ -精 品 人教 试 卷- ※
A. 4 3

B.4

C. 2 3

D. 3

理科数学
注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的.

1. 数列 ?1, 3 , ?5 , 7 , ?9 , ,的一个通项公式为( )

A. an ? 2n ?1

B. an ? ??1?n ?1 ? 2n?

C. an ? ??1?n ?2n ?1?

D. an ? ? ? ?1 n?1 ?2n ?1?

2. 设 Sn 是等差数列?an? 的前 n 项和, a1 ? 2 , a5 ? 3a3 ,则 S9 ? ( )

A. 90

B. 54

C. ?54

D. ?72

3 。已知等比数列?an? 中, a2a3a4 ? 1 , a6a7a8 ? 64 ,则 a5 ? ( )

A. ?2

B. ?2

C.2

D.4

4. 在锐角 △ABC 中,角 A , B 所对的边分别为 a , b ,若 2b ? sinA ? 2a ,则角 B 等于( )

A. π 3

B. π 4

C. π 6

5. 在 △ABC 中, a2 ? b2 ? c2 ? bc ,则 A 等于( )

D. 5π 12

A. 45?

B.120?

C. 60?

D. 30?

6. 已知数列?an? 是等差数列,满足 a1 ? 2a2 ? S5 ,下列结论中错误的是( )

8.

设 Sn 为等比数列?an? 的前 n 项和,且关于 x 的方程 a1x2

? a3x ? a2

? 0 有两个相等的实根,则

S9 S3

?(



A.27

B. 21

C.14

D. 5

9.设

Sn 为等差数列?an? 的前 n

项和, a4

?

4 , S5

?

15

,若数列

? ? ?

an

1 an

?1

? ? ?

的前 m

项和为 10 11

,则 m

?





A.8

B.9

C.10

D.11

10. 某船开始看见灯塔 A 时,灯塔 A 在船南偏东 30? 方向,后来船沿南偏东 60? 的方向航行 45 km 后,看见

灯塔 A 在船正西方向,则这时船与灯塔 A 的距离是( )

A.15 2 km

B. 30 km

C.15 km

D.15 3 km

11.已知等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 7 , S6 ? 63 ,则数列?nan? 的前 n 项和为( )

A. ?3 ? ?n ? 1? ? 2n

B. 3 ? ?n ? 1? ? 2n

C.1 ? ?n ? 1? ? 2n

D.1 ? ?n ?1? ? 2n

12. 已知△ABC 的内角 A , B , C 对的边分别为 a , b , c ,且 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cosC 的最小

值等于( )

A. 6 ? 2 4

B. 6 4

C. 6 ? 2 4

D. 2 4

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. 若数列?an? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,则 a3 ? a4 的值为__________.

14. 在△ABC 中,已知 AB ? 2 , AC ? 3 , ?A ?120? ,则△ABC 的面积为_______.

15. 在 △ABC 中,三个角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c .若角 A ,B ,C 成等差数列,且边 a ,b ,

c 成等比数列,则 △ABC 的形状为__________.

16.

已知首项为 2 的正项数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且当 n ? 2 时, 3Sn

?

2

?

an2

?

3Sn?1

.若

Sn 2n+1

? m 恒成

立,则实数 m 的取值范围为_______________.

A. S9 ? 0

B. S5 最小

C. S3 ? S6

D. a5 ? 0

7.在 △ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 4 , BC ? 2 3 ,则 △ABC 的面积为( )

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分) 已知数列?an? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 2an .

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(1)求 an ;
(2)若 bn ? n ? an ,求数列?bn? 的前 5 项的和 S5 .

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? ? 18.(12 分)△ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,已知 m ? ?sin A,cosC?,n ? 3a,c ,已知
m∥n , (1)求角 C 的值; (2)若 b ? 4,c ? 2 3 ,求 △ABC 的面积.
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19.(12 分) 已知?an? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的根. (1)求?an? 的通项公式;

(2)求数列

? ? ?

an 2n

? ? ?

的前

n

项和

S

n



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20.(12 分) 在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 ccos A , bcos B , acosC 成等差数 列. (1)求 B ; (2)若 a ? c ? 3 3 , b ? 3 ,求 △ABC 的面积.
2
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21.(12 分) 如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°, 向山顶前进 10 米后到达点 B,又从点 B 测得斜度为? ,建筑物的高 CD 为 5 米. (1)若? ? 30? ,求 AC 的长; (2)若? ? 45? ,求此山对于地平面的倾斜角? 的余弦值.

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? ? 22.(12 分)

已知数列 ?an ?



n

项和为

Sn



a1

?

2 ,且满足

Sn

?

1 2 an?1

?

n



n ? N*



(1)求数列?an? 的通项公式;

(2)设 bn ? ?4n ? ?2 an?1 ,求数列?bn? 的前 n 项和 Tn .

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第Ⅰ卷

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【解析】根据题意,关于 x 的方程 a1x2 ? a3x ? a2 ? 0 有两个相等的实根,

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.
1.【答案】C

【解析】首先是符号规律: ??1?n ,再是奇数规律: 2n ?1,因此 an ? ??1?n ?2n ?1? ,故选 C.

2.【答案】C

【解析】因为

a5

?

3a3 ,所以

2

?

4d

?

3?2

?

2d

? ,?2d

?

?4

,?d

?

?2 ,?S9

?

9?2?

9?8 ??2?
2

?

?54

,故答

案为 C.

3.【答案】C

【解析】因为等比数列?an? 中, a2a3a4 ? 1 , a6a7a8 ? 64 ,所以 a33 ? 1 , a73 ? 64 ,

即 a3 ? 1 , a7 ? 4 ,因此 a52 ? a3a7 ? 4 ,因为 a5 与 a3 同号,所以 a5 ? 2 ,故选 C. 4.【答案】B

【解析】由 2b ? sinA ? 2a ,依正弦定理,可得: 2sin Bsin A ? 2 sin A .

∵ 0 ? A ? π ,∴ sin A ? 0 .∴ sin B ? 2 .∵ 0 ? B ? π ,∴ B ? π .故选 B.

2

2

4

5.【答案】C

【解析】由等式可得: a2 ? b2 ? c2 ? bc ,代入关于角 A 的余弦定理: cosA ? b2 ? c2 ? a2 ? bc ? 1 .

2bc

2bc 2

所以 A ? 60? .故选 C.

6.【答案】B

【解析】由题设可得 3a1 ? 2d ? 5a1 ?10d ? 2a1 ? 8d ? 0 ,即 a5 ? 0 ,所以答案 D 正确;

由等差数列的性质可得

a1

?

a9

?

2a5

?

0

,则

S9

?

9?a1 ?
2

a9

?

?

9a5

?

0 ,所以答案

A

正确;

又 S3 ? S6 ? 3a1 ? 3d ? 6a1 ?15d ? ?3?a1 ? 4d ? ? ?3a5 ? 0 ,故答案 C 正确.

所以答案 B 是错误的,应选答案 B.

7.【答案】C

【解析】因为 △ABC 中, ?A ? 60? , AC ? 4 , BC ? 2 3 ,

由正弦定理得: BC ? AC ,所以 2 3 ? 4 ,所以 sin B ?1,

sin A sin B

sin 60? sin B

所以 ?B ? 90? , ?C

? 30? ,所以 S△ABC

?

1?2 2

3 ? 4 ?sin30? ? 2

3 ,故选 C.

8.【答案】B

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则有 ?a3 ?2 ? 4a1a2 ? 0 ,代入等比数列的通项公式变形可得 q4 ? 4q ? 0 ,即 q3 ? 4 ,

? ? a1 1? q9

? ? 则 S9 ? 1? q S3 a1 1 ? q3

?

1 1

? ?

q9 q3

? 1 ? 43 1? 4

?

21,故选

B.

1? q

9.【答案】C

【解析】 Sn 为等差设列?an? 的前 n 项和,设公差为 d , a4 ? 4 , S5 ? 15 ,



???aS45

?4 ? 15

?

5a3

,解得

d

?1,则 an

?

4

?

?n

?

4?

?

n



由于

1 an an ?1

?

1
n?n ?1?

?

1 n

?

1 ,则 n ?1

Sm

?1?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

? 1 ? 1 ? 1? 1 ? 10 , m m ?1 m ?1 11

解得 m ?10,故答案为 10.故选 C. 10.【答案】D

【解析】根据题意画出图形,如图所示,

可得 ?DBC ? 60? , ?DBA ? 30? , BC ? 45 km ,??ABC ? 30? , ?BAC ?120?,
在 △ABC 中,利用正弦定理得: 45 = AC ,? AC ? 15 3 ?km? ,
sin120? sin 30?
则这时船与灯塔的距离是15 3 ?km? .故选 D.

11.【答案】D

【解析】当 q ? 1时,不成立,

?
? ? ?

a1

1? q3



q

?

1时,

?? ?

1? q

? ? ? a1 1? q6

?7

,两式相除得 1 ? q3 1? q6

?

1

1 ? q3

?

7 63

,解得: q ? 2 , a1

?1,

?

? 63

?? 1 ? q

即 an ? a1qn?1 ? 2n?1 , n ? an ? n ? 2n?1 , Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? n ? 2n?1 ,

2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ...... ? ?n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n ,两式相减得到:

?Sn

? 1? 2 ? 22

? ...... ? 2n?1

? n ? 2n

?

1? 2n 1? 2

? n ? 2n

? ?1? n? ? 2n

?1,

所以 Sn ? 1 ? ?n ?1? ? 2n ,故选 D.

12.【答案】A

【解析】已知等式 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,利用正弦定理化简可得: a ? 2b ? 2c ,

? ? 两边平方可得: a ? 2b 2 ? 4c2 ,即 a2 ? 2 2ab ? 2b2 ? 4c2 ,

?4a2 ? 4b2 ? 4c2 ? 3a2 ? 2 2ab ? 2b2 ,即 a2 ? b2 ? c2 ? 3a2 ? 2 2ab ? 2b2 , 4

? cos C

?

a2

? b2 ? c2 2ab

?

1 ? 3a 8 ?? b

?

2b a

?2

2

? ??

?

6? 4

2,

当且仅当 3a ? 2b 时,即 3a ? 2b 时取等号,则 cosC 的最小值为 6 ? 2 ,故选 A.

ba

4

※ -精 品 人教 试 卷- ※

所以 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,故数列?an? 为以 2 为首项,3 为公差的等差数列,

所以

Sn

?

n?3n ?1?
2

,所以

n?3n ?1?
2n?2

?

m

恒成立,即其最大值小于等于

m



由于函数分母为指数型函数,增长速度较快,所以当 n 较大时,函数值越来越小, n 较小时存在最大值,经

代入验证,当 n ? 3时有最大值 15 ,所以 m ? 15 .

16

16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1) an ? 2n ;(2)77. 【解析】(1) a1 ? 2 , an?1 ? 2an ,
则数列?an? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .
(2) bn ? n ? an ? n ? 2n ,

第Ⅱ卷

S5 ? ?1? 2? ? ?2 ? 22 ? ? ?3 ? 23 ? ? ?4 ? 24 ? ? ?5 ? 25 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.【答案】24
【解析】因为数列?an? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ,所以 a3 ? S3 ? S2 ? 2 ? 32 ? 2 ? 22 ? 10 ,

a4 ? S4 ? S3 ? 2 ? 42 ? 2 ? 32 ? 14 ,?a3 ? a4 ? 24 ,故答案为 24 .

14.【答案】 3 3 2
【解析】 AB ? 2 , AC ? 3 , ?A ?120? ,

? S△ABC

?

1 2

?

AB ?

AC ? sinA ?

1 ? 2? 3? sin120? 2

?

33 2

.故答案为

33 2



15.【答案】等边三角形

【解析】角 A , B , C 成等差数列,则 2B ? A ? C , A ? B ? C ? ? ,解得 B ? ? , 3
边 a ,b ,c 成等比数列,则 b2 ? ac ,余弦定理可知 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? ac ? ?a ? c?2 ? 0 ? a ? c ,故为

等边三角形.

16.【答案】

?15 ??16

,?

?

? ??

【解析】由题意可得:

???3Sn ? 2 ??3Sn?1 ?

? an2 ? 3Sn?1

2

?

a2 n?1

?

3Sn

,两式相减可得:

a2 n?1

?

an2

? 3an?1

?

3an

?

0



因式分解可得: ?an?1 ? an ??an?1 ? an ? 3? ? 0 ,又因为数列为正项数列,

? ? ? ?1? 2 ? 3 ? 4 ? 5? ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25

? ?1? 5? ? 5 ? 2 ? 25 ? 2 ? 77 .

2

1? 2

18.【答案】(1) ? ;(2) 2 3 . 3

【解析】(1)由 m∥n 得 csin A ? 3a cosC ,

∵ sin A ? 0 ,∴ sin C ? 3 cosC ? tan C ? 3 ? C ? ? . 3

(2)由余弦定理: c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC ,得 a ? 2 ,则 S ? 1 absin C ? 2 3 . 2

19.【答案】(1) an

?

1 2

n

? 1 ;(2)

Sn

?

2?

n?4 2n?1



【解析】(1)方程 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的两个根为 2,3,由题意得因为 a2 ? 2 , a4 ? 3 .

设数列 ?an ?

的公差为

d

,则 a4

?

a2

?

2d

,故

d

?

1 2

,从而

a1

?

3 2



所以?an? 的通项公式为 an

?

1n 2

?1.

(2)设

? ? ?

an 2n

? ? ?

的前

n

项和为

S

n

,由(1)知

an 2n

?

n?2 2n?1



则 Sn

?

3 22

?

4 23

?

?

n ?1 2n

?

n?2 2n?1



1 2 Sn

?

3 23

?

4 24

?

?

n ?1 2n?1

?

n?2 2n?2



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①-②得

1 2

Sn

?

3 4

?

1 23

?

1 24

?

?

1 2n?1

?

n?2 2n?2

?

3 4

?

1 4

???1 ?

1 2n?1

? ??

?

n?2 2n?2



所以

Sn

?

2?

n?4 2n?1



20.【答案】(1) B ? ? ;(2) 5 3 .

3

16

【解析】(1)∵ ccos A , bcos B , acosC 成等差数列,∴ 2bcos B ? ccos A ? acosC ,

由正弦定理 a ? 2Rsin A, c ? 2RsinC , b ? 2Rsin B , R 为 △ABC 外接圆的半径,

代入上式得: 2sin Bcos B ? sinCcos A ? sin AcosC ,即 2sin B cos B ? sin ? A ? C? .

又 A ? C ? ? ? B,∴ 2sin B cos B ? sin ?? ? B? ,即 2sin Bcos B ? sin B .

而 sin B ? 0 ,∴ cos B ? 1 ,由 0 ? B ? ? ,得 B ? ? .

2

3

(2)∵ cos B ? a2 ? c2 ? b2 ? 1 ,

2ac

2

∴ ?a ? c?2 ? 2ac ? b2 ? 1 ,又 a ? c ? 3 3 , b ? 3 ,

2ac

2

2

∴ 27 ? 2ac ? 3 ? ac ,即 ac ? 5 ,

4

4



S△ABC

?

1 acsin B 2

?

1? 2

5 4

?

3?5 3. 2 16

21.【答案】(1) AC ? 5 6 ? 5 2 ;(2) cos? ? 3 ?1 .

【解析】(1)当? ? 30? 时, ?ABC ?150?, ?ACB ? ?BAC ?15? , 所以 BC ? AB ?10 ,由余弦定理得:

AC2 ? 102 ?102 ? 2 ?10 ?10 ? cos150? ? 200 ?100 3 ,故 AC ? 10 2 ? 3 ? 5 6 ? 5 2 .

(2)当? ? 45? ,在 △ABC 中,由正弦定理有

? ? BC ? AB ? sin?BAC ? 20 ? 6 ? 2 ? 5 6 ? 2 ,

sin?ACB

4

在 △BCD 中, sin?BDC ? BC ? sin?DBC ? 3 ?1 , CD



cos?

?

cos

? ??

?ADC

?

? 2

? ??

?

sin?ADC

?

3 ?1.

22.【答案】(1) an

?

?2, ??3n?2

? 1,

n n

? ?

1 2

;(2)

Tn

?

2

?

?2n

?

2? ? 3n

?

2n2



【解析】(1)

? ??

Sn

?

1 2 an?1

?

? ??

Sn

?1

?

1 2

an

? ?

n
?n

?n ? 1?

?

2?时



an

?

1 2 an?1

?

1 2 an

?1,

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an?1

?

3an

?

2?n

?

2?

? ,即 an?1

?1?

?

3 ? an

?1?

,当 a1

?

2 时,

a2

?

2



a2 a1

?1 =1 ? ?1

3,

?an ?1? 以 a2 ?1 ? 1为首项,3 为公比的等比数列,∴ an ?1 ? 1? 3n?2 ,即 an ? 3n?2 ? 1 ,



an

?

?2, ??3n-2

? 1,

n ?1 n?2



? ? (2) bn ? ?4n ? 2?an?1 ? ?4n ? 2? ? 3n?1 ?1 ? ?4n ? 2?3n?1 ? ?4n ? 2? ,

记 Sn' ? 2 ? 30 ? 6 ? 31 ? 10 ? 32 ? ? ?4n ? 2?3n?1 ,



3Sn' ? 2 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ?4n ? 6?3n?1 ? ?4n ? 2?3n



? ? 由① ②得, ?2Sn' =2 ? 30 ? 4 ? 31+32 + +3n?1 ? ?4n ? 2? ? 3n ,∴ Sn' ? 2 ? ?2n ? 2?3n ,

?Tn

?

2

?

?2n

?

2? ? 3n

?

?4n

?

2? 2

2?n

?

2

?

?2n

?

2? ? 3n

?

2n2 .


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